In der vorliegenden Arbeit werden Geradenkongruenzen des projektiv abgeschlossenen dreidimensionalen euklidischen Raumes differentialgeometrisch untersucht. Nach J. PLÜCKER lassen sich Geraden in gleicher Weise als Grundelemente eines Geradenraumes auffassen wie die Punkte in einem Punktraum. Unter Beachtung dieser Überlegung scheint eine "natürliche" Behandlung der Geradenkongruenzen interessant und sinnvoll. Sie bildet den Gegenstand der vorliegenden Dissertation. Ein besonderes Augenmerk richtet sich dabei auf die Frage nach "kleinsten" Geradenkongruenzen ("Minimalkongruenzen") in der Geradenmenge des reellen projektiv abgeschlossenen dreidimensionalen euklidischen Raumes. Dahinter verbirgt sich eine gewisse Analogiebildung in der Liniengeometrie, die der klassischen Differentialgeometrie entstammt. Die Geradenkongruenzen bilden hierbei das liniengeometrische Analogon zu den Flächen des dreidimensionalen (Punkt-)Raumes. Das Wort "Kleinste" stellt im Geradenraum einen Bezug zu den Minimalflächen in der Differentialgeometrie her. Nun gestatten diese Fragestellungen in der Liniengeometrie eine anschauliche Interpretation, sobald man ein Punktmodell des Geradenraumes vorliegen hat. Einparametrige Geradenmannigfaltigkeiten (Regelflächen) lassen sich darin als Kurven und Geradenkongruenzen als zweidimensionale Flächen auffassen. Die vierparametrige Geradenmenge des reellen projektiven dreidimensionalen Raumes ist in diesem Modell eine Quadrik vom Index 2 in einem reellen projektiven fünfdimensionalen Raum, die so genannte KLEINsche Hyperquadrik. Der Modellwechsel wird durch die KLEINsche Abbildung vollzogen. / In the available work line congruences of the projectively extended three-dimensional euclidean space will be analysed. Following to J. PLÜCKER lines can be seen as basic elements of an line space like in the same way points in a point-space. Taking this fact in consideration a "natural" handling with line congruences might be interesting and reasonable. A special detail in the thesis is the question to minimal congruences in the set of lines of the projectively extended euclidean three-space. It can also be seen as an analogous problem in the geometry of lines which can be find in the differential geometry of surfaces. In this case the line congruences are similar to the surfaces of the three-dimensional (point-)space. The phrase "minimal" means in the line space the connection to the minimal surfaces in the differential geometry. These questions offer in line geometry demonstrative interpretation possibilities if a point-model in the line space exists. One-parameter manifolds of lines (rule surfaces) can be seen in this ambiance as curves and line congruences as two dimensional surfaces. The four-parametric set of lines in the projectively extended three-dimensional euclidian space is in this model a quadric of the index 2 in a real projective five-dimensional space, the so called KLEIN-quadric. The changing of the model is managed by the KLEIN-mapping.

The South Portuguese Zone (SPZ), which host world-class massive sulphide deposits, forms the southern fold-and-thrust belt of the Iberian Variscan orogeny. This thesis focuses on seismic-reflection and seismic-refraction processing efforts on a subset of the IBERSEIS deep seismic-reflection data set aiming at resolving the SPZ upper crust in high resolution. A comparison of different crooked-line seismic-reflection imaging schemes showed that a processing sequence involving dip-moveout corrections, a common-midpoint projection, and poststack time migration of common-offset gathers provided the most coherent images considering the crooked acquisition geometry. Correlation with surface-geological data allows four units of different reflection character to be identified: the ~0–2 km deep Upper Carboniferous Flysch group, the highly reflective ~2–4 km thick and up to ~5 km deep Volcano-Sedimentary Complex (VSC) group, and two deep Paleozoic metasedimentary units, with the shallower Phyllite-Quartzite group exposed in an antiform. Prominent diffracted energy was enhanced using a modified Kirchhoff imaging routine. High reflectivity and distinct diffractions mark extensive dike bands at 6–12 km depth, possibly related to the intense hydrothermal activity that led to the formation of the ore-bearing VSC group. Source-generated noise obscures potential signals from depths shallower than ~500m depth on the seismic-reflection sections. P- and SV-wave first-arrival traveltimes were inverted for velocity models imaging the shallowest crust. Overall, the velocity models correlate well with surface-geological data marking high (>5.25 km/s) and uniform P-velocities for the Flysch unit in the southern SPZ. A prominent P-wave low-velocity body (~4.5 km/s) is resolved where the Phyllite-Quartzite unit forms the core of an antiform. P-velocities fluctuate the most in the northern SPZ with Flysch group units exhibiting high velocities (>5.25 km/s) and VSC group bodies showing intermediate velocities (~5 km/s). Low VP/VS-ratios (~1.8) computed for the southern profile part are interpreted as less deformed Flysch-group units, whereas high VP/VS-ratios (~1.9) indicate fractured units.

If we consider ruled surfaces of the projective 3-space as a one parameter family of lines, then they appear in the well-known KLEIN-model of lines in the projective 3-space as curves of a hyperquadric in the projective 5-space. The osculating spaces of such a curve are represented in the projective 3-space by spaces of linear complexes. Those points of a generator e of the ruled surface, in which the tangent bundles are in the same time complex line bundles in the accompanying osculating line complex of the ruled surface along e, are called the LIE-points of e. The LIE-points fulfil two (real or imaginary conjugate) curves on the ruled surface called the LIE-curves. The support of the osculating-3-space of the ruled surface along a regular non-torsal generator e are two, one or zero straight lines in the osculating regulus. If thes straight lines exist, one calls them the flecnode tangents of the ruled surface. On a hyperbolic ruled surface build the points of contact of the flecnode tangents two projective distinguished curves called the flecnode curves. In this work we present the different methods of treating these curves in the history, and we give a new explicit calculation of the flecnode points and the LIE-points depending on the basis of a PLÜCKER-coordinates representation of the ruled surface. In addition we study the questions that appears by considering the LIE-curves of a ruled surface to form a pair of BERTRAND curves for which this ruled surface is the surface of common main normals. For example, the question about ruled surfaces, whose LIE-curves are orthogonal to the generators will be answered here. / Regelflächen des projektiven 3-Raums erscheinen, als (eindimensionalen) Geradenmengen aufgefasst, im bekannten KLEINschen Punktmodell der Geradenmenge vom projektiven 3-Raum als Kurven einer Hyperquadrik in einem projektiven 5-Raum. Die Schmiegräume einer solchen Kurve werden im projektiven 3-Raum durch Räume linearer Komplexe repräsentiert. Diejenigen Punkte einer Erzeugende e der Regelfläche, in denen die Tangentenbüschel gleichzeitig auch Komplexgeradenbüschel im begleitenden Schmiegkomplex von e sind, heißen LIE-Punkte von e. Die LIE-Punkte erfüllen zwei (reelle oder konjugiert imaginäre) Kurvenzüge auf der Regelfläche, die LIE-Kurven. Die Träger des Schmieg-3-Raums der Regelfläche längs einer reguläre nichttorsalen Erzeugende e sind zwei, eine oder null Geraden im Schmiegregulus. Sofern diese Geraden existieren, nennt man sie die Fleknodaltangenten der Regelfläche. Auf hyperbolischen Regelflächen bilden die Berührpunkte der Fleknodaltangenten zwei projektiv ausgezeichnete Kurven, die Fleknodalkurven. In der vorliegenden Arbeit stellen wir die unterschiedlichen Behandelungen diesen ausgezeichneten Kurven in der Geschichte dar, und geben wir eine neue explizite Berechnung von den Fleknodal- bzw. LIE-Punkte auf der Basis einer PLÜCKER-Koordinaten-Darstellung der Regelfläche. Außerdem untersuchen wir die Fragestellungen, die man bekommt, wenn man versucht, dass das paarweise auftreten der LIE-Kurven irgendwie in Analogie zum klassischen euklidischen BERTRAND-Kurvenpaar zu stellen. Z.B. lässt sich die Frage nach Regelflächen, deren LIE-Kurven Orthogonaltrajektorien der Erzeugenden sind, hier beantwortet.

If we consider ruled surfaces of the projective 3-space as a one parameter family of lines, then they appear in the well-known KLEIN-model of lines in the projective 3-space as curves of a hyperquadric in the projective 5-space. The osculating spaces of such a curve are represented in the projective 3-space by spaces of linear complexes. Those points of a generator e of the ruled surface, in which the tangent bundles are in the same time complex line bundles in the accompanying osculating line complex of the ruled surface along e, are called the LIE-points of e. The LIE-points fulfil two (real or imaginary conjugate) curves on the ruled surface called the LIE-curves. The support of the osculating-3-space of the ruled surface along a regular non-torsal generator e are two, one or zero straight lines in the osculating regulus. If thes straight lines exist, one calls them the flecnode tangents of the ruled surface. On a hyperbolic ruled surface build the points of contact of the flecnode tangents two projective distinguished curves called the flecnode curves. In this work we present the different methods of treating these curves in the history, and we give a new explicit calculation of the flecnode points and the LIE-points depending on the basis of a PLÜCKER-coordinates representation of the ruled surface. In addition we study the questions that appears by considering the LIE-curves of a ruled surface to form a pair of BERTRAND curves for which this ruled surface is the surface of common main normals. For example, the question about ruled surfaces, whose LIE-curves are orthogonal to the generators will be answered here. / Regelflächen des projektiven 3-Raums erscheinen, als (eindimensionalen) Geradenmengen aufgefasst, im bekannten KLEINschen Punktmodell der Geradenmenge vom projektiven 3-Raum als Kurven einer Hyperquadrik in einem projektiven 5-Raum. Die Schmiegräume einer solchen Kurve werden im projektiven 3-Raum durch Räume linearer Komplexe repräsentiert. Diejenigen Punkte einer Erzeugende e der Regelfläche, in denen die Tangentenbüschel gleichzeitig auch Komplexgeradenbüschel im begleitenden Schmiegkomplex von e sind, heißen LIE-Punkte von e. Die LIE-Punkte erfüllen zwei (reelle oder konjugiert imaginäre) Kurvenzüge auf der Regelfläche, die LIE-Kurven. Die Träger des Schmieg-3-Raums der Regelfläche längs einer reguläre nichttorsalen Erzeugende e sind zwei, eine oder null Geraden im Schmiegregulus. Sofern diese Geraden existieren, nennt man sie die Fleknodaltangenten der Regelfläche. Auf hyperbolischen Regelflächen bilden die Berührpunkte der Fleknodaltangenten zwei projektiv ausgezeichnete Kurven, die Fleknodalkurven. In der vorliegenden Arbeit stellen wir die unterschiedlichen Behandelungen diesen ausgezeichneten Kurven in der Geschichte dar, und geben wir eine neue explizite Berechnung von den Fleknodal- bzw. LIE-Punkte auf der Basis einer PLÜCKER-Koordinaten-Darstellung der Regelfläche. Außerdem untersuchen wir die Fragestellungen, die man bekommt, wenn man versucht, dass das paarweise auftreten der LIE-Kurven irgendwie in Analogie zum klassischen euklidischen BERTRAND-Kurvenpaar zu stellen. Z.B. lässt sich die Frage nach Regelflächen, deren LIE-Kurven Orthogonaltrajektorien der Erzeugenden sind, hier beantwortet.

Regelflächen, das sind durch die Bewegung von Geraden erzeugte Flächen, haben für den Betonleichtbau unter den Gesichtspunkten Statik und Herstellung herausragende Eigenschaften: Auch wenn sie doppelt gekrümmt sind, können sie geradlinig bewehrt oder vorgespannt werden. Außerdem kann die Schalung beispielsweise durch Heißdrahtschneiden aus Polystyrol-Hartschaum gewonnen werden. In gängigen CAD-Systemen ist die Klasse der Regelflächen bislang nicht angemessen repräsentiert und steht deshalb für die Bauteilgestaltung nur eingeschränkt zur Verfügung. Liniengeometrie für den Leichtbau liefert nun ein mathematisches Modell, das Regelflächen und auf sie wirkende Kräfte abbildet, und entwickelt daraus Formfindungswerkzeuge, die in einer vertrauten Entwurfsumgebung das Prinzip form follows force unterstützen. [Aus. Einführung] / Ruled surfaces, which are surfaces created by the movement of straight lines, have outstanding properties for lightweight concrete construction from the viewpoints of statics and production: even if they are double-curved, they can be reinforced or prestressed in a rectilinear fashion. In addition, the formwork can be obtained ef ciently from rigid polystyrene foam by hot wire cutting, for example. In current CAD systems, the class of ruled surfaces has not yet been adequately implemented and is therefore only available to a limited extent for component design. This project Line Geometry for Lightweight Structures provides a mathematical model that represents ruled surfaces and the forces acting on them, and uses this to develop form finding tools that support the principle of form follows force in a familiar design environment. [Off: Introduction]