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>Magister Scientiae - MSc / An increasing number of measurements reveal the presence of a low-energy enhancement in the gamma-ray strength function (GSF). The GSF, which is the ability of nuclei to absorb or emit rays, provides insight into the statistical properties of atomic nuclei. For this project the GSF was studied for 74Ge which was populated in the reaction 74Ge(p,p')74Ge* at a beam energy of 18 MeV. The data were collected with the STARS-LIBERACE array at Lawrence Berkeley National Laboratory. Silicon detector telescopes were used for particle identi cation and rays in coincidence were detected with 5 clover-type high-purity germanium detectors. Through the analysis particle- - coincidence events were constructed. These events, together with well-known energy levels, were used to identify primary rays from the quasicontinuum. Primary rays from a broad excitation energy region, which decay to six 2+ states could be identi ed. These states and the associated primary rays are used to measure the GSF for 74Ge with the Ratio Method [1], which entails taking ratios of e ciency-corrected primary -ray intensities from the quasicontinuum. Results from the analysis of the data and focus on the existence of the low-energy enhancement in 74Ge will be discussed. The results are further discussed in the context of other work done on 74Ge using the ( , ') [2], (3He,3He') [3] and ( , ') [4] reactions.

In this thesis we present results about some eigenvalue statistics of the beta-Hermite ensembles, both in the classical cases corresponding to beta = 1, 2, 4, that is the Gaussian orthogonal ensemble (consisting of real symmetric matrices), the Gaussian unitary ensemble (consisting of complex Hermitian matrices) and the Gaussian symplectic ensembles (consisting of quaternionic self-dual matrices) respectively. We also look at the less explored general beta-Hermite ensembles (consisting of real tridiagonal symmetric matrices). Specifically we look at the empirical distribution function and two different scalings of the largest eigenvalue. The results we present relating to these statistics are the convergence of the empirical distribution function to the semicircle law, the convergence of the scaled largest eigenvalue to the Tracy-Widom distributions, and with a different scaling, the convergence of the largest eigenvalue to 1. We also use simulations to illustrate these results. For the Gaussian unitary ensemble, we present an expression for its level density. To aid in understanding the Gaussian symplectic ensemble we present properties of the eigenvalues of quaternionic matrices. Finally, we prove a theorem about the symmetry of the order statistic of the eigenvalues of the beta-Hermite ensembles. / I denna kandidatuppsats presenterar vi resultat om några olika egenvärdens-statistikor från beta-Hermite ensemblerna, först i de klassiska fallen då beta = 1, 2, 4, det vill säga den gaussiska ortogonala ensemblen (bestående av reella symmetriska matriser), den gaussiska unitära ensemblen (bestående av komplexa hermitiska matriser) och den gaussiska symplektiska ensemblen (bestående av kvaternioniska själv-duala matriser). Vi tittar även på de mindre undersökta generella beta-Hermite ensemblerna (bestående av reella symmetriska tridiagonala matriser). Specifikt tittar vi på den empiriska fördelningsfunktionen och två olika normeringar av det största egenvärdet. De resultat vi presenterar för dessa statistikor är den empiriska fördelningsfunktionens konvergens mot halvcirkel-fördelningen, det normerade största egenvärdets konvergens mot Tracy-Widom fördelningen, och, med en annan normering, största egenvärdets konvergens mot 1. Vi illustrerar även dessa resultat med hjälp av simuleringar. För den gaussiska unitära ensemblen presenterar vi ett uttryck för dess nivåtäthet. För att underlätta förståelsen av den gaussiska symplektiska ensemblen presenterar vi egenskaper hos egenvärdena av kvaternioniska matriser. Slutligen bevisar vi en sats om symmetrin hos ordningsstatistikan av egenvärdena av beta-Hermite ensemblerna.

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Mon travail de thèse est consacré à l’étude de quelques aspects de la physique quantique des systèmes quantiques à N corps en interaction. Il est orienté vers l’étude des chaînes de spins quantiques. Je me suis intéressé à plusieurs questions relatives aux chaînes de spins quantiques, du point de vue numérique et analytique à la fois. J'aborde en particulier les questions relatives à la structure des fonctions d'onde, la forme de la densité d'états et les propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins. Dans un premier temps, je présenterais très rapidement les techniques numériques de base pour le calcul des vecteurs et valeurs propres des Hamiltonien de chaînes de spins. Les densités d’états des modèles quantiques constituent des quantités importantes et très simples qui permettent de caractériser les propriétés spectrales des systèmes avec un grand nombre de degrés de liberté. Alors que dans la limite thermodynamique, les densités d'états de la plupart des modèles intégrables sont bien décrites par une loi gaussienne, dans certaines limites de couplage de la chaîne de spins au champ magnétique et pour un nombre de spins N fini sur la chaîne, on observe l’apparition de pics dans la densité d’états. Je montrerais que la connaissance des deux premiers moments du Hamiltonien dans le sous-espace dégénéré associé à chaque pics donne une bonne approximation de la densité d’états. Dans un deuxième temps je m'intéresserais aux propriétés spectrales des Hamiltoniens de chaînes de spins quantiques. L’un des principal résultats sur la statistique spectrale des systèmes quantiques concerne le comportement universel des fluctuations des mesures telles que l’espacement entre valeurs propres consécutives. Ces fluctuations sont bien décrites par la théorie des matrices aléatoires mais la comparaison avec les prédictions de cette théorie nécessite généralement une opération sur le spectre du Hamiltonien appelée unfolding. Dans les problèmes quantiques de N corps, la taille de l’espace de Hilbert croît généralement exponentiellement avec le nombre de particules, entraînant un manque de données pour pouvoir faire une statistique. Ces limitations ont amené l’introduction d’une nouvelle mesure se passant de la procédure d’unfolding basée sur le rapport d’espacements successifs plutôt que les espacements. En suivant l’idée du “surmise” de Wigner pour le calcul de la distribution de l’espacement, je montre comment calculer une approximation de la distribution du rapport d’espacements dans les trois ensembles gaussiens invariants en faisant le calcul pour des matrices 3x3. Les résultats obtenus pour les différents ensembles de matrices aléatoires se sont révélés être en excellent accord avec les résultats numériques. Enfin je m’intéresserais à la structure des fonctions d’ondes fondamentales des modèles de chaînes de spins quantiques. Les fonctions d’onde constituent, avec le spectre en énergie, les objets fondamentaux des systèmes quantiques : leur structure est assez compliquée et n’est pas très bien comprise pour la plupart des systèmes à N corps. En raison de la croissance exponentielle de la taille de l’espace de Hilbert avec le nombre de particules, l’étude des vecteurs propres est une tâche très difficile, non seulement du point de vue analytique mais aussi du point de vue numérique. Je démontrerais en particulier que l’état fondamental de tous les modèles que nous avons étudiés est multifractal avec en général une dimension fractale non triviale. / My thesis is devoted to the study of some aspects of many body quantum interacting systems. In particular we focus on quantum spin chains. I have studied several aspects of quantum spin chains, from both numerical and analytical perspectives. I addressed especially questions related to the structure of eigenfunctions, the level densities and the spectral properties of spin chain Hamiltonians. In this thesis, I first present the basic numerical techniques used for the computation of eigenvalues and eigenvectors of spin chain Hamiltonians. Level densities of quantum models are important and simple quantities that allow to characterize spectral properties of systems with large number of degrees of freedom. It is well known that the level densities of most integrable models tend to the Gaussian in the thermodynamic limit. However, it appears that in certain limits of coupling of the spin chain to the magnetic field and for finite number of spins on the chain, one observes peaks in the level density. I will show that the knowledge of the first two moments of the Hamiltonian in the degenerate subspace associated with each peak give a good approximation to the level density. Next, I study the statistical properties of the eigenvalues of spin chain Hamiltonians. One of the main achievements in the study of the spectral statistics of quantum complex systems concerns the universal behaviour of the fluctuation of measure such as the distribution of spacing between two consecutive eigenvalues. These fluctuations are very well described by the theory of random matrices but the comparison with the theoretical prediction generally requires a transformation of the spectrum of the Hamiltonian called the unfolding procedure. For many-body quantum systems, the size of the Hilbert space generally grows exponentially with the number of particles leading to a lack of data to make a proper statistical study. These constraints have led to the introduction of a new measure free of the unfolding procedure and based on the ratio of consecutive level spacings rather than the spacings themselves. This measure is independant of the local level density. By following the Wigner surmise for the computation of the level spacing distribution, I obtained approximation for the distribution of the ratio of consecutive level spacings by analyzing random 3x3 matrices for the three canonical ensembles. The prediction are compared with numerical results showing excellent agreement. Finally, I investigate eigenfunction statistics of some canonical spin-chain Hamiltonians. Eigenfunctions together with the energy spectrum are the fundamental objects of quantum systems: their structure is quite complicated and not well understood. Due to the exponential growth of the size of the Hilbert space, the study of eigenfunctions is a very difficult task from both analytical and numerical points of view. I demonstrate that the groundstate eigenfunctions of all canonical models of spin chain are multifractal, by computing numerically the Rényi entropy and extrapolating it to obtain the multifractal dimensions.