Les performances des plasmas de fusion confinés magnétiquement peuvent être dégradées par l'accumulation d'impuretés. Plus particulièrement, les impuretés lourdes accumulées au centre du plasma diluent les réactifs, et peuvent aussi conduire à un collapse radiatif du plasma par de fortes pertes par rayonnement. La compréhension du transport des impuretés lourdes produites lors de l'interaction plasma-paroi est donc devenue cruciale.Le coeur du plasma est sujet à une instabilité magnétohydrodynamique (MHD) appelée ‘kink interne’, conduisant à des oscillations de relaxation nommées ‘dents de scie’. Les dents de scie entraînent une relaxation périodique de densité et de température dans le coeur du plasma, et affectent significativement le transport radial. Notamment, les particules et la chaleur sont redistribuées pendant un crash dont la durée est très courte par rapport au temps de confinement.En l'absence des instabilités MHD, le transport des impuretés est porté par les collisions (transport néoclassique) et la turbulence. Il est établi que le transport néoclassique est important pour les impuretés lourdes dans la région centrale du plasma de tokamak. Cependant, des mesures expérimentales du tokamak ASDEX-Upgrade montrent que la dynamique des impuretés en présence des dents de scie est différente des prédictions faites par les codes de transport.Dans cette thèse, l'outil numérique utilisé pour simuler les dents de scie est le code XTOR-2F, qui est un code non-linéaire tridimensionnel résolvant les équations de la MHD. Les équations fluides modélisant le transport des impuretés dans un régime de collisionalité élevée (Pfirsch-Schlüter) ont été implémentées et couplées avec l'ensemble des équations de la MHD bi-fluide.Les simulations montrent que les profils de densité d'impuretés sont affectés par les dents de scie, en accord avec les observations expérimentales. Ceci résulte d'une compétition entre processus néoclassiques et relaxations dues aux dents de scie. / Impurity accumulation can degrade the performance of magnetically confined fusion plasmas. In particular, heavy impurities accumulated in the core plasma dilute fusion reactants and may also lead to a radiative collapse of the plasma due to excessive cooling by radiation. Therefore, understanding the transport of heavy impurities produced by plasma-wall interaction has become a subject of utmost importance.The plasma core is likely to be affected by a magnetohydrodynamic (MHD) instability called 'internal kink' that induces relaxation oscillations named 'sawteeth'. Sawteeth are responsible for periodic relaxations of the core density and temperature and affect significantly the radial transport. Especially, particles and heat are redistributed during the crash phase the duration of which is short compared to the confinement time.In absence of MHD instabilities, impurity transport is governed by collisions (neoclassical transport) and turbulence. It is shown that neoclassical transport is important for heavy impurities in the core region of tokamak plasmas. Meanwhile, experimental measurements in the ASDEX-Upgrade tokamak show that the impurity dynamics in presence of sawteeth differs from the predictions made by transport codes.In this thesis, the numerical tool used to simulate sawteeth is the XTOR-2F code, which is a non-linear tridimensional code solving MHD equations. Fluid equations that model the transport of impurities in a highly collisional (Pfirsch-Schlüter) regime have been implemented and coupled to the set of two-fluid MHD equations.The simulations show a difference between the impurity profiles with and without sawteeth, which is consistent with experimental observations. This results from a competition between neoclassical processes and sawtooth relaxations.

Le couplage important entre les différentes échelles d’un écoulement est une des caractéristiques prin-cipales des turbulences. Cela est exprimé mathématiquement par les termes non linéaires présents dans les équations d’équilibre de l’écoulement, dominants en dynamique turbulente. En magnétohy-drodynamique (MHD), la force de Lorentz influe sur l’équation de conservation de l’impulsion et le nombre de termes non linéaires passe à quatre au lieu d’un seul pour un fluide non conducteur. L’objectif principal de cette thèse est d’analyser le transport d’énergie inter-échelles en utilisant une simulation numérique directe d’un écoulement turbulent MHD. Les propriétés de localité du transport de l’énergie entre les échelles pour un écoulement anisotropique ou isotropique, généré par la présence d’un champ magnétique constant, sont renforcées. Un objectif secondaire est d’établir un cadre de travail pour l’étude du transport de particules test chargées dans un champ électromagnétique turbu-lent, i.e. généré par le mouvement d’un fluide conducteur, qui possède des structures à plusieurs ordres de grandeur. La structure de la thèse est présentée ci-dessous. Dans la première partie, composée des deux premiers chapitres, l’auteur présente les notions de turbu-lences, aussi bien hydrodynamiques que MHD. Ces deux chapitres sont des synthèses. La deuxième partie est la principale source de nouveaux résultats. Le chapitre 3 présente les méthodes numériques pour la résolution des équations, les méthodes pseudo-spectrales. Un nouveau type de force est introduit, imposant un niveau de dissipation pour tous les invariants. Dans le chapitre 4, il est effectué une analyse du transfert d'énergie entre ordres de grandeur pour les turbulences MHD. Pour explorer ces transferts d'énergie, le domaine spectral est décomposé en une série de coques de même nombre d'onde. Le transfert moyen d'énergie entre ces coques est analysé. Les transferts d'énergie s'avèrent être surtout locaux en ordre de grandeur, alors qu'une contribution non locale existe due à la force. En présence d'un champ magnétique, l'écoulement développe une direction préférentielle, une anisotropie, où une idée nouvelle de décomposition de l'espace spectral en structures annulaires est présentée. Utilisant cette décomposition annulaire on trouve que le transfert entre anneaux est local, surtout dans les anneaux de direction perpendiculaire au champ magnétique. Pour les turbulences isotropiques, dans le chapitre 5, la localité des flux d'énergie est explorée par le biais de fonctions de localité. Dans le cas de la turbulence MHD, nous avons un comportement non local plus prononcé. La dernière partie, les chapitres 6 et 7, présente le formalisme de suivi des trajectoires de particules chargées évoluant dans un champ électromagnétique turbulent. L'influence de la méthode d'interpola-tion du solveur de particules est étudiée avant la présentation des concepts liés au transport de particu-les et aux régimes de diffusion. L'adiabatisme du mouvement des particules chargées est discuté et le transport de particules chargées dans un champ magnétique turbulent est montré en exemple.

Les instabilités fluides peuvent dégrader le confinement du plasma au sein des tokamaks. Étant données les échelles spatio-temporelles, on choisit les modèles fluides obtenus à partir de la dérivation des modèles cinétiques. On dérive plusieurs modèles hiérarchiques de la MagnétoHydroDynamique (MHD) et en particulier les modèles de la MHD réduite du Current Hole et de l'équilibre de Grad-Shafranov. Une des difficulté de l'ensemble de ces modèles est de respecter l'équation modélisant l'absence de monopôles magnétiques. Pour assurer cette condition en tout point du domaine, le champ magnétique est réécrit avec un potentiel vecteur. L'utilisation de potentiels fait apparaître des équations faisant intervenir des dérivées d'ordre supérieurs. La stratégie numérique développée est l'utilisation de la méthode des éléments finis avec des éléments C1 de Bell. Sur un maillage non structuré, ces éléments ont l'intérêt de présenter une base réduite définir exclusivement avec des variables aux noeuds du maillage. Les modèles de MHD réduite du Current Hole et de Grad-Shafranov ont été résolus avec ces éléments. La résolution du cas test de Grad-Shafranov avec les conditions de bords exactes a permis d'obtenir l'ordre optimale de 5. La résolution du système du Current Hole avec ces éléments, validée par l'obtention du paramètre η1/3, a permis l'observation de développement d'instabilités en dents de scies. / Fluid instabilities can degrade plasma confinement in tokamaks. Given the spatial and temporal scales, we choose the fluid models obtained from the derivation of kinetic models. We derived several hierarchical models of MagnetoHydroDynamic (MHD) and in particular models of reduced MHD like the Current Hole and the Grad-Shafranov equilibrium. One of the difficulty of all these models is to respect the absence of magnetic monopoles equation. To ensure this condition at any point, the magnetic field is rewritten with a vector potential. The use of vector portential implies that higher order derivatives appear in the equation. The numerical strategy is developed using the finite element method with C1 Bell's elements. On a unstructured mesh, these have the advantage to present a reduced basis with degrees of freedom defined exclusively on the nodes of the mesh. The reduced MHD models of the Current Hole and Grad-Shafranov have thus been resolved with these elements. The resolution of a Grad-Shafranov test case with exact boundary conditions yields the optimal order of 5. The resolution of the Current Hole system with thesse elements has been validated by obtaining physical parameter η1/3 and allowed the observation of the development of sawtooth instabilities.

Dans cette dissertation, nous considérons l’écoulement des liquides conducteurs d’électricité dans un champ magnétique externe. De tels écoulements sont décrits par les équations de la magnétohydrodynamique (MHD) quasi-statique, et sont fréquemment rencontrés dans des applications pratiques. Il suit qu’il y a un intérêt fort pour des outils numérques qui peuvent simuler ces écoulements dans des géometries complexes. La première partie de cette thèse (chapitres 2 et 3) est dédiée à la présentation de la machinerie numérique qui a été utilisée et implémentée afin de résoudre les équations de la MHD quasi-statistique (incompressible). Plus précisément, nous avons contribué au développement d’un solveur volumes finis non-structuré parallèle. La discussion sur ces méthodes est accompagnée d’une analyse numérique qui est aussi valable pour des mailles non-structurées. Dans le chapitre 3, nous vérifions notre implémentation par la simulation d’un certain nombre de cas tests avec un accent sur des écoulements dans un champ magnétique intense. Dans la deuxième partie de cette thèse (chapitres 4-6), nous avons utilsé ce solveur pour étudier des écoulements MHD de proche paroi . La première géometrie considérée (chapitre 4) est celle d’une conduite circulaire infini d’axe à haut nombre de Hartmann. Nous avons investitgué la sensitivité des résultats numériques au schéma de discrétisation et à la topologie de la maille. Nos résultats permettent de caractériser in extenso l’écoulement MHD dans une conduite avec des bords bien conducteurs par moyen des lois d’échelle. Le sujet du cinquième chapitre est l’écoulement dans une conduite toroïdale à section carée. Une étude du régime laminaire confirme une analyse asymptotique pour ce qui concerne les couches de cisaillement. Nous avons aussi effectué des simulations des écoulements turbulents afin d’évaluer l’effet d’un champ magnétique externe sur l’état des couches limites limites. Finalement, dans le chapitre 6, nous investiguons l’écoulement MHD et dans un U-bend et dans un coude arrière. Nous expliquons comment générer une maille qui permet de toutes les couches de cisaillement à un coût computationelle acceptable. Nous comparons nos résultats aux solutions asymptotiques.

The present paper is related to the problem of approximating the exact solution to the magnetohydrodynamic equations (MHD). The behaviour of a viscous, incompressible and resistive fluid is exemined for a long period of time. Contents: 1 The magnetohydrodynamic equations 2 Notations and precise functional setting of the problem 3 Existence, uniqueness and regularity results 4 Statement and Proof of the main theorem 5 The approximate inertial manifold 6 Summary

This study uses an magnetohydrodynamics (MHD) model to simulate unsteady one-dimensional transport variables in argon plasma, under low pressure and weak ionization between two planar electrodes suddenly biased by a negative voltage or electric field. Plasma has been widely used in etching, ion implantation, light source, and nuclear fusion, etc. Studying transport processes of plasmas therefore is important. Ignoring magnetic field, collisions between ions and electrons, the computed results in this work shows density, velocity, voltage, electric field, energy and temperature transport phenomenon in different cases. The results give insight by theory and simulation the surfaces behavior in plasma. Keywords: magnetohydrodynamics (MHD), transport variables in sheath,space charge

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This thesis investigates fundamental flows of resistive magnetohydrodynamics (MHD) by a new numerical tool based on the gas-kinetic method. The motivation for this work stems from the need to analyze the mechanisms of plasma detachment in the exhaust plume of the magnetoplasma rocket known as VASIMRR. This rocket has great potential for reducing the travel time for deep space exploration missions. However, it is very difficult to investigate detachment in ground-based experiments because this large-scale device can fully function only in a vacuum. This difficulty makes computational analysis and modeling an important part of the design and testing process. A parallelized Boltzmann-BGK continuum flow solver is expanded to include resistive MHD physics. This new code is validated against known solutions to MHD channel flows and new results are presented for simulations of a laminar round jet subject to a constant applied magnetic field as well as the diverging magnetic field of a current loop. Additionally, a parametric map is presented that outlines appropriate conditions required when using a fluid model for magnetic nozzle flows. The work of this thesis serves as an introductory step to developing a robust numerical ow solver capable of simulating magnetic nozzle flows and other plasmas that cannot be easily replicated in ground facilities.

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The ideal two-fluid plasma model is a more generalized plasma model compared to the ideal MHD and it couples the ion and electron Euler equations via Maxwell's equations. Two-fluid plasma model is essential when the ion and electron fluids are at different temperatures. In this work, a fundamental investigation on the effect of non-dimensional light speed, ion-to-electron mass ratio and plasma beta on the plasma dynamics in the Brio-Wu shock tube Riemann problem is presented. A one dimensional finite volume code is developed based on the macroscopic governing equations, with second order accuracy in space and time. The source terms are treated implicitly and the homogeneous flux terms are treated explicitly. The credibility of the numerical results is assessed by performing several linear and nonlinear tests. Realistic light speed results in increasing the stiffness of the equations and severe time step restriction, which poses a challenge to the numerical simulations. In the context of the Brio-Wu shock tube problem, it is observed that the light speed is not important with respect to the hydrodynamics. However, light speed does affect the magnitude of the self generated electric field. Mass ratio affects the electron plasma dynamics. The speed of the fast moving electron plasma waves changes with the mass ratio. The results obtained using a mass ratio of 500 are in close agreement with that of realistic mass ratio of 1836. Increasing plasma beta suppresses the amplitude of the fast moving electron plasma waves.