Eine Vielzahl von interessanten Phänomenen entsteht durch die quantenmechanischeWechselwirkung einer großen Zahl von Teilchen. In den meisten Fällen ist die Beschreibung der relevanten physikalischen Eigenschaften extrem schwierig, da die Komplexität des Systems exponentiell mit der Anzahl der wechselwirkenden Teilchen anwächst und das Lösen der zugrunde liegenden Schrödingergleichung unmöglich macht. Trotzdem gab es in der Geschichte der Festkörperphysik eine Reihe von bahnbrechenden Entdeckungen, die unser Verständnis von komplexen Phänomenen deutlich voran gebracht haben. Dazu zählt die Entwicklung der Landau’schen Theorie der Fermiflüssigkeit, der BCS-Theorie der Supraleitung, der Theorie der Supraflüssigkeit und der Theorie des fraktionalen Quanten-Hall-Effekts. In all diesen Fällen ist ein theoretisches Verständnis mithilfe sogenannter Quasiteilchen gelungen. Anstatt ein komplexes Phänomen durch das Verhalten von fundamentalen Teilchen wie der Elektronen zu erklären, ist es möglich, die entsprechenden Eigenschaften durch das simple Verhalten von Quasiteilchen zu beschreiben, die allein auf Grund der komplexen kollektiven Wechselwirkung entstehen. Eines der seltenen Beispiele, bei dem ein stark korreliertes quantenmagnetisches Problem analytisch lösbar ist, ist das Kitaev Modell. Es beschreibt wechselwirkende Spins auf einem Sechseck-Gitter und zeichnet sich durch einen Spinflüssigkeits-Grundzustand aus. Auch hier gelang die Lösung mittels spezieller Quasiteilchen, den Majorana Fermionen. Experimentell ist es jedoch noch nicht gelungen eine Spinflüssigkeit eindeutig nachzuweisen, da diese sich gerade durch das Fehlen jeglicher klassischer Ordnung und üblicher experimenteller Kenngrößen auszeichnet. Dagegen kann die Beobachtung von Quasiteilchenanregungen einen Hinweis auf den zugrunde liegenden Zustand liefern. Aber auch der definitive Nachweis von Majorana Fermionen in jeglicher Art System, bleibt ein ausstehendes Ziel in der modernen Festkörperphysik. Diese Arbeit befasst sich daher mit der Frage, wie solche Quasiteilchen experimentell sichtbar gemacht werden könnten. Dazu untersuchen wir den Einfluss von Unordnung auf die Zustände und Messgrößen des Kitaev Modells. Dies ist in zweierlei Hinsicht relevant. Einerseits ist Unordnung in der Natur allgegenwärtig, andererseits kann sie auch strategisch herbeigeführt werden, um die Reaktion eines System gezielt zu testen. Das zentrale Ergebnis dieser Arbeit ist, dass den Majorana Fermionen dabei in der Tat eine physikalische, messbare Bedeutung zukommt. Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in frustrierte quantenmagnetische Systeme und Spinflüssigkeiten und diskutiert einige Effekte, die durch Gitterverzerrungen oder Verunreinigungen entstehen können. Anschließend zeigen wir, wie sich durch die frustrierte Wechselwirkung im Kitaev Modell ein Spinflüssigkeits-Grundzustand herausbildet. Die analytische Lösung des Modells gelingt mit Hilfe von Majorana Fermionen, jedoch verdoppelt sich der Hilbertraum pro Spin durch die Einführung dieser Quasiteilchen. Ein zentraler Aspekt dieser Arbeit ist daher die richtige Auswahl der „physikalischen“ Zustände, also solcher, die einem Zustand im ursprünglichen Spin Modell entsprechen. Dabei unterscheiden wir zwischen offenen und periodischen Randbedingungen. Wir konnten beweisen, dass sich, in der Phase ohne Bandlücke und für periodische Systeme, stets ein angeregtes Fermion befindet. Dies führt zu großen Effekten in endlichen Systemen, wie wir anhand der Suszeptibilität und der Anregungslücke für magnetische Flüsse zeigen. Außerdem berechnen wir numerisch die statische und dynamische Suszeptibilität abhängig von der Unordnung in der Wechselwirkungsstärke. Diese Art der Unordnung entsteht beispielsweise durch unregelmäßige Gitterstrukturen oder chemische Verunreinigungen auf den nicht-magnetischen Gitterplätzen. Insbesondere ergibt die Verteilung der lokalen Suszeptibilitäten das Linienspektrum, welches sich in Kernspinresonanz Experimenten messen lässt. Für große Unordnung postulieren wir einen Übergang zu einem Zustand mit einer zufälligen Verteilung magnetischer Flüsse. Ein weiterer Kern der Dissertation ist die Untersuchung eines magnetischen Defekts im Kitaev Modell. Diese Situation beschreibt den ungewöhnlichen Fall eines Kondoeffekts in einer Spinflüssigkeit. In der Majorana Fermionen Darstellung gelingt es uns, das Problem in eine Form zu bringen, die mit Hilfe von Wilson’s numerischer Renormalisierungsgruppe untersucht werden kann. Es zeigt sich, dass dadurch eine Nullpunktsentropie des Defekts entsteht, die durch lokalisierte Majorana Fermionen erklärt werden kann. Durch die Darstellung des Kitaev Modells mithilfe von Quasiteilchen ist es möglich eine elegante Beschreibung eines komplexen, stark wechselwirkenden Systems zu finden. Die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen, dass den Majorana Fermionen dabei durchaus eine physikalische Bedeutung zukommt. Gelingt es sie z.B. durch magnetische Störstellen zu lokalisieren, wäre ein direkter experimenteller Nachweis möglich. / Many interesting phenomena in quantum physics arise through the quantum mechanical interaction of a large number of particles. In most cases describing the relevant physical properties is extremely difficult, because the complexity of the system increases exponentially with the number of interacting particles and solving the underlying Schrödinger equation becomes impossible. Nevertheless, our understanding of complex phenomena has progressed through some groundbreaking discoveries in the history of condensed matter physics. Examples include the development of Landau’s theory of Fermi liquids, the BCStheory of superconductivity, the theory of superfluidity and the theory of the fractional quantum Hall effect. In all these cases a theoretical understanding was achieved with so-called quasi-particles. Instead of explaining a phenomenon through the behavior of fundamental particles, such as electrons, the corresponding properties can be described by the simple behavior of quasi-particles, which are themselves a result of the complex collective interaction. One of the rare examples, where a strongly correlated quantum mechanical problem can be solved analytical, is the Kitaev model. It describes interacting spins on a honeycomb lattice and exhibits a spin liquid ground state. Here the solution was achieved by means of certain quasi-particles, called Majorana fermions. However, it has not been possible to clearly identify such a spin liquid experimentally, because its defining feature is the absence of any conventional order, in particular magnetic order. In contrast, the observation of quasiparticle excitations may hint at the nature of the ground state. But also a definite detection of Majorana fermions in any kind of system remains one of the outstanding issues in modern condensed matter physics. Therefore this thesis is devoted to the question how such quasiparticles may be found experimentally. For this reason we study the influence of disorder on the states and observables of the Kitaev model. This is relevant in two respects: Firstly, disorder is ubiquitous in nature and secondly, it may be used strategically to probe the response of a system. The central result of this work is that Majorana fermions hereby indeed obtain a true physical and observable significance. The thesis starts with an introduction of frustrated quantum mechanical systems and spin liquids, and discusses some of the effects that arise through lattice distortions or impurities. Afterwards we show how the frustrated interactions in the Kitaev model lead to a spin liquid ground state. The analytical solution of the model is achieved through the introduction of Majorana fermions. However, resulting from the introduction of these quasi-particles the Hilbert space per spin doubles. A central aspect of this thesis is therefore the right selection of the “physical” states, which correspond to a state of the original spin Hamiltonian. To do this, we distinguish between periodic and open boundary conditions explicitly. We were able to prove that there is always one excited fermion in the gapless phase of the periodic system. This leads to large finite-size effects, as we will illustrate for the susceptibility and the magnetic flux gap. Moreover we compute the static and dynamic spin susceptibilities for finite-size systems subject to disorder in the exchange couplings. In a possible experimental realization, this kind of disorder arises from lattice distortions or chemical disorder on nonmagnetic sites. Specifically, we calculate the distribution of local susceptibilities and extract the lineshape, which can be measured in nuclear-magnetic-resonance experiments. Further, for increasing disorder we predict a transition to a random-flux state. Another core of this dissertation is the investigation of a magnetic impurity in the Kitaev model. This setup represents the unusual case of a Kondo effect in a quantum spin liquid. Utilizing the Majorana representation we are able to formulate the problem in a way that can be analyzed using Wilson’s numerical renormalization group. The numerics reveal an impurity entropy which can be explained by localized Majorana fermions. Through the representation of the Kitaev model in terms of quasi-particles an elegant description of a complex, strongly correlated system is possible. The results of this thesis indicate that these Majorana acquire a relevant physical meaning. If one can localize them, for example with the help of magnetic impurities, a direct experimental observation would be feasible.

Quantum spin liquids represent a novel phase of magnetic matter where quantum fluctuations are large enough to suppress the formation of local order parameters, even down to zero temperature. Quantum spin liquid states can emerge from frustrated quantum magnets. These states show several peculiar properties, such as topological order, fractional excitations, and long-range entanglement. The Kitaev spin model on the honeycomb lattice is one of the few models proposed which can exactly show the existence of a $\mathbb{Z}_2$ quantum spin liquid. The model describes spins featuring frustrated compass interactions, and it exhibits a quantum spin liquid ground state. The model's ground state can be found exactly by representing spins in terms of Majorana fermions. It turns out that spin excitations fractionalize into two degrees of freedom: spinless matter fermions and flux excitations of the emergent $\mathbb{Z}_2$ gauge theory. Recently, possible solid-state realizations of Kitaev quantum spin liquids have been proposed in a class of frustrated Mott insulators. Unfortunately, experiments can not unambiguously identify quantum spin liquids, due to their elusive nature. Nevertheless, indirect observations on a spin liquid state can be done by looking at its excitations. Along this line, thermal transport investigations provide for an option to study heat-carrying excitations, and thus the properties of the related spin liquid state. In this doctoral thesis work, I performed a study of longitudinal thermal transport properties in the two-dimensional Kitaev spin model. This study aims to advance the understanding of transport in prototypical frustrated quantum magnets that might harbor Kitaev physics, and in particular quantum spin liquid states. For this purpose, I explored the model for varying exchange coupling regimes $-$ to underline the impact of anisotropy on transport $-$ and I studied transport over a wide range of temperatures. Transport properties have been explored within the formalism of the linear response theory. Based on the latter, thermal transport coefficients can be evaluated by calculating dynamical energy-current auto-correlation functions. First, I performed an analytical study of the uniform gauge sector of the model $-$ where excitations of gauge degrees of freedom are neglected. Analytical findings for the energy-current correlations, and their related transport coefficients, imply a finite-temperature ballistic heat conductor in terms of free matter fermion excitations $-$ independent of exchange couplings. Second, thermal transport has been studied at finite temperatures, considering thermal gauge excitations off the uniform gauge sector. For this purpose, I made use of two complementary numerical methods able to treat finite-temperature systems. On the one hand, I resorted on the exact diagonalization of the Kitaev Hamiltonian given in terms of fermions and a real-space dependent $\mathbb{Z}_2$ gauge potential, to study relatively small systems. On the other hand, I used an approximate method based on a mean-field treatment of thermal gauge fluctuations. The method allowed to extend the study of thermal transport to systems with up to $\sim\mathcal{O}(10^4)$ spinful sites. It made possible the computation of correlation functions by reducing the exact trace over all gauge states to an average over dominant gauge states suited to a given temperature range. The reliability of the method has been checked by comparing to numerically exact thermodynamics of systems. Based on the thermodynamic analysis, the method has been restricted to a temperature range where the mean-field treatment of gauge fluctuations is acceptable. Within such temperature range, the method succeeded in well reproducing exact results. The prime advantage of this method is its capability to reveal important features in the energy-current correlation spectra, not captured by the exact diagonalization approach because of finite-size effects. I found that the energy-current correlation spectra, in the presence of thermal gauge excitations, show clear signatures of spin fractionalization. In particular, the low-energy part of spectra displays features arising from a temperature-dependent matter-fermion density relaxation off an emergent thermal gauge disorder. This static gauge disorder also leads to the appearance of a pseudogap in the zero-frequency limit, which closes in the thermodynamic limit. The extracted dc heat conductivity is consequently influenced by this interplay between matter fermions and gauge degrees of freedom. The anisotropy in the exchange couplings moves Kitaev systems through gapless and gapped phases of the matter fermion sector. Effects of anisotropy are visible in the dc conductivities which display a low-temperature dependence crossing over from power-law to exponentially activated behavior upon entering the gapped phase. Therefore, I found that in the thermodynamic limit, two-dimensional Kitaev systems feature dissipative transport, regardless of exchange couplings. This finding is in contrast to the ballistic transport found discarding gauge excitations in the uniform gauge sector, which underlines the relevance of gauge degrees of freedom in thermal transport properties of Kitaev systems.

Eine Vielzahl von interessanten Phänomenen entsteht durch die quantenmechanischeWechselwirkung einer großen Zahl von Teilchen. In den meisten Fällen ist die Beschreibung der relevanten physikalischen Eigenschaften extrem schwierig, da die Komplexität des Systems exponentiell mit der Anzahl der wechselwirkenden Teilchen anwächst und das Lösen der zugrunde liegenden Schrödingergleichung unmöglich macht. Trotzdem gab es in der Geschichte der Festkörperphysik eine Reihe von bahnbrechenden Entdeckungen, die unser Verständnis von komplexen Phänomenen deutlich voran gebracht haben. Dazu zählt die Entwicklung der Landau’schen Theorie der Fermiflüssigkeit, der BCS-Theorie der Supraleitung, der Theorie der Supraflüssigkeit und der Theorie des fraktionalen Quanten-Hall-Effekts. In all diesen Fällen ist ein theoretisches Verständnis mithilfe sogenannter Quasiteilchen gelungen. Anstatt ein komplexes Phänomen durch das Verhalten von fundamentalen Teilchen wie der Elektronen zu erklären, ist es möglich, die entsprechenden Eigenschaften durch das simple Verhalten von Quasiteilchen zu beschreiben, die allein auf Grund der komplexen kollektiven Wechselwirkung entstehen. Eines der seltenen Beispiele, bei dem ein stark korreliertes quantenmagnetisches Problem analytisch lösbar ist, ist das Kitaev Modell. Es beschreibt wechselwirkende Spins auf einem Sechseck-Gitter und zeichnet sich durch einen Spinflüssigkeits-Grundzustand aus. Auch hier gelang die Lösung mittels spezieller Quasiteilchen, den Majorana Fermionen. Experimentell ist es jedoch noch nicht gelungen eine Spinflüssigkeit eindeutig nachzuweisen, da diese sich gerade durch das Fehlen jeglicher klassischer Ordnung und üblicher experimenteller Kenngrößen auszeichnet. Dagegen kann die Beobachtung von Quasiteilchenanregungen einen Hinweis auf den zugrunde liegenden Zustand liefern. Aber auch der definitive Nachweis von Majorana Fermionen in jeglicher Art System, bleibt ein ausstehendes Ziel in der modernen Festkörperphysik. Diese Arbeit befasst sich daher mit der Frage, wie solche Quasiteilchen experimentell sichtbar gemacht werden könnten. Dazu untersuchen wir den Einfluss von Unordnung auf die Zustände und Messgrößen des Kitaev Modells. Dies ist in zweierlei Hinsicht relevant. Einerseits ist Unordnung in der Natur allgegenwärtig, andererseits kann sie auch strategisch herbeigeführt werden, um die Reaktion eines System gezielt zu testen. Das zentrale Ergebnis dieser Arbeit ist, dass den Majorana Fermionen dabei in der Tat eine physikalische, messbare Bedeutung zukommt. Die Arbeit beginnt mit einer Einführung in frustrierte quantenmagnetische Systeme und Spinflüssigkeiten und diskutiert einige Effekte, die durch Gitterverzerrungen oder Verunreinigungen entstehen können. Anschließend zeigen wir, wie sich durch die frustrierte Wechselwirkung im Kitaev Modell ein Spinflüssigkeits-Grundzustand herausbildet. Die analytische Lösung des Modells gelingt mit Hilfe von Majorana Fermionen, jedoch verdoppelt sich der Hilbertraum pro Spin durch die Einführung dieser Quasiteilchen. Ein zentraler Aspekt dieser Arbeit ist daher die richtige Auswahl der „physikalischen“ Zustände, also solcher, die einem Zustand im ursprünglichen Spin Modell entsprechen. Dabei unterscheiden wir zwischen offenen und periodischen Randbedingungen. Wir konnten beweisen, dass sich, in der Phase ohne Bandlücke und für periodische Systeme, stets ein angeregtes Fermion befindet. Dies führt zu großen Effekten in endlichen Systemen, wie wir anhand der Suszeptibilität und der Anregungslücke für magnetische Flüsse zeigen. Außerdem berechnen wir numerisch die statische und dynamische Suszeptibilität abhängig von der Unordnung in der Wechselwirkungsstärke. Diese Art der Unordnung entsteht beispielsweise durch unregelmäßige Gitterstrukturen oder chemische Verunreinigungen auf den nicht-magnetischen Gitterplätzen. Insbesondere ergibt die Verteilung der lokalen Suszeptibilitäten das Linienspektrum, welches sich in Kernspinresonanz Experimenten messen lässt. Für große Unordnung postulieren wir einen Übergang zu einem Zustand mit einer zufälligen Verteilung magnetischer Flüsse. Ein weiterer Kern der Dissertation ist die Untersuchung eines magnetischen Defekts im Kitaev Modell. Diese Situation beschreibt den ungewöhnlichen Fall eines Kondoeffekts in einer Spinflüssigkeit. In der Majorana Fermionen Darstellung gelingt es uns, das Problem in eine Form zu bringen, die mit Hilfe von Wilson’s numerischer Renormalisierungsgruppe untersucht werden kann. Es zeigt sich, dass dadurch eine Nullpunktsentropie des Defekts entsteht, die durch lokalisierte Majorana Fermionen erklärt werden kann. Durch die Darstellung des Kitaev Modells mithilfe von Quasiteilchen ist es möglich eine elegante Beschreibung eines komplexen, stark wechselwirkenden Systems zu finden. Die Ergebnisse dieser Arbeit zeigen, dass den Majorana Fermionen dabei durchaus eine physikalische Bedeutung zukommt. Gelingt es sie z.B. durch magnetische Störstellen zu lokalisieren, wäre ein direkter experimenteller Nachweis möglich. / Many interesting phenomena in quantum physics arise through the quantum mechanical interaction of a large number of particles. In most cases describing the relevant physical properties is extremely difficult, because the complexity of the system increases exponentially with the number of interacting particles and solving the underlying Schrödinger equation becomes impossible. Nevertheless, our understanding of complex phenomena has progressed through some groundbreaking discoveries in the history of condensed matter physics. Examples include the development of Landau’s theory of Fermi liquids, the BCStheory of superconductivity, the theory of superfluidity and the theory of the fractional quantum Hall effect. In all these cases a theoretical understanding was achieved with so-called quasi-particles. Instead of explaining a phenomenon through the behavior of fundamental particles, such as electrons, the corresponding properties can be described by the simple behavior of quasi-particles, which are themselves a result of the complex collective interaction. One of the rare examples, where a strongly correlated quantum mechanical problem can be solved analytical, is the Kitaev model. It describes interacting spins on a honeycomb lattice and exhibits a spin liquid ground state. Here the solution was achieved by means of certain quasi-particles, called Majorana fermions. However, it has not been possible to clearly identify such a spin liquid experimentally, because its defining feature is the absence of any conventional order, in particular magnetic order. In contrast, the observation of quasiparticle excitations may hint at the nature of the ground state. But also a definite detection of Majorana fermions in any kind of system remains one of the outstanding issues in modern condensed matter physics. Therefore this thesis is devoted to the question how such quasiparticles may be found experimentally. For this reason we study the influence of disorder on the states and observables of the Kitaev model. This is relevant in two respects: Firstly, disorder is ubiquitous in nature and secondly, it may be used strategically to probe the response of a system. The central result of this work is that Majorana fermions hereby indeed obtain a true physical and observable significance. The thesis starts with an introduction of frustrated quantum mechanical systems and spin liquids, and discusses some of the effects that arise through lattice distortions or impurities. Afterwards we show how the frustrated interactions in the Kitaev model lead to a spin liquid ground state. The analytical solution of the model is achieved through the introduction of Majorana fermions. However, resulting from the introduction of these quasi-particles the Hilbert space per spin doubles. A central aspect of this thesis is therefore the right selection of the “physical” states, which correspond to a state of the original spin Hamiltonian. To do this, we distinguish between periodic and open boundary conditions explicitly. We were able to prove that there is always one excited fermion in the gapless phase of the periodic system. This leads to large finite-size effects, as we will illustrate for the susceptibility and the magnetic flux gap. Moreover we compute the static and dynamic spin susceptibilities for finite-size systems subject to disorder in the exchange couplings. In a possible experimental realization, this kind of disorder arises from lattice distortions or chemical disorder on nonmagnetic sites. Specifically, we calculate the distribution of local susceptibilities and extract the lineshape, which can be measured in nuclear-magnetic-resonance experiments. Further, for increasing disorder we predict a transition to a random-flux state. Another core of this dissertation is the investigation of a magnetic impurity in the Kitaev model. This setup represents the unusual case of a Kondo effect in a quantum spin liquid. Utilizing the Majorana representation we are able to formulate the problem in a way that can be analyzed using Wilson’s numerical renormalization group. The numerics reveal an impurity entropy which can be explained by localized Majorana fermions. Through the representation of the Kitaev model in terms of quasi-particles an elegant description of a complex, strongly correlated system is possible. The results of this thesis indicate that these Majorana acquire a relevant physical meaning. If one can localize them, for example with the help of magnetic impurities, a direct experimental observation would be feasible.