Ce document présente une synthèse des travaux de recherche effectués par l'auteur depuis 2000 au Massachusetts Institute Of Technology(MIT) puis à l'École Polytechnique Fédérale de Lausanne(EPFL). Ces travaux sont essentiellement axés sur les méthodes de bases réduites avec bornes d'erreur permettant la prédiction rapide et fiable de quantités issues de solutions d'équations aux dérivées partielles. L'implémentation de ces méthodes est complexe et l'auteur a également proposé et développé des outils innovants afin de tirer profit de celles-ci à moindre coût en termes de développement. cours et perspectives de recherche. Par ailleurs, ce document présente quelques travaux en cours et perspectives de recherche.

Dans ce travail, nous nous intéressons à l'analyse numérique de problèmes aux valeurs propres non linéaires, comme on peut en trouver en chimie quantique ou en mécanique. La résolution de ces problèmes étant très coûteuse, l'idée est de proposer de nouvelles méthodes permettant de simplifier la résolution de ce type de problèmes et ainsi diminuer le coût de calcul. L'analyse numérique est nécessaire pour comprendre si l'impact positif sur le coût de calcul total n'a pas de mauvaise conséquence sur la précision des résultats. On propose un complément aux travaux existants sur les estimations d'erreur a priori, afin d'obtenir des résultats équivalents à ceux connus dans le cas de problèmes aux valeurs propres linéaires. Ces résultats ont été utilisés pour la mise en oeuvre et l'analyse numérique de nouveaux schémas à deux grilles pour l'approximation de problèmes aux valeurs propres non linéaires. Ensuite, on propose d'adapter ce type de méthode de sous-grilles, pour une utilisation associée à la méthode des bases réduites.

L'objectif principal de cette thèse est le développement d'outils numériques peu coûteux pour la cartographie de concentrations de polluants a partir de mesures et de modèles déterministes avancés. Le développement mondial et l'urbanisation des populations génèrent une hausse d’émissions et d'expositions. A n d'estimer les expositions individuelles et évaluer leur association à des pathologies diverses, les campagnes de mesure de qualité de l'air, et des études épidémiologiques sur les effets de santé de la pollution sont devenues plus courantes. Cependant, les concentrations de pollution de l'air sont très variables en temps et en espace. La sensibilité et la précision de ces études est souvent détériorée par de mauvais classements des expositions dus aux estimations grossières des expositions individuelles. Les méthodes d'assimilation de données intègrent des données de mesures et des modèles mathématiques a n de mieux approximer le champ de concentration. Quand ces méthodes sont basées sur un modèle de qualité de l'air (AQM) déterministe avancé, elles sont capables de fournir des approximations détaillées et de petite échelle. Ces informations précises permettront de meilleures estimations d'exposition. Néanmoins, ces méthodes sont souvent tr es coûteuses. Elles nécessitent la résolution a plusieurs reprises du modèle, qui peut être coûteux soi-même. Dans ce travail nous enquêtons sur la combinaison des méthodes des bases réduites (RB) et d'assimilation de données pour des AQM avancés a l'échelle urbaine. Nous souhaitons diminuer le coût de résolution en exploitant les RB, et incorporer des données de mesure a n d'améliorer la qualité de la solution. On étend la méthode de Parameterized-Background Data-Weak (PBDW) pour des AQMs basés sur la physique. Cette méthode est capable d'estimer de façon rapide et "online" des concentrations de polluants à l'échelle du quartier. Elle se sert des AQMs disponibles dans une procédure non intrusive et efficace par rapport aux temps de calculs pour réduire le coût de résolution par des centaines de fois. Les résultats de PBDW sont comparés à la méthode d'interpolation empirique généralisée (GEIM) et à une méthode inverse usuelle, la méthode adjointe, a n de mesurer l'efficacité de la PBDW. Cette comparaison montre la possibilité d'augmenter la précision de la solution, et d'une grande réduction en temps de calcul par rapport à des méthodes classiques. Dans nos applications sur un modèle imparfait, l'étude a fourni des estimations d'état avec erreur d'approximation de moins de 10% presque partout. Les résultats se montrent prometteurs pour la reconstruction en temps réel de champs de pollution sur de grands domaines par la PBDW / The principal objective of this thesis is the development of low-cost numerical tools for spatial mapping of pollutant concentrations from field observations and advanced deterministic models. With increased pollutant emissions and exposure due to mass urbanization and development worldwide, air quality measurement campaigns and epidemiology studies of the association between air pollution and adverse health effects have become increasingly common. However, as air pollution concentrations are highly variable spatially and temporally, the sensitivity and accuracy of these epidemiology studies is often deteriorated by exposure misclassi cation due to poor estimates of individual exposures. Data assimilation methods incorporate available measurement data and mathematical models to provide improved approximations of the concentration. These methods, when based on an advanced deterministic air quality models (AQMs), could provide spatially-rich small-scale approximations and can enable better estimates of effects and exposures. However, these methods can be computationally expensive. They require repeated solution of the model, which could itself be costly. In this work we investigate a combined reduced basis (RB) data assimilation method for use with advanced AQMs on urban scales. We want to diminish the cost of resolution, using RB arguments, and incorporate measurement data to improve the quality of the solution. We extend the Parameterized-Background Data-Weak (PBDW) method to physically-based AQMs. This method can rapidly estimate "online" pollutant concentrations at urban scale, using available AQMs in a non-intrusive and computationally effcient manner, reducing computation times by factors up to hundreds. We apply this method in case studies representing urban residential pollution of PM2.5, and we study the stability of the method depending on the placement or air quality sensors. Results from the PBDW are compared to the Generalized Empirical Interpolation Method (GEIM) and a standard inverse problem, the adjoint method, in order to measure effciency of the method. This comparison shows possible improvement in precision and great improvement in computation cost with respect to classical methods. We fi nd that the PBDW method shows promise for the real-time reconstruction of a pollution eld in large-scale problems, providing state estimation with approximation error generally under 10% when applied to an imperfect model