Les techniques de conception de lois de commande pour les systèmes linéaires ou hybrides avec contraintes conduisent souvent à des partitions de l’espace d’état avec des régions polyédriques convexes. Ceci correspond à des lois de commande par retour d’état affine (PWA) par morceaux associées `a une partition polyédrale de l’espace d’état. De telles lois de commande peuvent être effectivement mises en œuvre sur des plateformes matérielles pour des applications de commande en temps réel. Cependant, la robustesse des solutions explicites dépend de la précision du modèle mathématique des systèmes dynamiques. Les incertitudes dans le modèle du système posent de sérieux défis en ce qui concerne la stabilité et la mise en œuvre des lois de commande affines par morceaux. Motivé par les défis auxquels font face les solutions explicites par rapport aux incertitudes dans les modèles des systèmes dynamiques, cette thèse est principalement axée sur leur analyse et à leur retouche. La première partie de cette thèse vise à calculer les marges de robustesse pour une loi de commande PWA nominale donnée obtenue pour un système de temps discret linéaire. Les marges de robustesse classiques, c’est-à-dire la marge de gain et la marge de phase, considèrent la variation de gain et la variation de phase du modèle pour lequel la stabilité de la boucle fermée est préservée.La deuxième partie de la thèse vise à considérer des perturbations dans la représentation des sommets des régions polyédriques. Les partitions de l’espace d’état quantifiées perdent une partie des propriétés importantes des contrôleurs explicites: “non-chevauchement”, “convexité” et/ou “ invariance”. Deux ensembles différents appelés sensibilité aux sommets et marge de sensibilité sont déterminés pour caractériser les perturbations admissibles, en préservant respectivement la propriété de non-chevauchement et d’invariance du contrôleur. La troisième partie vise à analyser la complexité des solutions explicites en termes de temps de calcul et de mémoire. Une première comparaison entre les évaluations séquentielles et parallèles des fonctions PWA par l’algorithme ADMM (Alternating Direction Method of Multiplier) est faite. Ensuite, la complexité computationnelle des évaluations parallèles des fonctions PWA pour l’algorithme de couverture progressive (PHA) sur l’unit´e centrale de traitement (CPU) et l’unit´e de traitement graphique (GPU) est comparée. / The control design techniques for linear or hybrid systems with constraints lead often to off-line state-space partitions with non-overlapping convex polyhedral regions. This corresponds to a piecewise affine (PWA) state feedback control laws associated to polyhedral partition of the state-space. Such control laws can be effectively implemented on hardwares for real-time control applications. However, the robustness of the explicit solutions depends on the accuracy of the mathematical model of the dynamical systems. The uncertainties in the system model poses serious challenges concerning the stability and implementation of the piecewise affine control laws. Motivated by the challenges facing the explicit solutions for the uncertainties in the dynamical systems, this thesis is mostly related to their analysis and re-design. The first part of this thesis aims to compute robustness margins for a given nominal PWA control law obtained for a linear discrete-time system. Classical Robustness margin i.e., gain margin and phase margin, considers the gain variation and phase variation of the model for which the stability of the closed loop is preserved.The second part of the thesis aims to consider perturbation in the representation of the vertices of the polyhedral regions. The quantized state-space partitions lose some of the important property of the explicit controllers: “non-overlapping”, “convexity” and “invariant” characterization. Two different sets called vertex-sensitivity and sensitivity margin are defined and determined to characterize admissible perturbation preserving the non-overlapping and the invariance property of the controller respectively. The third part analyse the complexity of the explicit solutions in terms of computational time and memory storage. Sequential and parallel evaluations of the PWA functions for the Alternating Direction Method of Multiplier (ADMM) algorithm are compared. In addition a comparison of the computational complexity of the parallel evaluations of the PWA functions for the Progressive Hedging Algorithm (PHA) on the Central Processing Unit (CPU) and Graphical Processing Unit (GPU) is made.

Les lois de commande affines par morceaux ont attiré une grande attention de la communauté d'automatique de contrôle grâce à leur pertinence pour des systèmes contraints, systèmes hybrides; également pour l'approximation de commandes nonlinéaires. Pourtant, leur mise en oeuvre est soumise à quelques difficultés. Motivé par l'intérêt à cette classe de commandes, cette thèse porte sur leur analyse, mise en oeuvre et synthèse.La première partie de cette thèse a pour but le calcul de la marge de robustesse et de la marge de fragilité pour une loi de commande affine par morceaux donnée et un système linéaire discret. Plus précisément, la marge de robustesse est définie comme l'ensemble des systèmes linéaires à paramètres variants que la loi de commande donnée garde les trajectoires dans de la région faisable. D'ailleurs, la marge de fragilité comprend toutes les variations des coefficients de la commande donnée telle que l'invariance de la région faisable soit encore garantie. Il est montré que si la région faisable donnée est un polytope, ces marges sont aussi des polytopes.La deuxième partie de ce manuscrit est consacrée au problème de l'optimalité inverse pour la classe des fonctions affines par morceaux. C'est-à-dire, l'objective est de définir un problème d'optimisation pour lequel la solution optimale est équivalente à la fonction affine par morceaux donnée. La méthodologie est fondée sur le convex lifting, i.e., un variable auxiliaire, scalaire, qui permet de définir un ensemble convex à partir de la partition d'état de la fonction affine par morceaux donnée. Il est montré que si la fonction affine par morceaux donnée est continue, la solution optimale de ce problème redéfini sera unique. Par contre, si la continuité n'est pas satisfaite, cette fonction affine par morceaux sera une solution optimale parmi les autres du problème redéfini.En ce qui concerne l’application dans la commande prédictive, il sera montré que n'importe quelle loi de commande affine par morceaux continue peut être obtenue par un autre problème de commande prédictive avec l'horizon de prédiction au plus égal à 2. A côté de cet aspect théorique, ce résultat sera utile pour faciliter la mise en oeuvre des lois de commandes affines par morceaux en évitant l'enregistrement de la partition de l'espace d'état. Dans la dernière partie de ce rapport, une famille de convex liftings servira comme des fonctions de Lyapunov. En conséquence, ce "convex lifting" sera déployé pour synthétiser des lois de commande robustes pour des systèmes linéaires incertains, également en présence de perturbations additives bornées. Des lois implicites et explicites seront obtenues en même temps. Cette méthode permet de garantir la faisabilité récursive et la stabilité robuste. Cependant, cette fonction de Lyapunov est limitée à l'ensemble λ −contractive maximal avec une constante scalaire 0 ≤ λ < 1 qui est plus petit que l'ensemble contrôlable maximal. Pour cette raison, une extension de cette méthode pour l'ensemble contrôlable de N − pas, sera présentée. Cette méthode est fondée sur des convex liftings en cascade où une variable auxiliaire sera utilisée pour servir comme une fonction de Lyapunov. Plus précisément, cette variable est non-négative, strictement décroissante pour les N premiers pas et égale toujours à 0 − après. Par conséquent, la stabilité robuste est garantie. / Piecewise affine (PWA) feedback control laws have received significant attention due to their relevance for the control of constrained systems, hybrid systems; equally for the approximation of nonlinear control. However, they are associated with serious implementation issues. Motivated from the interest in this class of particular controllers, this thesis is mostly related to their analysis and design.The first part of this thesis aims to compute the robustness and fragility margins for a given PWA control law and a linear discrete-time system. More precisely, the robustness margin is defined as the set of linear time-varying systems such that the given PWA control law keeps the trajectories inside a given feasible set. On a different perspective, the fragility margin contains all the admissible variations of the control law coefficients such that the positive invariance of the given feasible set is still guaranteed. It will be shown that if the given feasible set is a polytope, then so are these robustness/fragility margins.The second part of this thesis focuses on inverse optimality problem for the class of PWA controllers. Namely, the goal is to construct an optimization problem whose optimal solution is equivalent to the given PWA function. The methodology is based on emph convex lifting: an auxiliary 1− dimensional variable which enhances the convexity characterization into recovered optimization problem. Accordingly, if the given PWA function is continuous, the optimal solution to this reconstructed optimization problem will be shown to be unique. Otherwise, if the continuity of this given PWA function is not fulfilled, this function will be shown to be one optimal solution to the recovered problem.In view of applications in linear model predictive control (MPC), it will be shown that any continuous PWA control law can be obtained by a linear MPC problem with the prediction horizon at most equal to 2 prediction steps. Aside from the theoretical meaning, this result can also be of help to facilitate implementation of PWA control laws by avoiding storing state space partition. Another utility of convex liftings will be shown in the last part of this thesis to be a control Lyapunov function. Accordingly, this convex lifting will be deployed in the so-called robust control design based on convex liftings for linear system affected by bounded additive disturbances and polytopic uncertainties. Both implicit and explicit controllers can be obtained. This method can also guarantee the recursive feasibility and robust stability. However, this control Lyapunov function is only defined over the maximal λ −contractive set for a given 0 ≤ λ < 1 which is known to be smaller than the maximal controllable set. Therefore, an extension of the above method to the N-steps controllable set will be presented. This method is based on a cascade of convex liftings where an auxiliary variable will be used to emulate a Lyapunov function. Namely, this variable will be shown to be non-negative, to strictly decrease for N first steps and to stay at 0 afterwards. Accordingly, robust stability is sought.