Le principe du contrôle non destructif par Flux de Fuite Magnétique (FFM) consiste à magnétiser une pièce à contrôler par un champ magnétique intense et à détecter à l’aide d’un capteur magnétique les fuites des lignes de champ qui résultent de la présence d’un défaut dans la pièce. Les méthodes de contrôle FFM sont très employées notamment lors du processus de fabrication des tubes ferromagnétiques par la société Vallourec, le leader mondial des fabricants de tube. Dans le but d’améliorer les performances des systèmes de contrôle installés en usine, le CEA LIST et le centre de recherches de Vallourec (VRA) collaborent pour développer des outils de simulation rapides dédiés au contrôle virtuel des tubes ferromagnétiques. Le système expérimental existant concerne plus particulièrement la détection des défauts longitudinaux. Le problème de modélisation se pose en termes de modélisation d’un système électromagnétique à géométrie complexe en régime magnétostatique non-linéaire. Les courants de Foucault induits par le mouvement relatif entre la pièce et le circuit magnétique sont négligés. Dans ce contexte, une approche semi-analytique reposant sur le formalisme des équations intégrales (EI) a été choisie. Les travaux effectués dans cette thèse ont pour but de traiter des géométries complexes 3D mais limitées dans une première étape aux matériaux linéaires. Toutefois, le caractère non-linéaire de la relation liant l’induction magnétique et le champ magnétique dans un matériau ferromagnétique doit être envisageable lors du choix de la formulation du problème. Après une étude des paramètres influents du système expérimental existant, menée par des simulations par éléments finis, nous avons considéré deux stratégies de modélisation. La première consiste à proposer un schéma de résolution qui combine un module de calcul 2D et un module d’extension du 2D vers le 3D. Le manque de généralisation de cette première approche simplifiée nous a conduits à proposer une deuxième stratégie qui résout le problème complet de magnétostatique 3D. La formulation par équations intégrales porte sur une quantité scalaire auxiliaire : la densité surfacique de charges magnétiques. Afin de pouvoir résoudre à terme un problème 3D non-linéaire, le schéma numérique proposé considère deux hypothèses : la pièce ferromagnétique est divisée en un ensemble de cellules hexaédriques dans lesquelles la perméabilité magnétique est constante et les inconnues du problème, les densités surfaciques de charge sur les faces de chaque cellule sont projetées sur des fonctions de base d’ordre 0. Le calcul numérique des intégrales singulières s’effectue de manière analytique. Plusieurs résultats de simulation confirment la validité du modèle numérique présenté. Même si le modèle présente encore aujourd’hui quelques limitations notamment sur le manque de précision des calculs en présence de défaut, celui-ci donne satisfaction en absence de défaut. Diverses configurations géométriques ont été traitées grâce à l’emploi du mailleur libre Gmsh. Le travail réalisé débouche sur un modèle 3D linéaire intégrable dans un procédé itératif pour effectuer une simulation en régime non-linéaire. Les inconvénients liés au formalisme des équations intégrales sont aujourd’hui contournables grâce aux méthodes de compression de matrices. Ce modèle est un bon candidat pour servir d’outil de simulation pour le contrôle virtuel des matériaux plans ou cylindriques par flux de fuite. / The principle of Non Destructive Testing (NDT) by using magnetic flux leakage (MFL) consists to magnetize a magnetic component to be inspected by a strong magnetic field and to detect with a magnetic sensor the magnetic flux lines which are leaking from part due to a defect. MFL methods are usually used during the process of manufacture of ferromagnetic pipes by our partner, the Vallourec Group, the leader in the world in manufacturing of pipes. To improve NDT systems in manufacturing plants, the CEA-LIST and the research center of Vallourec are working together to develop fast simulation tools dedicated to virtual testing of ferromagnetic pipes. The main experimental system concerns the detection of longitudinal defect. The modeling problem is to solve an electromagnetism problem with a complex geometry in the magneto-static nonlinear regime. Eddy currents induced by the motion of the pipe with respect to the magnetizing system are neglected.In this context, a semi-analytical approach based on integral equations (IE) has been chosen. The goal of some works which have been carried out in this PHD thesis is to address 3D complex geometries but, in first a step, limited to the linear regime. However, the non-linear behavior of the relationship which links the magnetic flux density and the magnetic field inside a ferromagnetic material must be considered when choosing the 3D formulation of the problem.After a study about influent parameters of the experimental system, carried out by using finite elements computations, we have considered two strategies for modeling. The first one has consisted to build up a strategy which consists to join the 2D numerical model, existing in the laboratory to an extension model from 2D to 3D. This approach was a priori quite simple but the lack of generality of this approach leads us to suggest another strategy which results in solving the complete 3D magneto-static problem. This formulation is based the integral equation formalism implying an auxiliary scalar quantity: the magnetic surface charge density. In order to be able to solve a nonlinear problem in the future, the chosen numerical scheme we have adopted is based on two hypothesis: the ferromagnetic part is firstly divided into a finite number of small hexahedral cells in which the relative magnetic permeability is supposed to be constant and secondly, the unknowns of the problem, the surface charge densities on the facets of each cell are expanded by using basis functions of zero order. Thanks to this limitation, the singular integrals can be analytically computed. Some simulation results confirm the validity of the implemented numerical model. This model presents some limitations at the moment in the cases of a workpiece with a defect but it can provide quite good results without any defect. Several geometries have been addressed by using Gmsh, free meshing software. Moreover, the final numerical model can be included into an iterative process to deal with non-linear cases. The limitations due to the EI formalism can be overcome today by using some compression matrix methods. Presently, this model is a good candidate for virtual NDT for cylindrical and planar geometries by magnetic flux leakage.

Le principe du contrôle non destructif par Flux de Fuite Magnétique (FFM) consiste à magnétiser une pièce à contrôler par un champ magnétique intense et à détecter à l'aide d'un capteur magnétique les fuites des lignes de champ qui résultent de la présence d'un défaut dans la pièce. Les méthodes de contrôle FFM sont très employées notamment lors du processus de fabrication des tubes ferromagnétiques par la société Vallourec, le leader mondial des fabricants de tube. Dans le but d'améliorer les performances des systèmes de contrôle installés en usine, le CEA LIST et le centre de recherches de Vallourec (VRA) collaborent pour développer des outils de simulation rapides dédiés au contrôle virtuel des tubes ferromagnétiques. Le système expérimental existant concerne plus particulièrement la détection des défauts longitudinaux. Le problème de modélisation se pose en termes de modélisation d'un système électromagnétique à géométrie complexe en régime magnétostatique non-linéaire. Les courants de Foucault induits par le mouvement relatif entre la pièce et le circuit magnétique sont négligés. Dans ce contexte, une approche semi-analytique reposant sur le formalisme des équations intégrales (EI) a été choisie. Les travaux effectués dans cette thèse ont pour but de traiter des géométries complexes 3D mais limitées dans une première étape aux matériaux linéaires. Toutefois, le caractère non-linéaire de la relation liant l'induction magnétique et le champ magnétique dans un matériau ferromagnétique doit être envisageable lors du choix de la formulation du problème. Après une étude des paramètres influents du système expérimental existant, menée par des simulations par éléments finis, nous avons considéré deux stratégies de modélisation. La première consiste à proposer un schéma de résolution qui combine un module de calcul 2D et un module d'extension du 2D vers le 3D. Le manque de généralisation de cette première approche simplifiée nous a conduits à proposer une deuxième stratégie qui résout le problème complet de magnétostatique 3D. La formulation par équations intégrales porte sur une quantité scalaire auxiliaire : la densité surfacique de charges magnétiques. Afin de pouvoir résoudre à terme un problème 3D non-linéaire, le schéma numérique proposé considère deux hypothèses : la pièce ferromagnétique est divisée en un ensemble de cellules hexaédriques dans lesquelles la perméabilité magnétique est constante et les inconnues du problème, les densités surfaciques de charge sur les faces de chaque cellule sont projetées sur des fonctions de base d'ordre 0. Le calcul numérique des intégrales singulières s'effectue de manière analytique. Plusieurs résultats de simulation confirment la validité du modèle numérique présenté. Même si le modèle présente encore aujourd'hui quelques limitations notamment sur le manque de précision des calculs en présence de défaut, celui-ci donne satisfaction en absence de défaut. Diverses configurations géométriques ont été traitées grâce à l'emploi du mailleur libre Gmsh. Le travail réalisé débouche sur un modèle 3D linéaire intégrable dans un procédé itératif pour effectuer une simulation en régime non-linéaire. Les inconvénients liés au formalisme des équations intégrales sont aujourd'hui contournables grâce aux méthodes de compression de matrices. Ce modèle est un bon candidat pour servir d'outil de simulation pour le contrôle virtuel des matériaux plans ou cylindriques par flux de fuite.