Der Ziel dieser Arbeit ist der Hausdorff Konvergenz der Juliamengen zu beweisen, als wir eine Familie von ganzen transzendenten Funktionen, die ein einziges Bakergebiet enthalten, approximieren. Als erstes geben wir eine vollständige dynamische Beschreibung der approximierenden transzendenten Funktionen und zeigen die Existenz von invarianten Gebiete unter der Iterierte. Insbesondere besitzen die approximierenden Funktionen ein Attraktionsgebiet, das gegen das Bakergebiet als Kernel im Sinn von Carathéodory konvergiert. Letztlich beweisen wir Hausdorff Konvergenz auf zwei Wege. Einerseits zeigen wir unter bestimmten Bedingungen der Fatoumenge der Grenzfunktion die Hausdorff Konvergenz der Juliamengen. Anderseits zeigen wir unter verschiedenen Bedingungen der Fatoumenge der Grenzfunktion die Hausdorff Konvergenz der ausgefüllten Juliamengen, die bezüglich der Bakergebiet oder der Attraktionsgebiet definiert sind.