O objetivo principal de estudo deste trabalho são as estruturas localmente integráveis L e a fórmula de aproximação de Baouendi-Treves, segundo a qual qualquer solução homogênea de Lu = 0, pode, localmente, ser aproximada por polinômios nas suas integrais primeiras. A realização deste projeto requer um estudo rigoroso de alguns aspectos da teoria das estruturas involutivas e da teoria das distribuições. As principais referências são [2], [4] e [1]. / The main goal of this project is to study a locally integrable structures L and the Baouendi-Treves approximation formula, which states that every homogeneous solution of Lu = 0, can be, locally, approximated by polynomials in their first integrals. This result requires the rigorous study of some aspects of the involutive structures theory and of the distributions theory. The main references are [2], [4] e [1].

O objetivo principal de estudo deste trabalho são as estruturas localmente integráveis L e a fórmula de aproximação de Baouendi-Treves, segundo a qual qualquer solução homogênea de Lu = 0, pode, localmente, ser aproximada por polinômios nas suas integrais primeiras. A realização deste projeto requer um estudo rigoroso de alguns aspectos da teoria das estruturas involutivas e da teoria das distribuições. As principais referências são [2], [4] e [1]. / The main goal of this project is to study a locally integrable structures L and the Baouendi-Treves approximation formula, which states that every homogeneous solution of Lu = 0, can be, locally, approximated by polynomials in their first integrals. This result requires the rigorous study of some aspects of the involutive structures theory and of the distributions theory. The main references are [2], [4] e [1].

Desenvolvemos novos resultados da teoria dos espaços FS e DFS (espaços de Fréchet-Schwartz e seus duais) e os empregamos ao estudo da seguinte questão: quando certas propriedades de regularidade de um operador diferencial parcial linear (entre fibrados vetoriais Gevrey sobre uma variedade Gevrey) implicam resolubilidade, no sentido de ultradistribuições, do operador transposto? Estudamos esta questão para uma classe de operadores abstratos que contém os operadores diferenciais parciais lineares com coeficientes Gevrey usuais, mas também certas classes de operadores pseudo-diferenciais em variedades compactas, além de certos tipos de operadores de ordem infinita. Neste contexto, obtemos uma nova demonstração de um resultado global em variedades compactas (em que hipoelipticidade Gevrey global de um operador implica resolubilidade global de seu transposto), assim como alguns resultados no caso não-compacto relacionados à propriedade de não-confinamento de singularidades. Na sequência apresentamos algumas aplicações concretas, em particular para operadores de Hörmander, operadores de força constante e sistemas localmente integráveis de campos vetoriais. Analisamos ainda algumas instâncias de uma conjectura levantada em um artigo recente de F. Malaspina e F. Nicola (2014), a qual afirma que, para certos complexos diferenciais naturalmente associados a estruturas localmente integráveis, resolubilidade local no sentido de ultradistribuições (perto de um ponto, em um grau fixado) implica resolubilidade local no sentido de distribuições. Estabelecemos a validade desta conjectura quando o fibrado estrutural cotangente é gerado pelo diferencial de uma única integral primeira. / We develop new techniques in the setting of FS and DFS spaces (Fréchet-Schwartz spaces and their strong duals) and apply them to the study of the following question: when regularity properties of a general linear differential operator (between Gevrey vector bundles over a Gevrey manifold) imply solvability of its transpose in the sense of ultradistributions? This question is studied for a class of abstract operators that encompasses the usual partial differential operators with Gevrey coefficients, but also some flavors of pseudodifferential operators on compact manifolds and some classes of operators with infinite order. In this setting, we obtain a new proof of a global result on compact manifolds (global Gevrey hypoellipticity of the operator implying global solvability of the transpose), as well as some results in the non-compact case by means of the so-called property of non-confinement of singularities. We then move to some concrete applications, especially for Hörmander operators, operators of constant strength and locally integrable systems of vector fields. We also analyze some instances of a conjecture stated in a recent paper of F. Malaspina and F. Nicola (2014), which asserts that, in differential complexes naturally arising from locally integrable structures, local solvability in the sense of ultradistributions (near a point, in some fixed degree) implies local solvability in the sense of distributions. We establish the validity of the conjecture when the cotangent structure bundle is spanned by the differential of a single first integral.

Desenvolvemos novos resultados da teoria dos espaços FS e DFS (espaços de Fréchet-Schwartz e seus duais) e os empregamos ao estudo da seguinte questão: quando certas propriedades de regularidade de um operador diferencial parcial linear (entre fibrados vetoriais Gevrey sobre uma variedade Gevrey) implicam resolubilidade, no sentido de ultradistribuições, do operador transposto? Estudamos esta questão para uma classe de operadores abstratos que contém os operadores diferenciais parciais lineares com coeficientes Gevrey usuais, mas também certas classes de operadores pseudo-diferenciais em variedades compactas, além de certos tipos de operadores de ordem infinita. Neste contexto, obtemos uma nova demonstração de um resultado global em variedades compactas (em que hipoelipticidade Gevrey global de um operador implica resolubilidade global de seu transposto), assim como alguns resultados no caso não-compacto relacionados à propriedade de não-confinamento de singularidades. Na sequência apresentamos algumas aplicações concretas, em particular para operadores de Hörmander, operadores de força constante e sistemas localmente integráveis de campos vetoriais. Analisamos ainda algumas instâncias de uma conjectura levantada em um artigo recente de F. Malaspina e F. Nicola (2014), a qual afirma que, para certos complexos diferenciais naturalmente associados a estruturas localmente integráveis, resolubilidade local no sentido de ultradistribuições (perto de um ponto, em um grau fixado) implica resolubilidade local no sentido de distribuições. Estabelecemos a validade desta conjectura quando o fibrado estrutural cotangente é gerado pelo diferencial de uma única integral primeira. / We develop new techniques in the setting of FS and DFS spaces (Fréchet-Schwartz spaces and their strong duals) and apply them to the study of the following question: when regularity properties of a general linear differential operator (between Gevrey vector bundles over a Gevrey manifold) imply solvability of its transpose in the sense of ultradistributions? This question is studied for a class of abstract operators that encompasses the usual partial differential operators with Gevrey coefficients, but also some flavors of pseudodifferential operators on compact manifolds and some classes of operators with infinite order. In this setting, we obtain a new proof of a global result on compact manifolds (global Gevrey hypoellipticity of the operator implying global solvability of the transpose), as well as some results in the non-compact case by means of the so-called property of non-confinement of singularities. We then move to some concrete applications, especially for Hörmander operators, operators of constant strength and locally integrable systems of vector fields. We also analyze some instances of a conjecture stated in a recent paper of F. Malaspina and F. Nicola (2014), which asserts that, in differential complexes naturally arising from locally integrable structures, local solvability in the sense of ultradistributions (near a point, in some fixed degree) implies local solvability in the sense of distributions. We establish the validity of the conjecture when the cotangent structure bundle is spanned by the differential of a single first integral.