In the verification of positive Harris recurrence of multiclass queueing networks the stability analysis for the class of fluid networks is of vital interest. This thesis addresses stability of fluid networks from a Lyapunov point of view. In particular, the focus is on converse Lyapunov theorems. To gain an unified approach the considerations are based on generic properties that fluid networks under widely used disciplines have in common. It is shown that the class of closed generic fluid network models (closed GFNs) is too wide to provide a reasonable Lyapunov theory. To overcome this fact the class of strict generic fluid network models (strict GFNs) is introduced. In this class it is required that closed GFNs satisfy additionally a concatenation and a lower semicontinuity condition. We show that for strict GFNs a converse Lyapunov theorem is true which provides a continuous Lyapunov function. Moreover, it is shown that for strict GFNs satisfying a trajectory estimate a smooth converse Lyapunov theorem holds. To see that widely used queueing disciplines fulfill the additional conditions, fluid networks are considered from a differential inclusions perspective. Within this approach it turns out that fluid networks under general work-conserving, priority and proportional processor-sharing disciplines define strict GFNs. Furthermore, we provide an alternative proof for the fact that the Markov process underlying a multiclass queueing network is positive Harris recurrent if the associate fluid network defining a strict GFN is stable. The proof explicitely uses the Lyapunov function admitted by the stable strict GFN. Also, the differential inclusions approach shows that first-in-first-out disciplines play a special role. / Für den Nachweis der positiven Harris-Rekurrenz bei Multiklassenwarteschlangennetzwerken ist die Stabilitätsanalyse der Klasse von Fluidnetzwerken von wesentlicher Bedeutung. Gegenstand dieser Arbeit ist die Stabilität von Fluidnetzwerken aus der Sicht von Lyapunov. Ein besonderes Augenmerk wird dabei auf konverse Lyapunov Theoreme gelegt. Hierzu wird ein axiomatischer Zugang gewählt, der auf generischen Eigenschaften gängiger Fluidnetzwerke basiert. Die Arbeit zeigt, dass die Klasse der abgeschlossenen generischen Fluidnetzwerk (abgeschlossene GFN) Modelle zu weit gefasst ist, um eine umfassende Lyapunovtheorie zu ermöglichen. Um dies zu beheben, wird die Klasse der strikten GFN Modelle eingeführt. In dieser Klasse wird verlangt, dass abgeschlossene GFN Modelle zusätzlich eine Verkettungs- sowie eine Unterhalbstetigkeitsbedingung erfüllen. Aus der Arbeit geht hervor, dass für strikte GFN Modelle Stabilität äquivalent zu der Existenz einer stetigen Lyapunov-Funktion ist. Darüberhinaus wird eine Regularitätseigenschaft an die Trajektorien des stikten GFN Modells gegeben, welche die Konstruktion glatter Lyapunov-Funktionen ermöglicht. Für den Nachweis, dass Fluidnetzwerke unter gängigen Disziplinen die zusätzlichen Eigenschaften erfüllen, werden diese als Differentialinklusionen aufgefasst. Dabei zeigt sich, dass allgemein arbeitserhaltende Fluidnetzwerke und Fluidnetzwerke mit Prioritäten strikte GFN Modelle liefern. Zudem zeigt die Arbeit einen alternativen Beweis dafür, dass der einem Multiklassenwarteschlangennetzwerk zugrunde liegende Markovprozess positiv Harris-rekurrent ist, falls das zugehörige Fluidnetzwerk ein striktes GFN Modell definiert und stabil ist. Dabei wird explizit die Lyapunov-Funktion des Fluidnetzwerkes ausgenutzt. Außerdem zeigt die Betrachtung von Fluidnetzwerken mittels Differentialinklusionen, dass first-in-first-out Fluidnetzwerken eine Sonderrolle zukommt.

Several aspects of the stability analysis of large-scale discrete-time systems are considered. An important feature is that the right-hand side does not have have to be continuous. In particular, constructive approaches to compute Lyapunov functions are derived and applied to several system classes. For large-scale systems, which are considered as an interconnection of smaller subsystems, we derive a new class of small-gain results, which do not require the subsystems to be robust in some sense. Moreover, we do not only study sufficiency of the conditions, but rather state an assumption under which these conditions are also necessary. Moreover, gain construction methods are derived for several types of aggregation, quantifying how large a prescribed set of interconnection gains can be in order that a small-gain condition holds. / Es werden großskalige zeitdiskrete Systeme betrachtet, deren rechte Seite nicht als stetig angenommen wird. Konstruktive Ansätze um Lyapunovfunktionen zu berechnen werden hergeleitet und auf mehrere Systemklassen angewandt. Für großskalige Systeme, die beschrieben sind durch die Kopplung kleinerer Systeme, wird eine neue Klasse von sogenannten Small-Gain Resultaten vorgestellt, die nicht verlangt, dass die Subsysteme robust sein müssen. Zudem untersuchen wir die Notwendigkeit der geforderten Bedingungen. Zusätzlich werden Gainkonstruktionsmethoden für verschiedene Typen von Verknüpfung hergeleitet, welche quantifizieren, wie groß eine vorgegebene Menge von Kopplungsgains sein kann, so dass eine Small-Gain-Bedingung erfüllt ist.

We investigate the numerical solution of the stable generalized Lyapunov equation via the sign function method. This approach has already been proposed to solve standard Lyapunov equations in several publications. The extension to the generalized case is straightforward. We consider some modifications and discuss how to solve generalized Lyapunov equations with semidefinite constant term for the Cholesky factor. The basic computational tools of the method are basic linear algebra operations that can be implemented efficiently on modern computer architectures and in particular on parallel computers. Hence, a considerable speed-up as compared to the Bartels-Stewart and Hammarling's methods is to be expected. We compare the algorithms by performing a variety of numerical tests.

We investigate the numerical solution of the stable generalized Lyapunov equation via the sign function method. This approach has already been proposed to solve standard Lyapunov equations in several publications. The extension to the generalized case is straightforward. We consider some modifications and discuss how to solve generalized Lyapunov equations with semidefinite constant term for the Cholesky factor. The basic computational tools of the method are basic linear algebra operations that can be implemented efficiently on modern computer architectures and in particular on parallel computers. Hence, a considerable speed-up as compared to the Bartels-Stewart and Hammarling's methods is to be expected. We compare the algorithms by performing a variety of numerical tests.