Our healthcare systems are facing sustainability challenges caused by a demographic shift with ageing, chronicity and disability growing in our society. A novel healthcare paradigm should be founded on 4P medicine: Preventive, Predictive, Personalized, and Participatory medicine needs new methodologies and tools enabled by Information and Communication Technologies (ICTs). One of the key technology enablers for 4P medicine is telemonitoring, i.e. ICTs to monitor the health status of a patient from a distance, which may trigger 4P decision making. A new generation of telemonitoring tools allow prescription and follow-up around the main chronic care strategies, namely, therapeutic adherence and healthy habits promotion. A broader and more ambitious challenge is Quality of Life (QoL) telemonitoring based on the knowledge of context. We are proposing a formal methodology to provide Context-aware QoL assessment, categorizing data inputs, defining outputs, and exploring data fusion techniques. A Telemonitoring and Home Support System (TMHSS) which implements that methodology has been designed, developed and integrated to the BackHome system for a particular Use Case, i.e. severely disabled people using Brain Computer Interfaces (BCI) as an assistive technology (AT) at home. We have applied User Centred Design throughout all development stages of a multi-functional BCI, in order to move BCIs from the lab towards independent home use. The BackHome system has achieved five key innovations: (i) an architecture able to meet the requirements of BCI multifunctionality and remote home support; (ii) a light, autonomous, comfortable and reliable BCI equipment; (iii) an easy-to-use software to control multiple purpose applications; (iv) a TMHSS for BCI independent home use; and (v) a Therapist station to manage and monitor BCI-based remote services. We have evaluated the BackHome system with end-users at home, also taking the therapists' and non-expert caregivers' perspective into account. The results show good acceptance, usability levels, user satisfaction and levels of control, which demonstrate that BCI can already be considered as an alternative AT. We used the TMHSS of BackHome to recognize activities and habits of users based on the analysis of sensors' data, in order to detect for example whether the user is at home or away or whether has received a visit at home or not. Similarly, and consequently from the previous analysis, results show good accuracies in assessing items of QoL such as Mobility, Sleep, or Mood, based on measures and fusion of detected activities from the user. The assessment of the overall wellbeing of an individual with a multidimensional perspective through processing of data gathered from environmental and personal sensors in a broad and non-intrusive way, will become of great interest to healthcare professionals, policy makers and also for citizens which are called to co-produce and lead the new paradigm of care. / Els nostres sistemes de salut estan veient qüestionada la seva sostenibilitat arran del canvi demogràfic d'una societat en la qual augmenta la prevalença de cronicitat i discapacitat. El nou model de salut es basa en la Medicina 4P. Una tecnologia clau per a la Medicina 4P és el telemonitoratge, és a dir, les TIC per conèixer l'estat de salut d'un pacient a distància i prendre decisions 4P. Un repte ambiciós és el telemonitoratge de la Qualitat de Vida (QoL) basat en el coneixement del context. Proposem una metodologia formal per avaluar la QoL mitjançant la categorització de dades d'entrada i sortida i tècniques de fusió de dades. Hem dissenyat i desenvolupat un Sistema de Telemonitoratge i Suport Domiciliari (TMHSS) que implementa aquesta metodologia, integrat al sistema BackHome per un Cas d'Ús concret, el de persones amb discapacitats severes que utilitzen Interfícies Cervell Ordinador (BCI) com a Tecnologia Assistencial (AT) en entorns reals. Hem aplicat Disseny Centrat en l'Usuari amb la finalitat de traslladar els BCIs des del laboratori fins a l'ús domèstic independent. El sistema BackHome ha assolit cinc innovacions fonamentals: (i) una arquitectura que satisfà els requisits d'un BCI multifuncional i amb suport remot; (ii) un dispositiu de BCI lleuger, autònom, còmode i fiable; (iii) un programari fàcil d'utilitzar per a manegar diverses aplicacions d'autonomia física i social; (iv) Un TMHSS per fer efectiu l'ús independent dels BCIs a la llar; i (v) una estació clínica per a la gestió remota de serveis terapèutics. Hem avaluat el sistema BackHome amb usuaris finals a casa seva, aprenent de la perspectiva de terapeutes i cuidadors no experts amb resultats que mostren bona acceptació i nivells d'usabilitat, satisfacció de l'usuari i nivells de control que demostren que el BCI pugui ja considerar-se una AT alternativa. Hem emprat el TMHSS de BackHome per reconèixer activitats i hàbits dels usuaris a partir de l'anàlisi de dades de sensors, per detectar per exemple si l'usuari està a casa o fora, o si ha rebut una visita. També hem avaluat a continuació amb bona precisió elements de la Qualitat de Vida, com ara mobilitat, son, o estat d'ànim, a partir de les activitats de l'usuari prèviament detectades.

Interpolating and sampling sequences in spaces of functions are classical subjects in complex and harmonic analysis. A sequence of points is said to be interpolating if, given any collection of values, we can find a function from the space which takes these values on the points of the sequence, and a sequence of points is said to be sampling if it is possible to recover a function from the space knowing the values of the function on the sequence. In Fock spaces these sequences have been characterised in terms of a Beurling type density, that is, interpolating sequences are those sequences whose density is less than a certain critical value, and sampling sequences are those sequences whose density is greater than the same critical value. A critical sequence, that is a sequence whose density is exactly the critical value, is almost an interpolating sequence and almost a sampling sequence. In this thesis we have charaterised completely the trace of functions in these Fock spaces on critical sequences in terms of the discrete Beurling-Ahlfors transform. We also study random point processes in the complex plane and in the unit disc. These random point processes are the zero sets of analytic functions. These functions can be constructed through random linear combinations of elements of a basis for a space of functions. The distribution of the zero set of the function formed by taking a basis for the classical Bargmann-Fock space is well known, and depends on a translation-invariance inherent to the space. We have generalised these ideas to inhomogeneous Fock spaces, where no such invariance exists. In particular we see that the expected number of points is related to a certain measure associated to the space. We also study asymptotic normality and a ‘hole theorem’, that calculates the probability that there are no points in a disc of radius r. We study analogous processes in the unit disc, and on the real line. We calculate the variance of the process in the disc, and we prove a ‘hole theorem’ for large values of the ‘intensity’ of the process. In the real line we study the probability of a large gap for a process that is invariant under translations. / Las sucesiones de interpolación y de muestreo en espacios de funciones son temas clásicos en el análisis complejo y armónico. Se dice que una sucesión de puntos es de interpolación si dada una colección de valores podemos hallar una función del espacio que toma estos valores en los puntos de la sucesión y se dice que una sucesión de puntos es de muestreo si se puede recuperar una función cuando se sabe los valores de la función en dicha sucesión. En los espacios de Fock estas sucesiones han sido caracterizadas en términos de una densidad de tipo Beurling, es decir, las sucesiones de interpolación son las que tienen densidad menor que un cierto valor crítico, y las de muestreo son las que tienen densidad mayor que el mismo valor crítico. En esta tesis hemos caracterizado completamente la traza de funciones en estos espacios de Fock sobre sucesiones que tiene densidad igual al valor crítico en términos de la transformada de Beurling-Ahlfors discreta. También estudiamos procesos de puntos aleatorios en el plano complejo y en el disco unidad. Estos procesos de puntos aleatorios son los conjuntos de ceros de funciones analíticas. Se pueden construir dichas funciones mediante sumas aleatorias de funciones que forman una base de un espacio de funciones. La distribución del conjunto de ceros cuando se toma una base del espacio clásico de Bargmann-Fock es bien conocida, y depende de una invariancia por translaciones inherente al espacio. Hemos generalizado estas ideas a espacios de Fock no homogéneos, donde no existe ninguna invariancia. En particular, veamos que la esperanza del número de puntos está relacionada con una medida asociado al espacio. También estudiamos la normalidad asintótica y un ‘teorema del agujero’, que calcula la probabilidad asintótica de que no haya ceros en un disco de radio r. Estudiamos procesos análogos en el disco unidad, y en la recta. Calculamos la variancia de dicho proceso en el disco, y demostramos otro ‘teorema del agujero’, para grandes valores de la ‘intensidad’ del proceso. En la recta estudiamos la probabilidad de un hueco para un proceso que es invariante por translaciones.

Este proyecto hace referencia a estimaciones, en espacios funcionales, que relacionan la norma de una función y la de sus derivadas. Concretamente, nuestro principal objetivo es estudiar las estimaciones clásicas de las inclusiones de Sobolev, probadas por Gagliardo y Nirenberg, para derivadas de orden superior y espacios más generales. En particular, estamos interesados en describir el dominio y el rango óptimos para estas inclusiones entre los espacios invariantes por reordenamiento (r.i.) y espacios de normas mixtas. / This thesis project concerns estimates, in function spaces, that relate the norm of a function and that of its derivatives. Speci.cally, our main purpose is to study the classical Sobolev-type inequalities due to Gagliardo and Nirenberg for higher order derivatives and more general spaces. In particular, we concentrate on seeking the optimal domains and the optimal ranges for these embeddings between rearrangement-invariant spaces (r.i.) and mixed norm spaces.

El principal resultado es la presentación de una técnica de optimización en estudios de Monte Carlo en Estadística. Se obtiene un estimador de la esperanza de una variable dicotómica (Y), que tiene una varianza menor que el estimador habitual, la frecuencia relativa. Este estimador optimizado se basa en el conocimiento de otra variable dicotómica (de control), C, correlacionada con Y y de esperanza conocida, E(C). La aplicación de esta técnica es sencilla de implementar. En simulación de Monte Carlo en es relativamente frecuente disponer de tales variables de control. Así, por ejemplo, en estudios de simulación de la potencia de un nuevo test no paramétrico se puede utilizar en ocasiones un test paramétrico comparable, de potencia conocida.Se demuestra que este estimador es insesgado y se obtiene la expresión de su varianza. Se estudiaron varios estimadores de esta varianza, escogiendo a uno de ellos como el más adecuado. Además, se estudia el tanto por ciento de reducción de la varianza del nuevo estimador en comparación con el estimador habitual (frecuencia relativa). Se observan unos valores entre un 40% a un 90% según se incremente el valor de la correlación entre la variable de control (C) y la variable de estudio (Y).Para validar los resultados teóricos anteriores e ilustrar la técnica propuesta se realizaron dos estudios de simulación. El primero sirve para obtener una estimación de la potencia de un nuevo test. Mientras que el segundo es un estudio de simulación general sin ninguna finalidad concreta.Se propuso un nuevo test para resolver el problema de Behrens-Fisher, basado en la distancia de Hao, al cual se le aplica la anterior técnica para conocer su potencia y robustez. Se obtiene una potencia y robustez óptimas.Por último, se exponen dos casos reales, dentro del entorno médico-biológico, donde surge el problema de Behrens-Fisher. En ambos estudios, se realiza un análisis crítico ya que las verdaderas probabilidades de error son distintas de las supuestas debido a ignorar probables diferencias entre varianzas. / The main purpose is the presentation of an optimization technique in Monte-Carlo studies in statistics and subsequent study of some statistical properties of the estimator associated with this technique. An estimator of the expectation of a dichotomous variable, Y, with variance less than the most obvious unbiased estimator, relative frequency, is obtained. This new estimator is based on the availability of another dichotomous variable (control), C, correlated with Y and expectation, E(C), which is known. The availability of this control variable is relatively common in Monte-Carlo simulations. So, for example, simulation studies of the power of a new nonparametric test may sometimes use a comparable parametric test, with known power.Moreover, a new test for the Behrens-Fisher problem, based on geodesic distance criteria, is proposed. The power and robustness of this test are estimated through Monte-Carlo simulation using the previous optimization technique.

La teoría algebraica de números tiene sus inicios en los trabajos de Kummer sobre la ecuación de Fermat. En los anillos ciclotómicos deja de ser cierto el teorema fundamental de la aritmética: los elementos descomponen en producto de elementos "primos", pero no de manera única. Kummer, en una intuición genial, apuntó que esta dificultad podía salvarse considerando la existencia de números ideales que permitirían recuperar la unicidad en la descomposición en producto de números ideales primos. Estas ideas las culminó Dedekind en 1878 fundando la teoría de ideales tal como la conocemos hoy en día. Los anillos de enteros de los cuerpos de números son dominios de Dedekind, es decir, todo ideal descompone de manera única en producto de ideales primos. No obstante, la teoría de Dedekind no es efectiva. Cuando nos enfrentamos a un problema concreto, como por ejemplo resolver una ecuación diofántica, que exige considerar un cuerpo de números “K”, de anillo de enteros “O”, necesitamos resolver en general dos cuestiones fundamentales: (a) Determinar el tipo de descomposición pO = p(e1/) …… p(e/g) de los primos racionales en “K”. (b) Determinar generadores de los ideales P(1). Usualmente querremos computar estos datos a partir de una ecuación definidora del cuerpo K. Este aspecto efectivo lo cubre parcialmente Dedekind, usando ideas de Kummer, permitiendo resolver las dos cuestiones para todos los primos “p” excepto un número finito. El siguiente paso, extraordinariamente importante tanto desde un punto de vista conceptual como de la efectividad, lo da Rensel, con la introducción de los cuerpos p-ádicos. Esta idea revolucionaria permite "descomponer" los problemas aritméticos globales en una suma de problemas locales, donde se focaliza la atención en los fenómenos que afectan a un primo concreto ”p”. Esta filosofía da como resultado práctico que el problema de la efectividad puede resolverse mediante técnicas locales que comportan esencialmente la factorización de polinomios en cuerpos p-ádicos (que se traduce en la práctica en factorizar módulo una potencia suficientemente alta de p) y la determinación de bases de enteros de órdenes locales. Utilizando distintas variantes de estas ideas se han obtenido diversos algoritmos para hallar la descomposición en producto de ideales primos. Destaquemos los de Pohst-Zassenhaus, Boffgen-Reichert y Buchmann-Lenstra. El objetivo principal de la memoria es el de desarrollar un nuevo algoritmo, basado en la técnica del polígono de Newton. El polígono de Newton se utilizó en el siglo pasado para estudiar las singularidades de curvas planas. En 1907 Bauer reconvirtió la técnica para su aplicación a cuestiones aritméticas; sus propuestas fueron extensamente ampliadas por Ore, quien en una serie de artículos en los años 20, introduce un concepto más general de polígono, el q)(X)-polígono, que permite tratar el caso en que los factores irreducibles de F(X) no son necesariamente lineales. En la terminología clásica, la aplicación estricta del polígono (Bauer-Ore) es conocida como la "segunda aproximación", mientras que la información extra que obtiene Ore de cada lado se bautizó como la "tercera aproximación" (el teorema de Kummer-Dedekind) era la "primera aproximación". Esas aproximaciones han sido mejoradas y generalizadas por distintos autores; por ejemplo, Ore puso en un contexto más general la segunda aproximación inicial de Bauer, ó Montes-Nart refinaron la tercera aproximación. Ahora bien, los autores clásicos ya eran conscientes de que por mucho que se refinaran esas aproximaciones, siempre quedarían polinomios para los cuales todavía no se obtiene la respuesta definitiva. También intuían que debería ser posible introducir aproximaciones de más alto nivel que permitieran resolver la cuestión para cualquier polinomio en un proceso iterativo finito. Ésa es precisamente la cuestión que resolvemos en la memoria con nuestros polígonos de orden superior. Pasamos a describir brevemente el contenido de los distintos capítulos de la memoria. En el capítulo 1 se exponen los principales resultados de Ore sobre el polígono de Newton trasladados al contexto de cuerpos locales. Se distinguen cuatro fases distintas, cada una culminando con un resultado clave que denominamos respectivamente teorema del producto (de carácter instrumental), del polígono (segunda aproximación), del polinomio asociado (tercera aproximación) y del índice. El conjunto de estas fases constituye lo que llamamos el nivel 1 ó orden 1. Cada fase marca los distintos obstáculos que será necesario superar en cada nivel con los polígonos de orden superior. Este es el objetivo del segundo capítulo, que constituye el núcleo principal de la memoria. Dentro del segundo capítulo merecen mención especial las definiciones del polígono y del polinomio asociado en orden r. La definición correcta de "polígono a otro nivel" requiere considerar extensiones adecuadas de la valoración p-ádica al anillo de polinomios, marcadas por datos proporcionados por el polígono de orden anterior. Valoraciones de este tipo fueron introducidas por MacLane también con el propósito de obtener un algoritmo para determinar la descomposición de los primos en cuerpos de números; no obstante, sus métodos no son efectivos. La definición del polinomio asociado en orden r es el obstáculo cuya superación presentó mayores dificultades. En el fondo su construcción se reduce a encontrar "buenos" representantes de ciertas clases residuales módulo las valoraciones que acabamos de mencionar; ahora bien, la elección correcta (es decir, que funcione) de esos representantes pasa por un delicado trabajo con fracciones racionales. Finalmente, el teorema del índice es el resultado clave en el control de la finitud del proceso iterativo. En el tercer capítulo se describe un proceso de obtención de "representantes optimales" , que permiten recoger toda la información posible que se puede obtener a un nivel determinado antes de verse obligado a pasar al nivel superior. Con esta técnica se obtiene una implementación mucho más ágil del algoritmo que la que se obtendría con una aplicación ciega de los resultados del capítulo 2. En el cuarto capítulo se usan las técnicas del capítulo 2 para determinar de manera no algorítmica el discriminante absoluto y el tipo de descomposición de los primos en un cuerpo cuártico arbitrario.

We have divided this thesis in four parts:a) PART I: Exact symplectic geometry (introduction of the problems). This part contains the basic tools of symplectic geometry and outlines the four subjects that we have study along the thesis: the determination problem, the interpolation problem, the variational problem and the breakdown problem.b) PART II: On the standard symplectic manifold (analytical part). We recall the necessary tools to work on R(d) x R(d). That is we perform a coordinate treatment of the results. First of all we relate different kinds of generating functions to the primitive function and later we solve formally the determination problem. Then we introduce different variational principles: for fixed points, periodic orbits and orbital segments. Their invariance under certain kind of transformations of phase space is proved, and we interpret physically such results. Finally we give the basic properties of invariant exact Lagrangian graphs obtaining at last that if our graph is minimizing then its orbits are minimizing.c) PART III: On the cotangent bundle (geometrical part). The first three chapters are similar to the three previous ones with the difference that we do an intrinsic treatment of the results by considering any cotangent bundle. The fourth chapter in this part deals with the solution of the interpolation problem given in analytic set up. d) PART IV: Converse KAM theory (numerical part). The last part deals with the applications to converse Kolmogorv-Arnold-Moser (KAM) theory. First of all we give a small list of different examples that we shall study later. Then we generalize converse KAM theory and we related it to the Lipschitz theory by Birkhoff and Herman. Then we perform our variational Greene method and apply it to different examples. Also we study numerically the Aubry-Mather sets in higher dimensions. After this we apply our methods to the rotational standard map that is a symplectic skew product. Then we give some ideas about the geometrical obstructions for existence of invariant tori showing them with a simple example. We also find some known Birkhoff normal forms using our methods. Finally we explain briefly how our theory can be used for arbitrary Lagrangian foliations. / La present memòria es troba dividida en quatre parts ben diferenciades. La primera conté les eines bàsiques de la geometria simplèctica i planteja els quatre problemes que tractarem al llarg de la memòria: el problema de determinació, el problema d'interpolació, el problema variacional i el problema del trencament de tors invariants. La segona part tracta sobre la varietat simpléctica estàndard, i vindria a ser la part analítica. Aquí hem treballat a R(d) x R(d), és a dir hem fet un tractament coordenat dels resultats. Primer relacionem les funcions generatrius amb la funció primitiva i després resolem formalment el problema de determinación. Tot seguit tractem diferents principis variacionals per als punts fixos per a les òrbites periòdiques i per als segments orbitals. La seva invariància respecte a certs tipus de transformacions de l'espai de fase és demostrada donant una interpretació física. Finalment donem les propietats bàsiques dels grafs Lagrangians invariants, especialment aquella que diu que les òrbites sobre un graf minimitzant són minimitzants.La tercera part abraça el tema del fibrat cotangent, la part geométrica de l'obra. Els tres primers capítols segueixen més o menys la línia dels tres precedents amb la diferéncia fonamental que aquí considerem qualsevol fibrat cotangent. Fem llavors un tractament intrínsec. El quart capítol d'aquesta part està dedicat a resoldre el problema d'interpolació en el cas analític.La quarta i darrera part (que vindria a ser la secció numèrica de la tesi), tracta de les aplicacions a la teoria Kolmogorv, Arnold i Moser (KAM) inversa o del trencament dels tors invariants. Primer donem una llista d'exemples que utilitzarem més endavant. Després generalitzem la teoria KAM inversa i la relacionem amb la teoria Lipschitziana de Birkhoff i Herman. Llavors implementem el nostre criteri de Greene variacional i l'apliquem a diferents exemples. També estudiem els equivalents dels conjunts d'Aubry-Mather en dimensió alta (bé = 4). Després apliquem aquesta metodologia a l'aplicació estàndard rotacional (3D), indicant abans la teoria necessària. Llavors donem algunes idees de com generalitzar els criteris obstruccionals a dimensions altes hi ho mostrem amb un petit exemple. Finalment retrobem algunes formes normals de Birkhoff utilitzant la nostra metodologia basada en la funcióprimitiva i expliquem una mica com es podria considerar la nostra teoria tenint en compte foliacions Lagrangianes arbitràries.

El 1987, J.-P. Serre publica la seva conjectura (3.2.4?) sobre representacions de Galois modulars. Com a conseqüència es tindrien, entre d'altres, la conjectura de Shimura-Taniyama-Weil, el darrer teorema de Fermat, ...En aquesta tesi es demostra la conjectura (3.2.4?) per a les representacions associades als punts de p-torsió de les corbes el.líptiques modulars amb reducció additiva potencialment ordinària en p>7.Previament s'establexien uns criteris generals per a la verificació de la conjectura. / En 1987, J.-P. Serre publica su conjetura (3.2.4?) sobre representaciones de Galois modulares. Consecuencia de ella se tendrían: la conjetura de Shimura-Taniyama-Weil, el último teorema de Fermat,...En esta tesis se demuestra la conjetura (3.2.4?) para las representaciones asociadas a los puntos de p-torsión de las curvas elípticas modulares con reducción aditiva potencialmente ordinaria en p>7.Previamente, se establecen unos criterios generales para la verificación de la conjetura.

En una primera part s'estudien els conjunts de mesures que prenen valors en un grup reticualt, per a les quals la T-aditivitat es defineix a partir de l'estructura ordenada. L'estudi realitzat a partir de les propietats reticulars i de convergència en ordre condueix a l'obtenció dels anàlegs dels teromes clàssics de descomposició: el de Jordan, el de Yoshida-Hewih i el de Lebesgue. En una segona part es construeix una integral en relació a una mesura d'aquest tipus, valorada en la part positiva d'un anell reticulat T-condicionalment complet per a funcions que prenen valors en el mateix anell. / En una primera parte son estudiados los conjuntos de medidas que toman valores en un grupo reticulado para las que la T-aditividad se define a partir de la estructura ordenada. El estudio realizado a partir de las propiedades reticulares y de convergencia en orden conduce a la obtención de los análogos de los teoremas clásicos de descomposición: el de Jordan, el de Yosida-Hewih y el de Lebesgue. En una segunda parte se construye una integral respecto a una medida de este tipo, valorada en la parte positiva de un anillo reticulado T-condicionalmente completo para funciones que toman valores en el mismo anillo.

This PhD thesis belongs to the area of discrete dynamical systems in the complex plane, i.e. the iteration of analytic functions in one complex variable. Given a rational map f from the Riemann sphere onto itself, we consider the dynamical system given by its iterates. The Riemann sphere splits into two totally f-invariant subsets: the Fatou set, which is defined to be the set of points z where the family {f^n} is normal in some neighborhood of z, and its complement, the Julia set. The dynamics of the points in the Fatou set are stable in the sense of normality or equicontinuity whereas the dynamics in the Julia set present chaotic behavior. This thesis focuses on the study of the family of Blaschke products Ba(z)=z^3(z-a)/(1-\bar{a}z), where a and z are complex numbers. We study its parameter and its dynamical planes using intensive use of quasiconformal surgery techinques, which allow us to build rational maps with prescribed dynamics using quasiregular maps as models. The thesis is structured as follows. In Chapter 1 we give an overview on the preliminary results used throughout the thesis. In Chapter 2 we give an introduction to quasiconformal surgery. In Chapter 3 we give an overview of the dynamical plane of the Blaschke products Ba. We begin by studying their basic properties. Afterwards we show that the maps Ba cannot have doubly connected rotation domains (Herman rings) (Proposition 3.2.3) and prove a criterion of connectivity of the Julia set of Ba (Theorem 3.2.1). In Chapter 4 we introduce the family Mb of cubic polynomials with a superattracting fixed point. Then we show how to build polynomials Mb from Blaschke products Ba , obtaining a map Γ from a subset of the parameter plane of the Ba to the parameter plane of the polynomials Mb. We also prove that the map Γ is continuous and restricts to a homeomorphism on every disjoint hyperbolic component. In Chapter 5 we study the parameter plane of the Blaschke products Ba. We first describe the symmetries in the parameter plane. Then we classify the different hyperbolic dynamics which may take place and the sets of parameters for which they may happen. Afterwards we build a polynomial-like map for all non-escaping parameters contained in swapping regions which, under certain conditions, may relate the dynamics of Ba with the one of the antipolynomials pc(z) =\bar{z}^2+c (Theorem 5.3.4). Finally we parametrize all disjoint hyperbolic components whose disjoint cycles are bounded and do not lie on the unit circle (Theorem 5.4.2). In Chapter 6 we study the tongues of the Blaschke products Ba. We first prove some of their topological properties such as their connectivity modulo symmetry, their simple connectivity and the existence of a unique tip for every tongue (Theorem 6.2.1). Then we show how bifurcations take place along curves in a neighborhood of every tongue (Theorem 6.3.2). Finally we study how tongues extend in the annulus of parameters a such that 1<|a|<2. In Chapter 7 we study how the degree 4 Blaschke products Ba generalize to degree m+2 families of rational maps for m>2. / Aquesta tesi doctoral pertany a l’àmbit dels sistemes dinàmics discrets al pla complex, és a dir, la iteració de funcions analítiques en una variable complexa. Donada una funció racional f de l'esfera de Riemann en ella mateixa, considerem el sistema dinàmic donat pels seus iterats. L'esfera de Riemann es divideix en dos conjunts completament invariants per f el conjunt de Fatou, definit com el conjunt de punts z on la família {f^n} és normal en algun entorn de z, i el seu complement, el conjunt de Julià. La dinàmica de les òrbites del conjunt de Fatou és estable en el sentit de normalitat o equicontinuitat mentre que la dinàmica al conjunt de Julià presenta un caràcter caòtic. Aquesta tesi se centra en l'estudi de la família de productes de Blaschke Ba(z)=z^3(z-a)/(1-\bar{a}z), on a i z són nombres complexos. Estudiem el seu pla de paràmetres i el seu pla dinàmic fent us intensiu de les eines de cirurgia quasiconforme, que ens permeten construir funcions racionals amb una dinàmica prescrita fent servir funcions quasiregulars com a models. Al capítol 1 fem un repàs dels resultats preliminars usats al llarg del text. Primer expliquem els conceptes bàsics de la dinàmica de les funcions racionals. Després fem un repàs de les aplicacions del cercle, tot introduint els conceptes de producte de Blaschke i llengües. Finalment, presentem la fórmula de Riemann-Hurwitz i com s’aplica a la dinàmica de funcions racionals. Al capítol 2 donem una introducció a la cirurgia quasiconforme. Primer de tot definim els conceptes d’aplicació quasiconforme, estructures quasiconformes i “pullback” sota funcions que preserven l’orientació i introduïm el Teorema Mesurable de Riemann. Tot seguit mostrem com els conceptes previs són generalitzats per a funcions que giren l’orientació i veiem com això s’aplica a aplicacions que són simètriques respecte del cercle unitat. Finalment introduïm els conceptes d’aplicació polynomial-like i antipolynomial-like. Al capítol 3 donem una visió general del pla dinàmic dels productes de Blaschke Ba. Comencem estudiant les seves propietats bàsiques. Tot seguit mostrem que les funcions Ba. no poden tenir dominis de rotació doblement connexos (anells de Herman) (Proposició 3.2.3) i provem un criteri de connectivitat del conjunt de Julià dels Ba (Teorema 3.2.1). Al capítol 4 introduïm la família Mb de polinomis cúbics amb un punt fix superatractor. A continuació veiem com construir polinomis Mb a partir de productes de Blaschke Ba, tot obtenint una aplicació Γ que envia un subconjunt de l’espai de paràmetres de Ba a l’espai de paràmetres dels polinomis Mb. També provem que l’aplicació Γ és continua i és un homeomorfisme restringida a cada component hiperbòlica disjunta. Al capítol 5 estudiem l’espai de paràmetres dels productes de Blaschke Ba. Primer de tot en descrivim les simetries. A continuació classifiquem els diferents tipus de comportaments hiperbòlics que es poden donar i veiem a quines regions de l’espai de paràmetres poden aparèixer. Tot seguit construïm una aplicació polynomial-like al voltant de tot paràmetre de no escapament contingut en una regió d’intercanvi que, sota certes condicions, pot relacionar la dinàmica de Ba amb la dels antipolinomis pc(z)=\bar{z}^2+c (Teorema 5.3.4). Finalment parametritzem tota component hiperbòlica disjunta els cicles atractors de la qual són acotats i no rauen al cercle unitat (Teorema 5.4.2). Al capítol 6 estudiem les llengües dels productes de Blaschke Ba. Inicialment provem algunes de les seves propietats topològiques bàsiques com ara la seva connectivitat mòdul simetria, la seva connectivitat simple i l’existència d’una única punta per a cada llengua (Teorema 6.2.1). Tot seguit mostrem com es produeixen les bifurcacions en un entorn de la punta de cada llengua (Teorema 6.3.2). Finalment estudiem com les llengües s’estenen per a paràmetres a tals que 1<|a|< 2. Al capítol 7 estudiem com els productes de Blaschke Ba generalitzen a funcions racionals de grau m+2 per m>2.

Facultad de Ciencias, 1934 - Còpia digital de l'exemplar mecanografiat existent a l'expedient de l'autor, conservat a l'Arxiu Històric de la UB / En una serie de recientes trabajos, donde se estudian a fondo muchos problemas esenciales de la moderna teoría de las funciones de dos variables complejas, F. SEVERI ha establecido las bases de una fundamentación geométrica de aquella teoría; este camino ha sido explorado minuciosamente por B. SEGRE, el cual ha obtenido también notables resultados. Según este modo de ver, las propiedades fundamentales derivan de la representación real de los entes complejos, y especialmente la manera de considerar el infinito del campo de variabilidad. Como ha demostrado SEVERI, lo más correcto es considerar el par de variables complejas (x,y) distendido sobre la V(6/4) de C. SEGRE (es decir, sobre la falda real de una V(6/4) de SEGRE de tipo elíptico) de un espacio de ocho dimensiones; esta variedad es, en efecto, el modelo algebraico-topológico mínimo de dicho campo. Haciendo la proyección, en modo conveniente, de dicha variedad sobre un espacio plano de cuatro dimensiones S(4), obtenemos la representación de los puntos del plano proyectivo complejo por medio de los puntos reales de un S(4) euclídeo; en esta forma, los puntos del infinito de aquel plano corresponden homeomórroficamente a las rectas reales de una cierta congruencia lineal elíptica del espacio impropio de aquel S(4). Todas estas consideraciones fueron ya hechas en una nota de B. SEGRE, donde se hace ver toda su importancia. Me propongo en esta memoria estudiar estas cuestiones en toda su generalidad, extendiéndolas al caso de “n” variables. Inmediatamente se echa de ver que, salvo algunos conceptos fundamentales que se transportan en seguida con ligeros cambios, no se trata de extensiones banales: se presenta una gran riqueza y variedad de hechos nuevos, que demuestran la conveniencia de no limitarnos al caso n=2 si queremos llegar a poseer una visión completa de la teoría de funciones analíticas de varias variables. Hay, además, cuestiones ya estudiadas en este último caso que adquieren nueva luz cuando se aumenta el número de dimensiones del espacio ambiente. Un ejemplo elemental se nos presenta al considerar las llamadas superficies características: una propiedad fundamental de estas superficies, que demostraremos en el Capítulo III, es la reducción del número de dimensiones de sus espacios osculadores en puntos genéricos. Cosa que no tiene sentido, evidentemente, en un espacio de cuatro dimensiones. Dicho de otro modo: en ese último espacio cualquier trozo regular de superficie analítica contiene un doble sistema conjugado de líneas, en el sentido de DUPIN. Apenas se consideran, en cambio, superficies pertenecientes a espacios de más de cuatro dimensiones; esto no ocurre ya en general. Pero las superficies características gozan de dicha propiedad. Las consideraciones fundamentales que aquí desarrollamos se refieren a dos conceptos importantes que corresponden, en nuestra representación real de los entes complejos, a los de variedad analítica y transformación analítica del campo complejo. O sea, las variedades características y las transformados llamadas “pseudoconformes” por SEVERI. Las propiedades que aquí estudiaremos tienen casi siempre carácter local, limitándonos a considerar trozos regulares de variedad.