Cette thèse a pour thème la coloration de diverses classes de graphes épars. Shearer montra en 1983 [She83] que le ratio d'indépendance des graphes sans triangle de degré maximal d est au moins (1-o(1))ln d/d, et 13 ans plus tard Johansson [Joh96] démontra que le nombre chromatique de ces graphes est au plus O(d/ln d) quand d tend vers l'infini. Ce dernier résultat fut récemment amélioré par Molloy [Mol19], qui montra que la borne (1+o(1))d/ln d est valide quand d tend vers l'infini.Tandis que le résultat de Molloy s'exprime à l'aide d'un paramètre global, le degré maximal du graphe, nous montrons qu'il est possible de l'étendre à la coloration locale. Il s'agit de la coloration par liste, où la taille de la liste associée à chaque sommet ne dépend que de son degré. Avec une méthode différente se basant sur les propriétés de la distribution hard-core sur les ensembles indépendants d'un graphe, nous obtenons un résultat similaire pour la coloration fractionnaire locale, avec des hypothèses plus faibles. Nous démontrons également un résultat concernant la coloration fractionnaire locale des graphes où chaque sommet est contenu dans un nombre borné de triangles, et une borne principalement optimale sur le taux d'occupation — la taille moyenne des ensembles indépendants — de ces graphes. Nous considérons également les graphes de maille 7, et prouvons des résultats similaires qui améliorent les bornes précédemment connues quand le degré maximal du graphe est au plus 10^7. Finalement, pour les graphes d-réguliers où d vaut 3, 4, ou 5, de maille g variant entre 6 et 12, nous démontrons de nouvelles bornes inférieures sur le ratio d'indépendance.Le Chapitre 2 est dédié à la coloration à distance t d'un graphe, qui généralise la notion de coloration forte des arêtes. Nous cherchons à étendre le théorème de Johansson à la coloration à distance t, par l'exclusion de certains cycles. Le résultat de Johansson s'obtient par exclusion des triangles, ou des cycles de taille k pour n'importe quelle valeur de k. Nous montrons que l'exclusion des cycles de taille 2k, pour n'importe quel k>t, a un effet similaire sur le nombre chromatique à distance t, et sur l'indice chromatique à distance t+1. En outre, quand t est impair, une conclusion similaire peut se faire pour le nombre chromatique à distance t par l'exclusion des cycles de d'une taille impaire fixée valant au moins 3t. Nous étudions l'optimalité de ces résultats à l'aide de constructions de nature combinatoire, algébrique, et probabiliste.Dans le Chapitre 3, nous nous intéressons à la densité bipartie induite des graphes sans triangle, un paramètre relaxant celui de la coloration fractionnaire. Motivés par une conjecture de Esperet, Kang, et Thomassé [EKT19], qui prétend que la densité bipartie induite de graphes sans triangle de degré moyen d est au moins de l'ordre de ln d, nous démontrons cette conjecture quand d est suffisamment grand en termes du nombre de sommets n, à savoir d est au moins de l'ordre de (n ln n)^(1/2). Ce résultat ne pourrait être amélioré que par une valeur de l'ordre de ln n, ce que nous montrons à l'aide d'une construction reposant sur le processus sans triangle. Nos travaux se ramènent à un problème intéressant, celui de déterminer le nombre chromatique fractionnaire maximal d'un graphe épars à n sommets. Nous prouvons des bornes supérieures non triviales pour les graphes sans triangle, et pour les graphes dont chaque sommet appartient à un nombre borné de triangles.Cette thèse est reliée aux nombres de Ramsey. À ce jour, le meilleur encadrement connu sur R(3,t) nous est donné par le résultat de Shearer, et par une analyse récente du processus sans triangle [BoKe13+,FGM13+], ce qui donne(1-o(1)) t²/(4 ln t) < R(3,t) < (1+o(1)) t²/ln t. (1)Beaucoup de nos résultats ne pourraient être améliorés à moins d'améliorer par la même occasion (1), ce qui constituerait une révolution dans la théorie de Ramsey quantitative. / This thesis focuses on generalisations of the colouring problem in various classes of sparse graphs.Triangle-free graphs of maximum degree d are known to have independence ratio at least (1-o(1))ln d/d by a result of Shearer [She83], and chromatic number at most O(d/ln d) by a result of Johansson [Joh96], as d grows to infinity. This was recently improved by Molloy, who showed that the chromatic number of triangle-free graphs of maximum degree d is at most (1+o(1))d/ln d as d grows to infinity.While Molloy's result is expressed with a global parameter, the maximum degree of the graph, we first show that it is possible to extend it to local colourings. Those are list colourings where the size of the list associated to a given vertex depends only on the degree of that vertex. With a different method relying on the properties of the hard-core distribution on the independent sets of a graph, we obtain a similar result for local fractional colourings, with weaker assumptions. We also provide an analogous result concerning local fractional colourings of graphs where each vertex is contained in a bounded number of triangles, and a sharp bound for the occupancy fraction — the average size of an independent set — of those graphs. In another direction, we also consider graphs of girth 7, and prove related results which improve on the previously known bounds when the maximum degree does not exceed 10^7. Finally, for d-regular graphs with d in the set {3,4,5}, of girth g varying between 6 and 12, we provide new lower bounds on the independence ratio.The second chapter is dedicated to distance colourings of graphs, a generalisation of strong edge-colourings. Extending the theme of the first chapter, we investigate minimal sparsity conditions in order to obtain Johansson-like results for distance colourings. While Johansson's result follows from the exclusion of triangles — or actually of cycles of any fixed length — we show that excluding cycles of length 2k, provided that k>t, has a similar effect for the distance-t chromatic number and the distance-(t+1) chromatic index. When t is odd, the same holds for the distance-t chromatic number by excluding cycles of fixed odd length at least 3t. We investigate the asymptotic sharpness of our results with constructions of combinatorial, algebraic, and probabilistic natures.In the third chapter, we are interested in the bipartite induced density of triangle-free graphs, a parameter which conceptually lies between the independence ratio and the fractional chromatic number. Motivated by a conjecture of Esperet, Kang, and Thomassé [EKT19], which states that the bipartite induced density of a triangle-free graph of average degree d should be at least of the order of ln d, we prove that the conjecture holds for when d is large enough in terms of the number of vertices n, namely d is at least of the order of (n ln n)^(1/2). Our result is shown to be sharp up to term of the order of ln n, with a construction relying on the triangle-free process. Our work on the bipartite induced density raises an interesting related problem, which aims at determining the maximum possible fractional chromatic number of sparse graph where the only known parameter is the number of vertices. We prove non trivial upper bounds for triangle-free graphs, and graphs where each vertex belongs to a bounded number of triangles.All the content of this thesis is a collection of specialisations of the off-diagonal Ramsey theory. To this date, the best-known bounds on the off-diagonal Ramsey number R(3,t) come from the aforementioned result of Shearer for the upper-bound, and a recent analysis of the triangle-free process [BoKe13+,FGM13+] for the lower bound, giving(1-o(1)) t²/(4 ln t) < R(3,t) < (1+o(1)) t²/ln t. (1)Many of our results are best possible barring an improvement of (1), which would be a breakthrough in off-diagonal Ramsey theory.

Les évolutions récentes des systèmes électriques comme conséquence de la dérégulation du marché et des traités internationaux comme le protocole de Kyoto ont des répercussions importantes sur les réseaux, en particulier, ceux de distribution. En effet, une large part de la production décentralisée est prévue d'être raccordée sur ces derniers. La production décentralisée utilise des sources d'énergie renouvelables hautement imprévisibles et reparties. Ce fait ajoute une contrainte forte sur l'exploitation des réseaux de distribution qui n'ont pas été conçus, à l'origine, pour accueillir de la production d'énergie à large échelle. Ce travail de thèse étudie l'impact de l'incertitude sur les études classiques de planification des réseaux électriques. Les études statiques et dynamiques du réseau ont été réalisées prenant en compte plusieurs sources d'incertitude dans plusieurs réseaux de distribution. Les incertitudes sont modélisées dans les études statiques par les méthodes probabilistes et possibilistes. La méthode possibilistes offre des avantages sur la méthode probabiliste. Un taux de pénétration éolien maximum d'un petit réseau maillé a été déterminé, en dynamique, en utilisant la méthode probabiliste, ainsi que les simulations de stabilité moyen-long terme et petits signaux du réseau.

Cette thèse propose une nouvelle méthodologie permettant d'une part d'identifier les paramètres clefs qui contrôlent l'estimation de l'aléa sismique probabiliste, et d'autre part de quantifier l'impact des incertitudes de ces paramètres sur les estimations d'aléa. La méthode de Cornell-McGuire est utilisée dans cette étude. Tout d'abord, les incertitudes sur les déterminations de magnitude et de localisation sont modélisées et quantifiées : la variabilité résultante sur les estimations d'aléa est comprise entre 5 et 25% (=COV), selon le site et la période de retour considérés. Une étude est ensuite menée afin de hiérarchiser les impacts sur l'aléa liés aux choix de quatre paramètres : corrélation intensité-magnitude, magnitudes minimales et maximales, troncature de la relation d'atténuation du mouvement du sol. Les résultats à 34 Hz (PGA) indiquent que la magnitude maximale est le paramètre le moins influent (de 100 à 10000 ans) ; tandis que la corrélation I-M et la troncature des prédictions du mouvement du sol (>2¾) jouent un rôle clef quelle que soit la période de retour considérée (diminution de l'aléa jusqu'à 30% à 10000 ans). Une augmentation de la magnitude minimale contribuant à l'aléa, de 3.5 à 4.5, peut également produire des impacts non négligeables à courtes périodes de retour (diminution des valeurs d'aléa jusqu'à 20% à 475 ans). Enfin, la variabilité totale des estimations d'aléa, due aux choix combinés des quatre paramètres, peut atteindre 30% (COV, à 34 Hz). Pour des fréquences plus faibles (<5Hz), la variabilité totale augmente et la magnitude maximale devient un paramètre important. Ainsi, la variabilité des estimations due aux incertitudes de catalogue et aux choix de ces quatre paramètres doit être prise en compte dans toute étude d'estimation de l'aléa sismique probabiliste en France. Cette variabilité pourra être réduite en élaborant une corrélation intensité-magnitude plus appropriée, et en recherchant une manière plus réaliste de prendre en compte la dispersion du mouvement du sol.

Dans de nombreux domaines d'application, comme en génie civil ou en aéronautique, les ingénieurs sont confrontés a des problèmes dedimensionnement de structures en contact avec un domaine non-borné. Pour ces problèmes, seule la structure intéresse réellement les ingénieurs, et le domaine extérieur n'a d'importance que par sa raideur équivalente, en statique, ou sa matrice d'impédance, en dynamique. Par ailleurs, les domaines infinis considérés dans ces applications sont souvent mal connus ou complexes à modéliser. Cela entraîne des erreurs et incertitudes pour les estimations faites sur la structure, qui peuvent être en partie prises en compte par des approches probabilistes.<br /><br />On propose donc dans cette thèse un modèle probabiliste des matrices d'impédance, qui généralise l'approche non-paramétrique proposée récemment par Soize pour les prédictions des vibrations de structures aléatoires. La construction de ce modèle probabiliste nécessite tout d'abord la construction d'un modèle déterministe approché, dit à variables cachées, des matrices d'impédance suivant leurs propriétés de base, dont, notamment, la causalité. Ce modèle doit être identifié à partir de calculs numériques ou de mesures, et la procédure d'identification est également developpée dans le cadre de la thèse.<br /><br />Deux applications sont proposées. Le modèle non-paramétrique de matrice d'impédance est d'abord comparé, sur un cas simple d'interaction dynamique sol-structure, à un modèle paramétrique pour illustrer les principales différences entre les approches. Ensuite, un cas plus industriel de dimensionnement sismique permet d'envisager l'utilisation pratique du modèle probabiliste non-paramétrique.

Le but de la radiothérapie est d’irradier les cellules cancéreuses tout en préservant au maximum les tissus sains environnants. Or, dans le cas du cancer du poumon, la respiration du patient engendre des mouvements de la tumeur pendant le traitement. Une solution possible est de repositionner continuellement le faisceau d’irradiation sur la cible tumorale en mouvement. L’e cacité et la sûreté de cette approche reposent sur la localisation précise en temps réel de la tumeur. Le suivi indirect consiste à inférer la position de la cible tumorale à partir de l’observation d’un signal substitut, visible en continu sans nécessiter de rayonnement ionisant. Un modèle de corrélation spatial doit donc être établi. Par ailleurs, pour compenser la latence du système, l’algorithme de suivi doit pouvoir également anticiper la position future de la cible. Parce que la respiration du patient varie dans le temps, les modèles de prédiction et de corrélation peuvent devenir imprécis. La prédiction de la position de la tumeur devrait alors idéalement être complétée par l’estimation des incertitudes associées aux prédictions. Dans la pratique clinique actuelle, ces incertitudes de positionnement en temps réel ne sont pas explicitement prédites. Cette thèse de doctorat s’intéresse au contrôle en temps réel de la précision du suivi indirect de tumeurs mobiles en radiothérapie. Dans un premier temps, une méthode bayésienne pour le suivi indirect en radiothérapie est développée. Cette approche, basée sur le filtre de Kalman, permet de prédire non seulement la position future de la tumeur à partir d’un signal substitut, mais aussi les incertitudes associées. Ce travail o re une première preuve de concept, et montre également le potentiel du foie comme substitut interne, qui apparait plus robuste et fiable que les marqueurs externes communément utilisés dans la pratique clinique. Dans un deuxième temps, une adaptation de la méthode est proposée afin d’améliorer sa robustesse face aux changements de respiration. Cette innovation permet de prédire des régions de confiance adaptatives, capables de détecter les erreurs de prédiction élevées, en se basant exclusivement sur l’observation du signal substitut. Les résultats révèlent qu’à sensibilité élevée (90%), une spécificité d’environ 50% est obtenue. Un processus de validation innovant basé sur ces régions de confiance adaptatives est ensuite évalué et comparé au processus conventionnel qui consiste en des mesures de la cible à intervalles de temps fixes et prédéterminés. Une version adaptative de la méthode bayésienne est donc développée afin d’intégrer des mesures occasionnelles de la position de la cible. Les résultats confirment que les incertitudes prédites par la méthode bayésienne permettent de détecter les erreurs de prédictions élevées, et démontrent que le processus de validation basé sur ces incertitudes a le potentiel d’être plus e cace que les validations régulières. Ces approches bayésiennes sont validées sur des séquences respiratoires de volontaires, acquises par imagerie par résonance magnétique (IRM) dynamique et interpolées à haute fréquence. Afin de compléter l’évaluation de la méthode bayésienne pour le suivi indirect, une validation expérimentale préliminaire est conduite sur des données cliniques de patients atteints de cancer du poumon. Les travaux de ce projet doctoral promettent une amélioration du contrôle en temps réel de la précision des prédictions lors des traitements de radiothérapie. Finalement, puisque l’imagerie ultrasonore pourrait être employée pour visualiser les substituts internes, une étude préliminaire sur l’évaluation automatique de la qualité des images ultrasonores est présentée. Ces résultats pourront être utilisés ultérieurement pour le suivi indirect en radiothérapie en vue d’optimiser les acquisitions ultrasonores pendant les traitements et faciliter l’extraction automatique du mouvement du substitut. / The goal of radiotherapy is to irradiate cancer cells while maintaining a low dose of radiation to the surrounding healthy tissue. In the case of lung cancer, the patient’s breathing causes the tumor to move during treatment. One possible solution is to continuously reposition the irradiation beam on the moving target. The e ectiveness and safety of this approach rely on accurate real-time localization of the tumor. Indirect strategies derive the target positions from a correlation model with a surrogate signal, which is continuously monitored without the need for radiation-based imaging. In addition, to compensate for system latency, the tracking algorithm must also be able to anticipate the future position of the target. Because the patient’s breathing varies over time, prediction and correlation models can become inaccurate. Ideally, the prediction of the tumor location would also include an estimation of the uncertainty associated with the prediction. However, in current clinical practice, these real-time positioning uncertainties are not explicitly predicted. This doctoral thesis focuses on real-time control of the accuracy of indirect tracking of mobile tumors in radiotherapy. First, a Bayesian method is developed. This approach, based on Kalman filter theory, allows predicting both future target motion in real-time from a surrogate signal and associated uncertainty. This work o ers a first proof of concept, and also shows the potential of the liver as an internal substitute as it appears more robust and reliable than the external markers commonly used in clinical practice. Second, an adaptation of the method is proposed to improve its robustness against changes in breathing. This innovation enables the prediction of adaptive confidence regions that can be used to detect significant prediction errors, based exclusively on the observation of the surrogate signal. The results show that at high sensitivity (90%), a specificity of about 50% is obtained. A new validation process based on these adaptive confidence regions is then evaluated and compared to the conventional validation process (i.e., target measurements at fixed and predetermined time intervals). An adaptive version of the Bayesian method is therefore developed to valuably incorporate occasional measurements of the target position. The results confirm that the uncertainties predicted by the Bayesian method can detect high prediction errors, and demonstrate that the validation process based on these uncertainties has the potential to be more e cient and e ective than regular validations. For these studies, the proposed Bayesian methods are validated on respiratory sequences of volunteers, acquired by dynamic MRI and interpolated at high frequency. In order to complete the evaluation of the Bayesian method for indirect tracking, experimental validation is conducted on clinical data of patients with lung cancer. The work of this doctoral project promises to improve the real-time control of the accuracy of predictions during radiotherapy treatments. Finally, since ultrasound imaging could be used to visualize internal surrogates, a preliminary study on automatic ultrasound image quality assessment is presented. These results can later be used for indirect tracking in radiotherapy to optimize ultrasound acquisitions during treatments and facilitate the automatic estimation of surrogate motion.