In the verification of positive Harris recurrence of multiclass queueing networks the stability analysis for the class of fluid networks is of vital interest. This thesis addresses stability of fluid networks from a Lyapunov point of view. In particular, the focus is on converse Lyapunov theorems. To gain an unified approach the considerations are based on generic properties that fluid networks under widely used disciplines have in common. It is shown that the class of closed generic fluid network models (closed GFNs) is too wide to provide a reasonable Lyapunov theory. To overcome this fact the class of strict generic fluid network models (strict GFNs) is introduced. In this class it is required that closed GFNs satisfy additionally a concatenation and a lower semicontinuity condition. We show that for strict GFNs a converse Lyapunov theorem is true which provides a continuous Lyapunov function. Moreover, it is shown that for strict GFNs satisfying a trajectory estimate a smooth converse Lyapunov theorem holds. To see that widely used queueing disciplines fulfill the additional conditions, fluid networks are considered from a differential inclusions perspective. Within this approach it turns out that fluid networks under general work-conserving, priority and proportional processor-sharing disciplines define strict GFNs. Furthermore, we provide an alternative proof for the fact that the Markov process underlying a multiclass queueing network is positive Harris recurrent if the associate fluid network defining a strict GFN is stable. The proof explicitely uses the Lyapunov function admitted by the stable strict GFN. Also, the differential inclusions approach shows that first-in-first-out disciplines play a special role. / Für den Nachweis der positiven Harris-Rekurrenz bei Multiklassenwarteschlangennetzwerken ist die Stabilitätsanalyse der Klasse von Fluidnetzwerken von wesentlicher Bedeutung. Gegenstand dieser Arbeit ist die Stabilität von Fluidnetzwerken aus der Sicht von Lyapunov. Ein besonderes Augenmerk wird dabei auf konverse Lyapunov Theoreme gelegt. Hierzu wird ein axiomatischer Zugang gewählt, der auf generischen Eigenschaften gängiger Fluidnetzwerke basiert. Die Arbeit zeigt, dass die Klasse der abgeschlossenen generischen Fluidnetzwerk (abgeschlossene GFN) Modelle zu weit gefasst ist, um eine umfassende Lyapunovtheorie zu ermöglichen. Um dies zu beheben, wird die Klasse der strikten GFN Modelle eingeführt. In dieser Klasse wird verlangt, dass abgeschlossene GFN Modelle zusätzlich eine Verkettungs- sowie eine Unterhalbstetigkeitsbedingung erfüllen. Aus der Arbeit geht hervor, dass für strikte GFN Modelle Stabilität äquivalent zu der Existenz einer stetigen Lyapunov-Funktion ist. Darüberhinaus wird eine Regularitätseigenschaft an die Trajektorien des stikten GFN Modells gegeben, welche die Konstruktion glatter Lyapunov-Funktionen ermöglicht. Für den Nachweis, dass Fluidnetzwerke unter gängigen Disziplinen die zusätzlichen Eigenschaften erfüllen, werden diese als Differentialinklusionen aufgefasst. Dabei zeigt sich, dass allgemein arbeitserhaltende Fluidnetzwerke und Fluidnetzwerke mit Prioritäten strikte GFN Modelle liefern. Zudem zeigt die Arbeit einen alternativen Beweis dafür, dass der einem Multiklassenwarteschlangennetzwerk zugrunde liegende Markovprozess positiv Harris-rekurrent ist, falls das zugehörige Fluidnetzwerk ein striktes GFN Modell definiert und stabil ist. Dabei wird explizit die Lyapunov-Funktion des Fluidnetzwerkes ausgenutzt. Außerdem zeigt die Betrachtung von Fluidnetzwerken mittels Differentialinklusionen, dass first-in-first-out Fluidnetzwerken eine Sonderrolle zukommt.

Several aspects of the stability analysis of large-scale discrete-time systems are considered. An important feature is that the right-hand side does not have have to be continuous. In particular, constructive approaches to compute Lyapunov functions are derived and applied to several system classes. For large-scale systems, which are considered as an interconnection of smaller subsystems, we derive a new class of small-gain results, which do not require the subsystems to be robust in some sense. Moreover, we do not only study sufficiency of the conditions, but rather state an assumption under which these conditions are also necessary. Moreover, gain construction methods are derived for several types of aggregation, quantifying how large a prescribed set of interconnection gains can be in order that a small-gain condition holds. / Es werden großskalige zeitdiskrete Systeme betrachtet, deren rechte Seite nicht als stetig angenommen wird. Konstruktive Ansätze um Lyapunovfunktionen zu berechnen werden hergeleitet und auf mehrere Systemklassen angewandt. Für großskalige Systeme, die beschrieben sind durch die Kopplung kleinerer Systeme, wird eine neue Klasse von sogenannten Small-Gain Resultaten vorgestellt, die nicht verlangt, dass die Subsysteme robust sein müssen. Zudem untersuchen wir die Notwendigkeit der geforderten Bedingungen. Zusätzlich werden Gainkonstruktionsmethoden für verschiedene Typen von Verknüpfung hergeleitet, welche quantifizieren, wie groß eine vorgegebene Menge von Kopplungsgains sein kann, so dass eine Small-Gain-Bedingung erfüllt ist.

Chemnitz, Techn. Univ., Diss., 2007. / Zugl. ersch. im Shaker Verl. Aachen, ISBN 978-3-8322-6348-5, - Parallelt.: Control engineered analysis and synthesis of MEMS with the electrostatic principle.

Zugl.: Darmstadt, Techn. Univ., Diss.

Die vorliegende Arbeit gibt eine umfassende Beschreibung elektrostatisch erregter und kapazitiv detektierter MEMS am Beispiel eines Beschleunigungssensors. Ausgehend von einem Feder-Masse-Dämpfer System wird ein mathematisches Modell des Gesamtsystems für den Reglerentwurf aufgestellt. Neuartige Identifikationsmethoden linearer und nichtlinearer Art ermöglichen eine Identifizierung des mechanischen Modells aus dem elektrostatischen System. Dadurch entfällt der Einsatz kostenintensiver optischer Messtechnik, wobei gleichzeitig die elektrische Signalstrecke identifiziert wird, die zum Reglerentwurf nötig ist. Der Optimal-Reglerentwurf basiert auf dem bekannten Verfahren der H-unendlich und H-2 Minimierung, dessen allgemeine Struktur Gütekriterien wie robuste Stabilität gegenüber Modellunsicherheiten und geforderte Dynamiken zulässt. Aufgrund des nichtlinearen Verhaltens des Gesamtsystems ist die Stabilität nur im Arbeitspunktbereich des für den Reglerentwurf entwickelten Modells garantiert. Die Stabilität innerhalb eines größeren Bereiches wird durch Betrachtung einer geeigneten Energiefunktion und numerischer Berechnungen geprüft. Rauschquellen des Sensorsystems werden abgeschätzt und die Sensitivität des Gesamtsystems analysiert. Möglichkeiten zur Rauschminderung und Sensitivitätserhöhung werden gezeigt, und Entwurfskriterien geben Hinweise zum Entwurf eines Sensorsystems. Schwerpunkt der Arbeit ist die komplette regelungstechnische Analyse und Synthese eines elektrostatisch erregten und detektierten Beschleunigungssensors. Die Auswertung simulativer Ergebnisse und praktischer Messungen bestätigen die Theorie und demonstrieren die Leistung des Entwurfs. / This paper presents a detailed analysis of electrostatic actuated and capacitive detected MEMS. The micro-mechanical system to be analyzed is restricted to an acceleration sensor. A mathematical model is presented for the plant starting from a spring-mass-damping system. New identification methods of linear and nonlinear nature allow the identification of the underlying mechanical system out of the electrostatic one. This saves the use of optical measurement, which reduces the costs enormously. Besides, the methods identify the electrical signal way, which is used for the feedback control. The optimal controller is based on the known methods of H-infinity and H-2 minimization. The model structure also allows one to impose model uncertainties and demanded dynamics on the optimization. The stability is only guaranteed in a narrow band close to the working point because of the nonlinear behavior of the resulting system. Investigations for a wider displacement are done with a proper energy-like function and numerical analysis. Noise sources of the system are estimated and the sensitivity of the complete system is analyzed. Design criteria are given to rise the sensitivity. The focus of this paper is the complete analysis and synthesis of an electrostatic actuated and detected accelerometer. The results from simulations and practical tests confirm the developed theory and the power of the design.

Die vorliegende Arbeit gibt eine umfassende Beschreibung elektrostatisch erregter und kapazitiv detektierter MEMS am Beispiel eines Beschleunigungssensors. Ausgehend von einem Feder-Masse-Dämpfer System wird ein mathematisches Modell des Gesamtsystems für den Reglerentwurf aufgestellt. Neuartige Identifikationsmethoden linearer und nichtlinearer Art ermöglichen eine Identifizierung des mechanischen Modells aus dem elektrostatischen System. Dadurch entfällt der Einsatz kostenintensiver optischer Messtechnik, wobei gleichzeitig die elektrische Signalstrecke identifiziert wird, die zum Reglerentwurf nötig ist. Der Optimal-Reglerentwurf basiert auf dem bekannten Verfahren der H-unendlich und H-2 Minimierung, dessen allgemeine Struktur Gütekriterien wie robuste Stabilität gegenüber Modellunsicherheiten und geforderte Dynamiken zulässt. Aufgrund des nichtlinearen Verhaltens des Gesamtsystems ist die Stabilität nur im Arbeitspunktbereich des für den Reglerentwurf entwickelten Modells garantiert. Die Stabilität innerhalb eines größeren Bereiches wird durch Betrachtung einer geeigneten Energiefunktion und numerischer Berechnungen geprüft. Rauschquellen des Sensorsystems werden abgeschätzt und die Sensitivität des Gesamtsystems analysiert. Möglichkeiten zur Rauschminderung und Sensitivitätserhöhung werden gezeigt, und Entwurfskriterien geben Hinweise zum Entwurf eines Sensorsystems. Schwerpunkt der Arbeit ist die komplette regelungstechnische Analyse und Synthese eines elektrostatisch erregten und detektierten Beschleunigungssensors. Die Auswertung simulativer Ergebnisse und praktischer Messungen bestätigen die Theorie und demonstrieren die Leistung des Entwurfs. / This paper presents a detailed analysis of electrostatic actuated and capacitive detected MEMS. The micro-mechanical system to be analyzed is restricted to an acceleration sensor. A mathematical model is presented for the plant starting from a spring-mass-damping system. New identification methods of linear and nonlinear nature allow the identification of the underlying mechanical system out of the electrostatic one. This saves the use of optical measurement, which reduces the costs enormously. Besides, the methods identify the electrical signal way, which is used for the feedback control. The optimal controller is based on the known methods of H-infinity and H-2 minimization. The model structure also allows one to impose model uncertainties and demanded dynamics on the optimization. The stability is only guaranteed in a narrow band close to the working point because of the nonlinear behavior of the resulting system. Investigations for a wider displacement are done with a proper energy-like function and numerical analysis. Noise sources of the system are estimated and the sensitivity of the complete system is analyzed. Design criteria are given to rise the sensitivity. The focus of this paper is the complete analysis and synthesis of an electrostatic actuated and detected accelerometer. The results from simulations and practical tests confirm the developed theory and the power of the design.