Orientador: Nancy Lopes Garcia / Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica / Made available in DSpace on 2018-08-11T16:45:43Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Goto_DanielaBentoFonsechi_M.pdf: 3513260 bytes, checksum: ff6f9e35005ad9015007d1f51ee722c1 (MD5) Previous issue date: 2008 / Resumo: O objetivo desta dissertação é estudar estimação de máxima verossimilhança para processos de nascimento puro espacial para dois diferentes tipos de amostragem: a) quando há observação permanente em um intervalo [0, T]; b) quando o processo é observado após um tempo T fixo. No caso b) não se conhece o tempo de nascimento dos pontos, somente sua localização (dados faltantes). A função de verossimilhança pode ser escrita para o processo de nascimento puro não homogêneo em um conjunto compacto através do método da projeção descrito por Garcia and Kurtz (2008), como projeção da função de verossimilhança. A verossimilhança projetada pode ser interpretada como uma esperança e métodos de Monte Carlo podem ser utilizados para estimar os parâmetros. Resultados sobre convergência quase-certa e em distribuição são obtidos para a aproximação do estimador de máxima verossimilhança. Estudos de simulação mostram que as aproximações são adequadas. / Abstract: The goal of this work is to study the maximum likelihood estimation of a spatial pure birth process under two different sampling schemes: a) permanent observation in a fixed time interval [0, T]; b) observation of the process only after a fixed time T. Under scheme b) we don't know the birth times, we have a problem of missing variables. We can write the likelihood function for the nonhomogeneous pure birth process on a compact set through the method of projection described by Garcia and Kurtz (2008), as the projection of the likelihood function. The fact that the projected likelihood can be interpreted as an expectation suggests that Monte Carlo methods can be used to compute estimators. Results of convergence almost surely and in distribution are obtained for the aproximants to the maximum likelihood estimator. Simulation studies show that the approximants are appropriate. / Mestrado / Inferencia em Processos Estocasticos / Mestre em Estatística

O foco principal do presente trabalho é estender uma metodologia numérica embasada no uso de uma técnica de refinamento adaptativo de malha (AMR - Adaptive Mesh Refinement) e no uso de esquemas temporais multipasso implícitos-explícitos (IMEX) a aplicações envolvendo escoamentos reativos com baixo número de Mach. Originalmente desenvolvida para escoamentos incompressíveis, a formulação euleriana daquela metodologia emprega as equações de Navier-Stokes como modelo matemático para descrever a dinâmica do escoamento e o Método da Projeção, baseado no divergente nulo da velocidade do escoamento, para tratar o acoplamento pressão-velocidade presente na formulação com variáveis primitivas. Tal formulação euleriana original é estendida para acomodar novas equações agregadas ao modelo matemático da fase contínua: conservação de massa, fração de mistura (para representar as concentrações de combustível e oxidante), e energia. Além disso, uma equação termodinâmica de estado é integrada ao modelo matemático estendido e é empregada juntamente com a equação de conservação de massa para produzir uma nova restrição (não nula desta vez) ao divergente do campo de velocidade. Assume-se que o escoamento ocorre a baixo número de Mach (hipótese principal). O Método de Diferença Finita é empregado na discretização espacial das variáveis eulerianas de estado, empregando-se uma malha AMR. As vantagens e dificuldades desta extensão são cuidadosamente investigadas e reportadas. Pela importância, do ponto de vista de aplicações práticas, alguns estudos numéricos preliminares envolvendo escoamentos incompressíveis turbulentos com sprays são realizados (as gotículas compõem a fase dispersa). Num primeiro momento, apenas sprays com gotículas inertes são considerados. Embora ainda apenas iniciais, tais estudos já se mostram importantes pois identificam com clareza, em primeira instância, algumas das dificuldades inerentes a serem enfrentadas ao se tratar dentro desta nova metodologia um conjunto relativamente grande de gotículas lagrangianas. No caso de escoamentos incompressíveis turbulentos com sprays, a integração temporal se dá com métodos IMEX para a fase contínua e com o Método de Euler Modificado para a fase dispersa. A turbulência, em todos os casos que a envolvem, é tratada pelo modelo de Simulação das Grandes Escalas (LES - Large Eddy Simulation). As simulações computacionais se dão em um domínio tridimensional, um parelelepípedo, e empregam uma extensão (resultante do presente trabalho) do código AMR3D, um programa de computador sequencial implementado em Fortran90, oriundo de uma colaboração de longa data entre o IME-USP e o MFLab/FEMEC-UFU (Laboratório de Dinâmica de Fluidos da Universidade Federal de Uberlândia). O processamento foi efetuado no LabMAP (Laboratório da Matemática Aplicada do IME-USP). / It is the main goal of the present work to extend a numerical methodology based on both the use of an adaptive mesh refinement technique (AMR) and the use of a multistep, implicit-explicit time-step strategy (IMEX) to applications involving low Mach number reactive flows. Originally developed for incompressible flows, the Eulerian formulation of that methodology employs the Navier-Stokes equations to model the flow dynamics and the Projection Method, based on the vanishing divergence of the velocity field, to tackle the pressure-velocity coupling present when using primitive variables. That Eulerian formulation is extended by adding a new set of equations to the original mathematical model, describing the various properties of the continuous phase: mass conservation, mixture fraction (to represent concentrations of fuel and oxidizer) and energy. Also, a thermodynamic equation of state is included into the extended mathematical model which is employed, along with the equation for the conservation of mass, to derive a new restriction (this time, different from zero) to the divergence of the velocity field. It is assumed that one is dealing with a low Mach number flow (the main hipothesis). The discretization in space employs the Finite Difference Method for the Eulerian variables on a AMR mesh. Advantages and difficulties of such an extension of the previous methodology are carefully investigated and reported. For its importance in the real-world applications, few preliminary numerical studies involving incompressible turbulent flows with sprays are performed (the droplets form what it is called the dispersed phase). Only sprays formed by inert droplets are considered. Even though initial yet, such studies are most important because they clearly identify, first hand, certain difficulties in handling relatively large sets of Lagrangian droplets in the context of this new AMR methodology. In the context of turbulent incompressible flows with sprays, the overall time-step scheme is given by IMEX methods for the continuous phase and by the Improved Euler Method for the dispersed phase. In all the cases in which it is considered, turbulence is modeled by the Large Eddy Simulation (LES) model. The computational simulations are held in a tridimensional domain given by a paralellepiped and all of them employ the extention (resulting of the present work) of the AMR3D code, a sequencial computer program implemented in Fortran90, whose origin is the collaborative work between IMEUSP and MFLab/FEMEC-UFU (Fluid Dynamics Laboratory, Federal University of Uberlândia). Computations were performed at LabMAP (Applied Mathematics Laboratory at IME-USP).

No desenvolvimento de códigos paralelos, a biblioteca PETSc se destaca como uma ferramenta prática e útil. Com o uso desta ferramenta, este trabalho apresenta um estudo sobre resolvedores de sistemas lineares aplicados a escoamentos incompressíveis de fluidos em microescala, além de uma análise de seu comportamento em paralelo. Após um estudo dos diversos aspectos dos métodos de fronteira imersa, é apresentado um método de fronteira imersa paralelo de primeira ordem. Na sequência, é apresentada uma proposta de melhoria na precisão do método, baseada na minimização da distância entre a condição de contorno exata e aproximada, no sentido de mínimos quadrados. O desenvolvimento de uma ferramenta paralela eficiente é demonstrado na solução numérica de problemas envolvendo escoamentos incompressíveis de fluidos viscosos com fronteiras imersas / In the development of parallel codes, PETSc library has an important position as a practical and useful tool. With this tool, this work presents a study about linear system solvers applied to incompressible flow in microscale problems, furthermore an analysis of the parallel behavior of these methods is presented. After a study of several aspects of immersed boundary methods, and taking advantage of the flexibility of PETSc, a parallel first order immersed boundary method is presented. Thereafter, an improvement in the accuracy of the method is presented, based on the minimization of the distance between exact and approximated boundary conditions, in the least square sense. The development of a parallel and efficient tool is demonstrated in the numerical solution of incompressible viscous flow problems with immersed boundary

No desenvolvimento de códigos paralelos, a biblioteca PETSc se destaca como uma ferramenta prática e útil. Com o uso desta ferramenta, este trabalho apresenta um estudo sobre resolvedores de sistemas lineares aplicados a escoamentos incompressíveis de fluidos em microescala, além de uma análise de seu comportamento em paralelo. Após um estudo dos diversos aspectos dos métodos de fronteira imersa, é apresentado um método de fronteira imersa paralelo de primeira ordem. Na sequência, é apresentada uma proposta de melhoria na precisão do método, baseada na minimização da distância entre a condição de contorno exata e aproximada, no sentido de mínimos quadrados. O desenvolvimento de uma ferramenta paralela eficiente é demonstrado na solução numérica de problemas envolvendo escoamentos incompressíveis de fluidos viscosos com fronteiras imersas / In the development of parallel codes, PETSc library has an important position as a practical and useful tool. With this tool, this work presents a study about linear system solvers applied to incompressible flow in microscale problems, furthermore an analysis of the parallel behavior of these methods is presented. After a study of several aspects of immersed boundary methods, and taking advantage of the flexibility of PETSc, a parallel first order immersed boundary method is presented. Thereafter, an improvement in the accuracy of the method is presented, based on the minimization of the distance between exact and approximated boundary conditions, in the least square sense. The development of a parallel and efficient tool is demonstrated in the numerical solution of incompressible viscous flow problems with immersed boundary

O foco principal do presente trabalho é estender uma metodologia numérica embasada no uso de uma técnica de refinamento adaptativo de malha (AMR - Adaptive Mesh Refinement) e no uso de esquemas temporais multipasso implícitos-explícitos (IMEX) a aplicações envolvendo escoamentos reativos com baixo número de Mach. Originalmente desenvolvida para escoamentos incompressíveis, a formulação euleriana daquela metodologia emprega as equações de Navier-Stokes como modelo matemático para descrever a dinâmica do escoamento e o Método da Projeção, baseado no divergente nulo da velocidade do escoamento, para tratar o acoplamento pressão-velocidade presente na formulação com variáveis primitivas. Tal formulação euleriana original é estendida para acomodar novas equações agregadas ao modelo matemático da fase contínua: conservação de massa, fração de mistura (para representar as concentrações de combustível e oxidante), e energia. Além disso, uma equação termodinâmica de estado é integrada ao modelo matemático estendido e é empregada juntamente com a equação de conservação de massa para produzir uma nova restrição (não nula desta vez) ao divergente do campo de velocidade. Assume-se que o escoamento ocorre a baixo número de Mach (hipótese principal). O Método de Diferença Finita é empregado na discretização espacial das variáveis eulerianas de estado, empregando-se uma malha AMR. As vantagens e dificuldades desta extensão são cuidadosamente investigadas e reportadas. Pela importância, do ponto de vista de aplicações práticas, alguns estudos numéricos preliminares envolvendo escoamentos incompressíveis turbulentos com sprays são realizados (as gotículas compõem a fase dispersa). Num primeiro momento, apenas sprays com gotículas inertes são considerados. Embora ainda apenas iniciais, tais estudos já se mostram importantes pois identificam com clareza, em primeira instância, algumas das dificuldades inerentes a serem enfrentadas ao se tratar dentro desta nova metodologia um conjunto relativamente grande de gotículas lagrangianas. No caso de escoamentos incompressíveis turbulentos com sprays, a integração temporal se dá com métodos IMEX para a fase contínua e com o Método de Euler Modificado para a fase dispersa. A turbulência, em todos os casos que a envolvem, é tratada pelo modelo de Simulação das Grandes Escalas (LES - Large Eddy Simulation). As simulações computacionais se dão em um domínio tridimensional, um parelelepípedo, e empregam uma extensão (resultante do presente trabalho) do código AMR3D, um programa de computador sequencial implementado em Fortran90, oriundo de uma colaboração de longa data entre o IME-USP e o MFLab/FEMEC-UFU (Laboratório de Dinâmica de Fluidos da Universidade Federal de Uberlândia). O processamento foi efetuado no LabMAP (Laboratório da Matemática Aplicada do IME-USP). / It is the main goal of the present work to extend a numerical methodology based on both the use of an adaptive mesh refinement technique (AMR) and the use of a multistep, implicit-explicit time-step strategy (IMEX) to applications involving low Mach number reactive flows. Originally developed for incompressible flows, the Eulerian formulation of that methodology employs the Navier-Stokes equations to model the flow dynamics and the Projection Method, based on the vanishing divergence of the velocity field, to tackle the pressure-velocity coupling present when using primitive variables. That Eulerian formulation is extended by adding a new set of equations to the original mathematical model, describing the various properties of the continuous phase: mass conservation, mixture fraction (to represent concentrations of fuel and oxidizer) and energy. Also, a thermodynamic equation of state is included into the extended mathematical model which is employed, along with the equation for the conservation of mass, to derive a new restriction (this time, different from zero) to the divergence of the velocity field. It is assumed that one is dealing with a low Mach number flow (the main hipothesis). The discretization in space employs the Finite Difference Method for the Eulerian variables on a AMR mesh. Advantages and difficulties of such an extension of the previous methodology are carefully investigated and reported. For its importance in the real-world applications, few preliminary numerical studies involving incompressible turbulent flows with sprays are performed (the droplets form what it is called the dispersed phase). Only sprays formed by inert droplets are considered. Even though initial yet, such studies are most important because they clearly identify, first hand, certain difficulties in handling relatively large sets of Lagrangian droplets in the context of this new AMR methodology. In the context of turbulent incompressible flows with sprays, the overall time-step scheme is given by IMEX methods for the continuous phase and by the Improved Euler Method for the dispersed phase. In all the cases in which it is considered, turbulence is modeled by the Large Eddy Simulation (LES) model. The computational simulations are held in a tridimensional domain given by a paralellepiped and all of them employ the extention (resulting of the present work) of the AMR3D code, a sequencial computer program implemented in Fortran90, whose origin is the collaborative work between IMEUSP and MFLab/FEMEC-UFU (Fluid Dynamics Laboratory, Federal University of Uberlândia). Computations were performed at LabMAP (Applied Mathematics Laboratory at IME-USP).

A simulação computacional de escoamentos incompressíveis multifásicos tem avançado continuamente e é uma área extremamente importante em Dinâmica de Fluidos Computacional (DFC) por suas várias aplicações na indústria, em medicina e em biologia, apenas para citar alguns exemplos. Apresentamos modelos matemáticos e métodos numéricos tendo em vista simulações computacionais de fluidos bifásicos newtonianos e viscoelásticos (não newtonianos), em seus regimes transiente e estacionário de escoamento. Os ingredientes principais requeridos são o Modelo de Um Fluido e o Método da Fronteira Imersa em malhas adaptativas, usados em conjunto com os métodos da Projeção de Chorin-Temam e de Uzawa. Tais metodologias são obtidas a partir de equações a derivadas parciais simples as quais, naturalmente, são resolvidas em malhas adaptativas empregando métodos multinível-multigrid. Em certas ocasiões, entretanto, para escoamentos modelados pelas equações de Navier-Stokes (e.g. em problemas onde temos altos saltos de massa específica), tem-se problemas de convergência no escopo destes métodos. Além disso, no caso de escoamentos estacionários, resolver as equações de Stokes em sua forma discreta por tais métodos não é uma tarefa fácil. Verificamos que zeros na diagonal do sistema linear resultante impedem que métodos de relaxação usuais sejam empregados. As dificuldades mencionadas acima motivaram-nos a pesquisar por, a propor e a desenvolver alternativas à metodologia multinível-multigrid. No presente trabalho, propomos métodos para obter explicitamente as matrizes que representam os sistemas lineares oriundos da discretização daquelas equações a derivadas parciais simples que são a base dos métodos de Projeção e de Uzawa. Ter em mãos estas representações matriciais é vantajoso pois com elas podemos caracterizar tais sistemas lineares em termos das propriedades de seus raios espectrais, suas definições e simetria. Muito pouco (ou nada) se sabe efetivamente sobre estes sistemas lineares associados a discretizações em malhas compostas bloco-estruturadas. É importante salientarmos que, além disso, ganhamos acesso ao uso de bibliotecas numéricas externas, como o PETSc, com seus pré-condicionadores e métodos numéricos, seriais e paralelos, para resolver sistemas lineares. Infraestrutura para nossos desenvolvimentos foi propiciada pelo código denominado ``AMR2D\'\', um código doméstico para problemas em DFC que vem sendo cuidado ao longo dos anos pelos grupos de pesquisa em DFC do IME-USP e da FEMEC-UFU. Estendemos este código, adicionando módulos para escoamentos viscoelásticos e para escoamentos estacionários modelados pelas equações de Stokes. Além disso, melhoramos de maneira notável as rotinas de cálculo de valores fantasmas. Tais melhorias permitiram a implementação do Método dos Gradientes Bi-Conjugados, baseada em visitas retalho-a-retalho e varreduras da estrutura hierárquica nível-a-nível, essencial à implementação do Método de Uzawa. / Numerical simulation of incompressible multiphase flows has continuously of advanced and is an extremely important area in Computational Fluid Dynamics (CFD) because its several applications in industry, in medicine, and in biology, just to mention a few of them. We present mathematical models and numerical methods having in sight the computational simulation of two-phase Newtonian and viscoelastic fluids (non-Newtonian fluids), in the transient and stationary flow regimes. The main ingredients required are the One-fluid Model and the Immersed Boundary Method on dynamic, adaptive meshes, in concert with Chorin-Temam Projection and the Uzawa methods. These methodologies are built from simple linear partial differential equations which, most naturally, are solved on adaptive grids employing mutilevel-multigrid methods. On certain occasions, however, for transient flows modeled by the Navier-Stokes equations (e.g. in problems where we have high density jumps), one has convergence problems within the scope of these methods. Also, in the case of stationary flows, solving the discrete Stokes equations by those methods represents no straight forward task. It turns out that zeros in the diagonal of the resulting linear systems coming from the discrete equations prevent the usual relaxation methods from being used. Those difficulties, mentioned above, motivated us to search for, to propose, and to develop alternatives to the multilevel-multigrid methodology. In the present work, we propose methods to explicitly obtain the matrices that represent the linear systems arising from the discretization of those simple linear partial differential equations which form the basis of the Projection and Uzawa methods. Possessing these matrix representations is on our advantage to perform a characterization of those linear systems in terms of their spectral, definition, and symmetry properties. Very little is known about those for adaptive mesh discretizations. We highlight also that we gain access to the use of external numerical libraries, such as PETSc, with their preconditioners and numerical methods, both in serial and parallel versions, to solve linear systems. Infrastructure for our developments was offered by the code named ``AMR2D\'\' - an in-house CFD code, nurtured through the years by IME-USP and FEMEC-UFU CFD research groups. We were able to extend that code by adding a viscoelastic and a stationary Stokes solver modules, and improving remarkably the patchwise-based algorithm for computing ghost values. Those improvements proved to be essential to allow for the implementation of a patchwise Bi-Conjugate Gradient Method which ``powers\'\' Uzawa Method.

A simulação computacional de escoamentos incompressíveis multifásicos tem avançado continuamente e é uma área extremamente importante em Dinâmica de Fluidos Computacional (DFC) por suas várias aplicações na indústria, em medicina e em biologia, apenas para citar alguns exemplos. Apresentamos modelos matemáticos e métodos numéricos tendo em vista simulações computacionais de fluidos bifásicos newtonianos e viscoelásticos (não newtonianos), em seus regimes transiente e estacionário de escoamento. Os ingredientes principais requeridos são o Modelo de Um Fluido e o Método da Fronteira Imersa em malhas adaptativas, usados em conjunto com os métodos da Projeção de Chorin-Temam e de Uzawa. Tais metodologias são obtidas a partir de equações a derivadas parciais simples as quais, naturalmente, são resolvidas em malhas adaptativas empregando métodos multinível-multigrid. Em certas ocasiões, entretanto, para escoamentos modelados pelas equações de Navier-Stokes (e.g. em problemas onde temos altos saltos de massa específica), tem-se problemas de convergência no escopo destes métodos. Além disso, no caso de escoamentos estacionários, resolver as equações de Stokes em sua forma discreta por tais métodos não é uma tarefa fácil. Verificamos que zeros na diagonal do sistema linear resultante impedem que métodos de relaxação usuais sejam empregados. As dificuldades mencionadas acima motivaram-nos a pesquisar por, a propor e a desenvolver alternativas à metodologia multinível-multigrid. No presente trabalho, propomos métodos para obter explicitamente as matrizes que representam os sistemas lineares oriundos da discretização daquelas equações a derivadas parciais simples que são a base dos métodos de Projeção e de Uzawa. Ter em mãos estas representações matriciais é vantajoso pois com elas podemos caracterizar tais sistemas lineares em termos das propriedades de seus raios espectrais, suas definições e simetria. Muito pouco (ou nada) se sabe efetivamente sobre estes sistemas lineares associados a discretizações em malhas compostas bloco-estruturadas. É importante salientarmos que, além disso, ganhamos acesso ao uso de bibliotecas numéricas externas, como o PETSc, com seus pré-condicionadores e métodos numéricos, seriais e paralelos, para resolver sistemas lineares. Infraestrutura para nossos desenvolvimentos foi propiciada pelo código denominado ``AMR2D\'\', um código doméstico para problemas em DFC que vem sendo cuidado ao longo dos anos pelos grupos de pesquisa em DFC do IME-USP e da FEMEC-UFU. Estendemos este código, adicionando módulos para escoamentos viscoelásticos e para escoamentos estacionários modelados pelas equações de Stokes. Além disso, melhoramos de maneira notável as rotinas de cálculo de valores fantasmas. Tais melhorias permitiram a implementação do Método dos Gradientes Bi-Conjugados, baseada em visitas retalho-a-retalho e varreduras da estrutura hierárquica nível-a-nível, essencial à implementação do Método de Uzawa. / Numerical simulation of incompressible multiphase flows has continuously of advanced and is an extremely important area in Computational Fluid Dynamics (CFD) because its several applications in industry, in medicine, and in biology, just to mention a few of them. We present mathematical models and numerical methods having in sight the computational simulation of two-phase Newtonian and viscoelastic fluids (non-Newtonian fluids), in the transient and stationary flow regimes. The main ingredients required are the One-fluid Model and the Immersed Boundary Method on dynamic, adaptive meshes, in concert with Chorin-Temam Projection and the Uzawa methods. These methodologies are built from simple linear partial differential equations which, most naturally, are solved on adaptive grids employing mutilevel-multigrid methods. On certain occasions, however, for transient flows modeled by the Navier-Stokes equations (e.g. in problems where we have high density jumps), one has convergence problems within the scope of these methods. Also, in the case of stationary flows, solving the discrete Stokes equations by those methods represents no straight forward task. It turns out that zeros in the diagonal of the resulting linear systems coming from the discrete equations prevent the usual relaxation methods from being used. Those difficulties, mentioned above, motivated us to search for, to propose, and to develop alternatives to the multilevel-multigrid methodology. In the present work, we propose methods to explicitly obtain the matrices that represent the linear systems arising from the discretization of those simple linear partial differential equations which form the basis of the Projection and Uzawa methods. Possessing these matrix representations is on our advantage to perform a characterization of those linear systems in terms of their spectral, definition, and symmetry properties. Very little is known about those for adaptive mesh discretizations. We highlight also that we gain access to the use of external numerical libraries, such as PETSc, with their preconditioners and numerical methods, both in serial and parallel versions, to solve linear systems. Infrastructure for our developments was offered by the code named ``AMR2D\'\' - an in-house CFD code, nurtured through the years by IME-USP and FEMEC-UFU CFD research groups. We were able to extend that code by adding a viscoelastic and a stationary Stokes solver modules, and improving remarkably the patchwise-based algorithm for computing ghost values. Those improvements proved to be essential to allow for the implementation of a patchwise Bi-Conjugate Gradient Method which ``powers\'\' Uzawa Method.

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Cada algoritmo conceitual tem uma estrat egia diferente de busca e tr^es formas de proje c~ao especiais, gerando tr^es sequ^encias com diferente e interessantes propriedades. E feito a an alise da converg^encia de ambos os algoritmos conceituais, pressupondo a exist^encia de solu c~oes, continuidade do operador e uma condi c~ao mais fraca do que pseudomonotonia. No Cap tulo 4, n os introduzimos um algoritmo direto de divis~ao para o problema variacional em espa cos de Hilbert. J a no Cap tulo 5, propomos um algoritmo de proje c~ao relaxada em Espa cos de Hilbert para a soma de m operadores mon otonos maximais ponto-conjunto, onde o conjunto vi avel do problema de desigualdade variacional e dado por uma fun c~ao n~ao suave e convexa. Neste caso, as proje c~oes ortogonais ao conjunto vi avel s~ao substitu das por proje c~oes em hiperplanos que separam a solu c~ao da itera c~ao atual. Cada itera c~ao do m etodo proposto consiste em proje c~oes simples de tipo subgradientes, que n~ao exige a solu c~ao de subproblemas n~ao triviais, utilizando apenas os operadores individuais, explorando assim a estrutura do problema. Para o problema de Inclus~ao, propomos variantes do m etodo de divis~ao de forward-backward para achar um zero da soma de dois operadores, a qual e a modi ca c~ao cl assica do forwardbackward proposta por Tseng. Um algoritmo conceitual e proposto para melhorar o apresentado por Tseng em alguns pontos. Nossa abordagem cont em, primeramente, uma busca linear tipo Armijo expl cita no esp rito dos m etodos tipo extragradientes para desigualdades variacionais. Durante o processo iterativo, a busca linear realiza apenas um c alculo do operador forward-backward em cada tentativa de achar o tamanho do passo. Isto proporciona uma consider avel vantagem computacional pois o operador forward-backward e computacionalmente caro. A segunda parte do esquema consiste em diferentes tipos de proje c~oes, gerando sequ^encias com caracter sticas diferentes. / In this thesis we present various algorithms to solve the Variational Inequality and Inclusion Problems. For the variational inequality problem we propose, in Chapter 2, a generalization of the classical extragradient algorithm by utilizing non-null normal vectors of the feasible set. In particular, two conceptual algorithms are proposed and each of them has three di erent projection variants which are related to modi ed extragradient algorithms. Two di erent linesearches, one on the boundary of the feasible set and the other one along the feasible direction, are proposed. Each conceptual algorithm has a di erent linesearch strategy and three special projection steps, generating sequences with di erent and interesting features. Convergence analysis of both conceptual algorithms are established, assuming existence of solutions, continuity and a weaker condition than pseudomonotonicity on the operator. In Chapter 4 we introduce a direct splitting method for solving the variational inequality problem for the sum of two maximal monotone operators in Hilbert space. In Chapter 5, for the same problem, a relaxed-projection splitting algorithm in Hilbert spaces for the sum of m nonsmooth maximal monotone operators is proposed, where the feasible set of the variational inequality problem is de ned by a nonlinear and nonsmooth continuous convex function inequality. In this case, the orthogonal projections onto the feasible set are replaced by projections onto separating hyperplanes. Furthermore, each iteration of the proposed method consists of simple subgradient-like steps, which does not demand the solution of a nontrivial subproblem, using only individual operators, which explores the structure of the problem. For the Inclusion Problem, in Chapter 3, we propose variants of forward-backward splitting method for nding a zero of the sum of two operators, which is a modi cation of the classical forward-backward method proposed by Tseng. The conceptual algorithm proposed here improves Tseng's method in many instances. Our approach contains rstly an explicit Armijo-type line search in the spirit of the extragradient-like methods for variational inequalities. During the iterative process, the line search performs only one calculation of the forward-backward operator in each tentative for nding the step size. This achieves a considerable computational saving when the forward-backward operator is computationally expensive. The second part of the scheme consists of special projection steps bringing several variants.