Implementamos um algoritmo de multi-grid em dois códigos de elementos finitos. Um deles resolve problemas unidimensionais e, o outro, bidimensionais. O algoritmo se baseia no conceito de bases hierárquicas. Desenvolvemos uma estrutura de dados que facilita bastante o cômputo dos operadores de restrição e interpolação. Os programas de elementos finitos foram testados em diferentes problemas de valor no contorno. Os resultados obtifdos foram apresentados em gráficos, confirmando a eficiência do método de multi-grid para acelerar a convergência dos processos iterativos de Jacobi, Gauss-Seidel e gradiente conjugado na resolução de problemas elípticos.

Foi aplicada a técnica de multigrid na implementação de dois programas computacionais visando a solução numérica de problemas em regime permanente de escoamentos laminares com geometrias simples e de um problema simples de transferência de calor em que o campo de velocidade é conhecido e constante, todos bidimensionais em coordenadas cartesianas. Os programas empregaram malhas computacionais estruturadas e ortogonais, estando os mesmos generalizados ao uso de malhas não-uniformes. As equações algébricas foram obtidas segundo uma formulação em volumes finitos, com as variáveis armazenadas no centro dos volumes elementares segundo um arranjo localizado e foram utilizados esquemas de interpolação distintos para cada classe de problema. O sistema de equações resultante foi relaxado através dos algoritmos Gauss-Seidel e TDMA - TriDiagonal Matrix Algorithm. O acoplamento pressão-velocidade foi feito segundo o método SIMPLE - Semi-Implicit Method for Pressure-Linked Equations. O algoritmo multigrid foi implementado na formulação correction storage em ambos os programas. A técnica foi demonstrada para alguns problemas bench-mark, com os resultados apresentando uma aceleração significativa do processo de convergência da solução numérica multigrid em relação às soluções em malha única, especialmente nas situações em que foram empregadas malhas bastante refinadas e foi exigida elevada precisão.

Este trabalho investiga a eficiência do método multigrid quando usado na obtenção de campos de velocidade e temperatura bidimensionais laminares em domínios retangulares. A análise numérica é baseada no esquema de discretização em volumes finitos aplicado a malhas estruturadas ortogonais regulares. O desempenho do algoritmo multigrid correction storage (CS) é analisado para diferentes números de Reynolds na entrada (Rein) e para um número distinto de malhas. Até quatro malhas computacionais foram usadas para ambos os ciclos V e W. Soluções para os campos de temperatura e velocidade obtidos simultaneamente e não-simultaneamente foram investigados. As vantagens do uso de mais de uma malha computacional são discutidas. Para as soluções simultâneas os resultados indicam um aumento do esforço computacional com o incremento do número de Reynold Rein. O número ótimo de relaxações intermadiárias para os ciclos V e W é discutido.

O foco principal do presente trabalho é estender uma metodologia numérica embasada no uso de uma técnica de refinamento adaptativo de malha (AMR - Adaptive Mesh Refinement) e no uso de esquemas temporais multipasso implícitos-explícitos (IMEX) a aplicações envolvendo escoamentos reativos com baixo número de Mach. Originalmente desenvolvida para escoamentos incompressíveis, a formulação euleriana daquela metodologia emprega as equações de Navier-Stokes como modelo matemático para descrever a dinâmica do escoamento e o Método da Projeção, baseado no divergente nulo da velocidade do escoamento, para tratar o acoplamento pressão-velocidade presente na formulação com variáveis primitivas. Tal formulação euleriana original é estendida para acomodar novas equações agregadas ao modelo matemático da fase contínua: conservação de massa, fração de mistura (para representar as concentrações de combustível e oxidante), e energia. Além disso, uma equação termodinâmica de estado é integrada ao modelo matemático estendido e é empregada juntamente com a equação de conservação de massa para produzir uma nova restrição (não nula desta vez) ao divergente do campo de velocidade. Assume-se que o escoamento ocorre a baixo número de Mach (hipótese principal). O Método de Diferença Finita é empregado na discretização espacial das variáveis eulerianas de estado, empregando-se uma malha AMR. As vantagens e dificuldades desta extensão são cuidadosamente investigadas e reportadas. Pela importância, do ponto de vista de aplicações práticas, alguns estudos numéricos preliminares envolvendo escoamentos incompressíveis turbulentos com sprays são realizados (as gotículas compõem a fase dispersa). Num primeiro momento, apenas sprays com gotículas inertes são considerados. Embora ainda apenas iniciais, tais estudos já se mostram importantes pois identificam com clareza, em primeira instância, algumas das dificuldades inerentes a serem enfrentadas ao se tratar dentro desta nova metodologia um conjunto relativamente grande de gotículas lagrangianas. No caso de escoamentos incompressíveis turbulentos com sprays, a integração temporal se dá com métodos IMEX para a fase contínua e com o Método de Euler Modificado para a fase dispersa. A turbulência, em todos os casos que a envolvem, é tratada pelo modelo de Simulação das Grandes Escalas (LES - Large Eddy Simulation). As simulações computacionais se dão em um domínio tridimensional, um parelelepípedo, e empregam uma extensão (resultante do presente trabalho) do código AMR3D, um programa de computador sequencial implementado em Fortran90, oriundo de uma colaboração de longa data entre o IME-USP e o MFLab/FEMEC-UFU (Laboratório de Dinâmica de Fluidos da Universidade Federal de Uberlândia). O processamento foi efetuado no LabMAP (Laboratório da Matemática Aplicada do IME-USP). / It is the main goal of the present work to extend a numerical methodology based on both the use of an adaptive mesh refinement technique (AMR) and the use of a multistep, implicit-explicit time-step strategy (IMEX) to applications involving low Mach number reactive flows. Originally developed for incompressible flows, the Eulerian formulation of that methodology employs the Navier-Stokes equations to model the flow dynamics and the Projection Method, based on the vanishing divergence of the velocity field, to tackle the pressure-velocity coupling present when using primitive variables. That Eulerian formulation is extended by adding a new set of equations to the original mathematical model, describing the various properties of the continuous phase: mass conservation, mixture fraction (to represent concentrations of fuel and oxidizer) and energy. Also, a thermodynamic equation of state is included into the extended mathematical model which is employed, along with the equation for the conservation of mass, to derive a new restriction (this time, different from zero) to the divergence of the velocity field. It is assumed that one is dealing with a low Mach number flow (the main hipothesis). The discretization in space employs the Finite Difference Method for the Eulerian variables on a AMR mesh. Advantages and difficulties of such an extension of the previous methodology are carefully investigated and reported. For its importance in the real-world applications, few preliminary numerical studies involving incompressible turbulent flows with sprays are performed (the droplets form what it is called the dispersed phase). Only sprays formed by inert droplets are considered. Even though initial yet, such studies are most important because they clearly identify, first hand, certain difficulties in handling relatively large sets of Lagrangian droplets in the context of this new AMR methodology. In the context of turbulent incompressible flows with sprays, the overall time-step scheme is given by IMEX methods for the continuous phase and by the Improved Euler Method for the dispersed phase. In all the cases in which it is considered, turbulence is modeled by the Large Eddy Simulation (LES) model. The computational simulations are held in a tridimensional domain given by a paralellepiped and all of them employ the extention (resulting of the present work) of the AMR3D code, a sequencial computer program implemented in Fortran90, whose origin is the collaborative work between IMEUSP and MFLab/FEMEC-UFU (Fluid Dynamics Laboratory, Federal University of Uberlândia). Computations were performed at LabMAP (Applied Mathematics Laboratory at IME-USP).

A study of the flowfield around axisymmetric launch vehicles in different flight conditions and configurations is performed in this work. Particularly, the VLS second stage flight configuration is analyzed considering the case with and without a propulsive jet in the vehicle base. Among the different cases considered for this configuration there are inviscid as well as viscous turbulent flows. The study is performed using a finite volume cell centered formulation on unstructured grids. Different spatial discretization schemes are compared, including a centered and an upwind scheme. The upwind scheme is a second-order version of the Liou flux vector splitting scheme and a simple scalar advection test problem is used to assess the influence of different reconstruction and limiting methods in the second-order extension of the scheme. Turbulence effects are accounted for using two one-equation turbulence closure models, namely the Baldwin and Barth and the Spalart and Allmaras models. An agglomeration multigrid algorithm is used to accelerate the convergence to steady state of the numerical solutions. Mesh refinement procedures as well as hybrid and adaptive meshes are discussed.

O foco principal do presente trabalho é estender uma metodologia numérica embasada no uso de uma técnica de refinamento adaptativo de malha (AMR - Adaptive Mesh Refinement) e no uso de esquemas temporais multipasso implícitos-explícitos (IMEX) a aplicações envolvendo escoamentos reativos com baixo número de Mach. Originalmente desenvolvida para escoamentos incompressíveis, a formulação euleriana daquela metodologia emprega as equações de Navier-Stokes como modelo matemático para descrever a dinâmica do escoamento e o Método da Projeção, baseado no divergente nulo da velocidade do escoamento, para tratar o acoplamento pressão-velocidade presente na formulação com variáveis primitivas. Tal formulação euleriana original é estendida para acomodar novas equações agregadas ao modelo matemático da fase contínua: conservação de massa, fração de mistura (para representar as concentrações de combustível e oxidante), e energia. Além disso, uma equação termodinâmica de estado é integrada ao modelo matemático estendido e é empregada juntamente com a equação de conservação de massa para produzir uma nova restrição (não nula desta vez) ao divergente do campo de velocidade. Assume-se que o escoamento ocorre a baixo número de Mach (hipótese principal). O Método de Diferença Finita é empregado na discretização espacial das variáveis eulerianas de estado, empregando-se uma malha AMR. As vantagens e dificuldades desta extensão são cuidadosamente investigadas e reportadas. Pela importância, do ponto de vista de aplicações práticas, alguns estudos numéricos preliminares envolvendo escoamentos incompressíveis turbulentos com sprays são realizados (as gotículas compõem a fase dispersa). Num primeiro momento, apenas sprays com gotículas inertes são considerados. Embora ainda apenas iniciais, tais estudos já se mostram importantes pois identificam com clareza, em primeira instância, algumas das dificuldades inerentes a serem enfrentadas ao se tratar dentro desta nova metodologia um conjunto relativamente grande de gotículas lagrangianas. No caso de escoamentos incompressíveis turbulentos com sprays, a integração temporal se dá com métodos IMEX para a fase contínua e com o Método de Euler Modificado para a fase dispersa. A turbulência, em todos os casos que a envolvem, é tratada pelo modelo de Simulação das Grandes Escalas (LES - Large Eddy Simulation). As simulações computacionais se dão em um domínio tridimensional, um parelelepípedo, e empregam uma extensão (resultante do presente trabalho) do código AMR3D, um programa de computador sequencial implementado em Fortran90, oriundo de uma colaboração de longa data entre o IME-USP e o MFLab/FEMEC-UFU (Laboratório de Dinâmica de Fluidos da Universidade Federal de Uberlândia). O processamento foi efetuado no LabMAP (Laboratório da Matemática Aplicada do IME-USP). / It is the main goal of the present work to extend a numerical methodology based on both the use of an adaptive mesh refinement technique (AMR) and the use of a multistep, implicit-explicit time-step strategy (IMEX) to applications involving low Mach number reactive flows. Originally developed for incompressible flows, the Eulerian formulation of that methodology employs the Navier-Stokes equations to model the flow dynamics and the Projection Method, based on the vanishing divergence of the velocity field, to tackle the pressure-velocity coupling present when using primitive variables. That Eulerian formulation is extended by adding a new set of equations to the original mathematical model, describing the various properties of the continuous phase: mass conservation, mixture fraction (to represent concentrations of fuel and oxidizer) and energy. Also, a thermodynamic equation of state is included into the extended mathematical model which is employed, along with the equation for the conservation of mass, to derive a new restriction (this time, different from zero) to the divergence of the velocity field. It is assumed that one is dealing with a low Mach number flow (the main hipothesis). The discretization in space employs the Finite Difference Method for the Eulerian variables on a AMR mesh. Advantages and difficulties of such an extension of the previous methodology are carefully investigated and reported. For its importance in the real-world applications, few preliminary numerical studies involving incompressible turbulent flows with sprays are performed (the droplets form what it is called the dispersed phase). Only sprays formed by inert droplets are considered. Even though initial yet, such studies are most important because they clearly identify, first hand, certain difficulties in handling relatively large sets of Lagrangian droplets in the context of this new AMR methodology. In the context of turbulent incompressible flows with sprays, the overall time-step scheme is given by IMEX methods for the continuous phase and by the Improved Euler Method for the dispersed phase. In all the cases in which it is considered, turbulence is modeled by the Large Eddy Simulation (LES) model. The computational simulations are held in a tridimensional domain given by a paralellepiped and all of them employ the extention (resulting of the present work) of the AMR3D code, a sequencial computer program implemented in Fortran90, whose origin is the collaborative work between IMEUSP and MFLab/FEMEC-UFU (Fluid Dynamics Laboratory, Federal University of Uberlândia). Computations were performed at LabMAP (Applied Mathematics Laboratory at IME-USP).

The objective of this project is to study three dimensional aerodynamic flows over realistic aerospace configurations, such as the first Brazilian Satellite Launcher (VLS) in its first stage flight form. In order to achieve this objective, computational fluid dynamics and three dimensional adaptive mesh refinement techniques are used. The project focus in finite element and finite volume techniques to simulate the flows of interest. Both the Taylor-Galerkin finite element method and the Jameson finite volume method are used in the simulations. A new interpretation of MacCormack's method in an unstructured grid context is presented. The analysis, implementation and validation of the adaptive mesh refinement tools in the present context is part of the work developed. The use of meshes with hanging-nodes in a finite volume code is also described. The Spalart and Allmaras turbulence model is implemented in the finite volume code in order to account for turbulent effects. In the first part of this project, inviscid flows over the VLS ranging from subsonic to supersonic regime are studied using the finite element and finite volume techniques and, in the following part, turbulent viscous flow cases are analyzed using the finite volume code.