Les tècniques computacionals de simulació han permès la introducció de metodologies de modelització per analitzar sistemes complexes a través d'experimentació virtual, i així avaluar l'impacte d'intervencions sobre els serveis sanitaris. La simulació d'esdeveniments discrets és una tècnica ben coneguda en la investigació operativa que s'ha desenvolupat principalment en l'àmbit de la investigació militar i els sistemes de producció industrial. En l'àmbit mèdic, els models de Markov i els arbres de decisió han estat utilitzats de manera extensa a pesar de les seves limitacions per a reproduir els problemes sanitaris acuradament. La simulació d'esdeveniments discrets està guanyant popularitat degut a la seva flexibilitat per a representar sistemes reals tenint en compte les característiques dels pacients i l'escassedat de recursos present en la provisió de serveis sanitaris. Aquesta tècnica s'ha utilitzat per a analitzar problemes relacionats amb la gestió de recursos sanitaris, però les seves possibilitats per a analitzar problemes més amplis relacionats amb la dinàmica de les poblacions s'han explorat poc. Tradicionalment, les necessitats i la demanda de serveis sanitaris s'han analitzat per separat. En l'aplicació que es presenta es va analitzar la resposta del sistema sanitari tant a la població amb necessitat de cirurgia com als pacients inclosos en llistes d'espera.En aquest sentit, la principal contribució d'aquesta tesi és l'aplicació de la simulació d'esdeveniments discrets a la recerca en serveis sanitaris des d'un punt de vista epidemiològic. A més, el model és complexe a nivell estadístic degut a la diversitat de fonts d'informació i de característiques de les dades que defineixen la informació principal d'entrada; les lleis del sistema modelat van requerir una metodologia ad hoc específica per a recollir i processar aquesta informació per tal de generar les dades d'entrada que necessitava el model de simulació. Per tant, una part important d'aquest treball s'ha dedicat a desenvolupar aquesta metodologia d'anàlisi de les dades d'entrada.Es va construir un model de simulació d'esdeveniments discrets per a analitzar les necessitats i la demanda de cirurgia de cataractes en el sector públic de Catalunya. El model reprodueix el procés de la cirurgia de cataractes, des de la incidència de necessitat de cirurgia, passant per la demanda, la inclusió en una llista d'espera i la cirurgia finalment. Es descriu detalladament la metodologia per a analitzar les dades d'entrada del model. Els paràmetres del model es van estimar utilitzant diferents fonts d'informació, tant bases de dades administratives com de recerca.Es descriu detalladament la implementació del model en el software SIMUL8 i com es pot enllaçar amb Excel per a fer el model més amigable per a usuaris no experts en simulació. Es van realitzar diverses anàlisis de sensibilitat per a avaluar l'impacte de la variabilitat de les estimacions dels paràmetres d'entrada (validació), l'impacte de diferents estratègies de gestió de la llista d'espera segons diferents escenaris de temps mitjà d'espera, i per a avaluar la transferibilitat de la metodologia. Per a avaluar la transferibilitat es va aplicar la metodologia per a calcular els paràmetres d'entrada a diferents àmbits (altres Comunitats Autònomes d'Espanya). Els resultats del model es van utilitzar per a analitzar variacions geogràfiques en l'impacte d'introduir un sistema de priorització de llistes d'espera. A més, es va combinar la informació de les Comunitats Autònomes per a utilitzar el model per a avaluar el volum de necessitat de cirurgia de cataractes a Espanya segons diferents criteris d'indicació de cirurgia. La transferibilitat de la metodologia a d'altres cirurgies electives es va avaluar adaptant el model per a analitzar necessitats i demanda de cirurgia de pròtesi de genoll a Espanya.L'estudi de les necessitats i la demanda de serveis sanitaris és rellevant en la mesura que s'observa un volum important de necessitats no ateses. La diferència entre la necessitat i la provisió de serveis pot ser massa gran per poder-la resoldre, però la utilització de models que avaluïn l'impacte de modificacions en la quantitat de recursos utilitzats o l'impacte de polítiques sanitàries en la gestió de la necessitat i la demanda de serveis és útil en la presa de decisions sanitàries. / Computer simulation techniques have allowed the introduction of modeling methodologies that analyze complex systems through virtual experimentation to assess the potential impact of interventions on health services. Discreteevent simulation is a well-known technique in operations research, and has mainly been developed in the context of military research and manufacturing systems. In the medical setting, Markov models and decision trees have been extensively used despite their limitations in reproducing healthcare problems accurately. Discrete-event simulation is gaining popularity because of its flexibility in representing real systems by taking into account patient characteristics and the scarcity of resources present in health services provision. This technique has been used to analyze problems related to healthcare resource management, but its possibilities to analyze larger problems related to population dynamics have been hardly explored. Traditionally, needs and demand for health services have been analyzed separately. In the present application, the response of the health system to both the population with need for surgery and to the patients included on a waiting list was analyzed.In this sense, the main contribution of this thesis is the application of discrete-event simulation to health services research from an epidemiologic point of view. Moreover, the model was statistically complex because the variety of sources and characteristics of data defining the main inputs and rules of the modeled system asked for a specific ad hoc methodology to collect and process them to generate the inputs that the simulation model needs. Therefore a relevant part of this work has been devoted to develop such input data analysis methodology.A discrete-event simulation model was built for needs and demand for cataract surgery in the Catalan public sector.The model reproduced the process of cataract surgery, from incidence of need for surgery, through demand, inclusion on a waiting list and surgery. The input data analysis methodology was described in detail. The model's parameters were estimated from several sources, including administrative and research databases.The implementation of the model in the software SIMUL8 and its link to Excel to make the model user-friendly for nonexpert users were described in detail. Several sensitivity analyses were performed to assess the impact of the variability of the input estimations (validation), the impact of different waiting list management strategies according to different scenarios of mean waiting time, and to assess the transferability of the methodology. Transferability was evaluated by applying the methodology for calculating the input values to different settings (other regions of Spain).Then, results of the model were used to analyze geographical variations of the impact of introducing a waiting list prioritization system. Moreover, information of the different regions was combined to use the model to assess the volume of need for cataract surgery in Spain according to different indication criteria for surgery. Transferability of the methodology to other elective surgeries was assessed by adapting the model to analyze needs and demand for knee replacement in Spain.Study of needs and demand for health services is important since substantial unmet needs are observed. The gap between needs and services provision may be too great to be resolved, but models that assess the impact of changes on the amount of resources used or the impact of health policies on the management of need and demand are useful in healthcare decision-making.

The main topic of the thesis is the study of Elliptic PDEs. It is divided into three parts: (I) integro-differential equations, (II) stable solutions to reaction-diffusion problems, and (III) weighted isoperimetric and Sobolev inequalities. Integro-differential equations arise naturally in the study of stochastic processes with jumps, and are used in Finance, Physics, or Ecology. The most canonical example of integro-differential operator is the fractional Laplacian (the infinitesimal generator of the radially symmetric stable process). In the first Part of the thesis we find and prove the Pohozaev identity for such operator. We also obtain boundary regularity results for general integro-differential operators, as explained next. In the classical case of the Laplacian, the Pohozaev identity applies to any solution of linear or semilinear problems in bounded domains, and is a very important tool in the study of elliptic PDEs. Before our work, a Pohozaev identity for the fractional Laplacian was not known. It was not even known which form should it have, if any. In this thesis we find and establish such identity. Quite surprisingly, it involves a local boundary term, even though the operator is nonlocal. The proof of the identity requires fine boundary regularity properties of solutions, that we also establish here. Our boundary regularity results apply to fully nonlinear integro-differential equations, but they improve the best known ones even for linear ones. Our work in Part II concerns the regularity of local minimizers to some elliptic equations, a classical problem in the Calculus of Variations. More precisely, we study the regularity of stable solutions to reaction-diffusion problems in bounded domains. It is a long standing open problem to prove that all stable solutions are bounded, and thus regular, in dimensions n<10. In dimensions n>=10 there are examples of singular stable solutions. The question is still open in dimensions 4<n<10. We prove here that, in domains of double revolution, all stable solutions are bounded in dimensions n<8. Except for the radial case, our result is the first partial answer valid for all nonlinearities. While studying this, we were led to some weighted Sobolev inequalities with monomial weights that were not treated in the literature. We establish them in Part III of the thesis. Our proof of such Sobolev inequalities is based on a new weighted isoperimetric inequality in R^n. It is quite surprising that, even if the weight is not radially symmetric, Euclidean balls (centered at the origin) solve this isoperimetric problem. Also in Part III, we study more general weights, and also anisotropic perimeters. We obtain a family of new isoperimetric inequalities with homogeneous weights satisfying a concavity condition. As a particular case of our results, we provide with totally new proofs of two classical results: the Wulff inequality, and the Lions-Pacella inequality. / El tema principal de la tesi és l'estudi d'EDPs el·líptiques. La tesi està dividida en tres parts: (I) equacions integro-diferencials, (II) solucions estables de problemes de reacció-difusió, i (III) desigualtats isoperimètriques i de Sobolev amb pesos. Les equacions integro-differencials apareixen de manera natural en l'estudi de processos estocàstics amb salts (processos de Lévy), i s'utilitzen per modelitzar problemes en Finances, Física, o Ecologia. L'exemple més canònic d'operador integro-diferencial és el Laplacià fraccionari (el generador infinitesimal d'un procés estable i radialment simètric). A la Part I de la tesi trobem i demostrem la identitat de Pohozaev per aquest operador. També obtenim resultats de regularitat a la vora per operadors integro-diferencials més generals, tal com expliquem a continuació. En el cas clàssic del Laplacià, la identitat de Pohozaev s'aplica a qualsevol solució de problemes lineals o semilineals en dominis acotats, i és una eina molt important en l'estudi d'EDPs el·líptiques. Abans del nostre treball, no es coneixia cap identitat de Pohozaev pel Laplacià fraccionari. Ni tan sols es sabia quina forma hauria de tenir, en cas que existís. En aquesta tesi trobem i demostrem aquesta identitat. Sorprenentment, la identitat involucra un terma de vora local, tot i que l'operador és no-local. La demostració de la identitat requereix conèixer el comportament precís de les solucions a la vora, cosa que també obtenim aquí. Els nostres resultats de regularitat a la vora s'apliquen a equacions integro-diferencials completament no-lineals, però milloren els resultats anteriors fins i tot per a equacions lineals. A la Part II estudiem la regularitat dels minimitzants locals d'algunes equacions el·líptiques, un problema clàssic del Càlcul de Variacions. En concret, estudiem la regularitat de les solucions estables a problemes de reacció-difusió en dominis acotats. És un problema obert des de fa molts anys demostrar que totes les solucions estables són acotades (i per tant regulars) en dimensions n<10. En dimensions n>=10 hi ha exemples de solucions estables singulars. La questió encara està oberta en dimensions 4<n<10. Aquí demostrem que, en dominis de doble revolució, totes les solucions estables són acotades en dimensions n<8. Excepte el cas radial, el nostre resultat és la primera resposta parcial vàlida per a totes les nolinealitats en dimensions 5, 6 i 7. Mentre estudiavem aquest problema, ens vam trobar amb desigualtats de Sobolev amb pesos monomials que no havien estat tractades a la literatura. A la Part III, demostrem aquestes desigualtats. La nostra demostració d'aquestes desigualtats de Sobolev es basa en una nova desigualtat isoperimètrica a R^n amb un pes. És bastant sorprenent que, tot i que el pes no és radialment simètric, les boles (centrades a l'origen) resolen aquest problema isoperimètric. També a la Part III, estudiem pesos més generals, i també perímetres no-isotròpics. Obtenim una nova família de desigualtats isoperimètriques amb pesos homogenis que satisfan una condició de concavitat. Com a cas particular dels nostres resultats, donem demostracions totalment noves de dos resultats clàssics: la desigualtat de Wulff, i la desigualtat de Lions-Pacella.

The thesis is divided into two parts. The first part is mainly concerned with regularity issues for integro-differential (or nonlocal) elliptic and parabolic equations. In the same way that densities of particles with Brownian motion solve second order elliptic or parabolic equations, densities of particles with Lévy diffusion satisfy these more general nonlocal equations. In this context, fully nonlinear nonlocal equations arise in Stochastic control problems or differential games. The typical example of elliptic nonlocal operator is the fractional Laplacian, which is the only translation, rotation and scaling invariant nonlocal elliptic operator. There many classical regularity results for the fractional Laplacian ---whose ``inverse'' is the Riesz potential. For instance, the explicit Poisson kernel for a ball is an ``old'' result, as well as the linear solvability theory in L^p spaces. However, very little was known on boundary regularity for these problems. A main topic of this thesis is the study of this boundary regularity, which is qualitatively very different from that for second order equations. We stablish a new boundary regularity theory for fully nonlinear (and linear) elliptic integro-differential equations. Our proofs require a combination of original techniques and appropriate versions of classical ones for second order equations (such as Krylov's method). We also obtain new interior regularity results for fully nonlinear parabolic nonlocal equation with rough kernels. To do it, we develop a blow up and compactness method for viscosity solutions to fully nonlinear equations that allows us to prove regularity from Liouville type theorems.This method is a main contribution of the thesis. The new boundary regularity results mentioned above are crucially used in the proof of another main result of the thesis: the Pohozaev identity for the fractional Laplacian. This identity is has a flavor of integration by parts formula for the fractional Laplacian, with the important novely there appears a local boundary term (this was unusual with nolocal equations). In the second part of the thesis we give two instances of interaction between isoperimetry and Partial Differential Equations. In the first one we use the Alexandrov-Bakelman-Pucci method for elliptic PDE to obtain new sharp isoperimetric inequalities in cones with densities by generalizing a proof of the classical isoperimetric inequality due to Cabré. Our new results contain as particular cases the classical Wulff inequality and the isoperimetric inequality in cones of Lions and Pacella. In the second instance we use the isoperimetric inequality and the classical Pohozaev identity to establish a radial symmetry result for second order reaction-diffusion equations. The novelty here is to include discontinuous nonlinearities. For this, we extend a two-dimensional argument of P.-L. Lions from 1981 to obtain now results in higher dimensions / La tesi està dividida en dues parts. La primera part es centra principalment en questions de regularitat per equacions integro - iferencials (o no locals) el·líptiques i parbòliques. De la mateixa manera que les densitats de partícules amb un moviment Brownià resolen equacions el·líptiques o parbòliques de segon ordre, les densitats de partícules amb una difusió de tipus Lévy resolen aquestes equacions no locals més generals. En aquest context, les equacions completament no lineals sorgeixen de problemes de control estocàstic o "differential games''. L'exemple típic d'operador el·liptic no local és el laplacià fraccionari, el qual és l'únic d'aquests operadors que és invariant per translacions, rotacions, i reescalament. Hi ha molts resultats clàssics de regularitat per el laplacià fraccionari --- "l'invers'' del qual és el potencial de Riesz. Per exemple, el nucli de Poisson (explícit) per la bola és un resultat "vell'', així com la teoria de resolubilitat en espais L^p. No obstant això, se sabia ben poc sobre la regularitat a la vora per a aquests problemes. Un tema principal d'aquesta tesi és l'estudi d'aquesta regularitat a la vora, que és qualitativament molt diferent de la de les equacions de segon ordre . A la tesi s'estableix una nova teoria regularitat a la vora per completament no lineals ( i lineals ) equacions integro - diferencials el·líptiques . Les nostres demostracions requeixen una combinació de tècniques originals i versions apropiades de les clàssiques equacions de segon ordre ( com ara el mètode de Krylov ). També obtenim nous resultats de regularitat interior per equacions parabòliques no locals completament no lineals i amb "rough kernels''. A tal efecte, desenvolupem un mètode de blow-up i compacitat per a equacions completament no lineals que en permet provar regularitat a partir de teoremes de tipus Liouville. Aquest mètode és una contribució principal de la tesi. Els nous resultats de regularitat a la vora esmentats anteriorment són essencials en la prova d'un altre resultat principal de la tesi: la identitat Pohozaev per al Laplacià fraccionari. Aquesta identitat recorda a una fórmula d'integració per parts, però amb el Laplacià fraccionari. La novetat important és que apareix un terme de vora locals (això era inusual amb equacions no locals) . A la segona part de la tesi que donem dos exemples d'interacció entre isoperimetria i Equacions en Derivades Parcials. En el primer, s'utilitza el mètode d'Alexandrov- Bakelman-Pucci per a EDP el·líptiques a fi d'obtenir noves desigualtats isoperimètriques en cons convexos amb densitats, generalitzant una prova de la desigualtat isoperimètric clàssica de X. Cabré. Els nostres nous resultats contenen com a casos particularsla desigualtat clàssica de Wulff i la desigualtat isoperimètrica en cons de Lions-Pacella. En el segon exemple s'utilitza la desigualtat isoperimètrica i la identitat Pohozaev clàssica per establir un resultat de simetria radial per equacions de reacció-difusió de segon ordre. La novetat en aquest cas és que s'inclouen no-linealitats discontínues. Per a provar aquest resultat, estenem un argument en dues dimensions de P.-L. Lions de 1981 i podem obtenir ara resultass en dimensions superiors.

The aim of this thesis is to contribute to the field of discrete boundary value problems on finite networks. Boundary value problems have been considered both on the continuum and on the discrete fields. Despite working in the discrete field, we use the notations of the continuous field for elliptic operators and boundary value problems. The reason is the importance of the symbiosis between both fields, since sometimes solving a problem in the discrete setting can lead to the solution of its continuum version by a limit process. However, the relation between the discrete and the continuous settings does not work out so easily in general. Although the discrete field has softness and regular conditions on all its manifolds, functions and operators in a natural way, some difficulties that are avoided by the continuous field appear. Specifically, this thesis endeavors two objectives. First, we wish to deduce functional, structural or resistive data of a network taking advantage of its conductivity information. The actual goal is to gather functional, structural and resistive information of a large network when the same specifics of the subnetworks that form it are known. The reason is that large networks are difficult to work with because of their size. The smaller the size of a network, the easier to work with it, and hence we try to break the networks into smaller parts that may allow us to solve easier problems on them. We seek the expressions of certain operators that characterize the solutions of boundary value problems on the original networks. These problems are denominated direct boundary value problems, on account of the direct employment of the conductivity information. The second purpose is to recover the internal conductivity of a network using only boundary measurements and global equilibrium conditions. For this problem is poorly arranged because it is highly sensitive to changes in the boundary data, at times we only target a partial reconstruction of the conductivity data or we introduce additional conditions to the network in order to be able to perform a full internal reconstruction. This variety of problems is labelled as inverse boundary value problems, in light of the profit of boundary information to gain knowledge about the inside of the network. Our work tries to find situations where the recovery is feasible, partially or totally. One of our ambitions regarding inverse boundary value problems is to recuperate the structure of the networks that allow the well-known Serrin's problem to have a solution in the discrete setting. Surprisingly, the answer is similar to the continuous case. We also aim to achieve a network characterization from a boundary operator on the network. With this end we define a new class of boundary value problems, that we call overdetermined partial boundary value problems. We describe how the solutions of this family of problems that hold an alternating property on a part of the boundary spread through the network preserving this alternance. If we focus in a family of networks, we see that the above mentioned operator on the boundary can be the response matrix of an infinite family of networks associated to different conductivity functions. By choosing an specific extension, we get a unique network whose response matrix is equal to a previously given matrix. Once we have characterized those matrices that are the response matrices of certain networks, we try to recover the conductances of these networks. With this end, we characterize any solution of an overdetermined partial boundary value problem and describe its resolvent kernels. Then, we analyze two big groups of networks owning remarkable boundary properties which yield to the recovery of the conductances of certain edges near the boundary. We aim to give explicit formulae for the acquirement of these conductances. Using these formulae we are allowed to execute a full conductivity recovery under certain circumstances. / Aquesta tesi té dos objectius generals. Primer, volem deduir dades funcionals, estructurals o resistives d'una xarxa fent servir la informació proporcionada per la seva conductivitat. L'objectiu real és aconseguir aquesta informació d'una xarxa gran quan coneixem la mateixa de les subxarxes que la formen. El motiu és que les xarxes grans no són fàcils de treballar a causa de la seva mida. Com més petita sigui una xarxa, més fàcil serà treballar-hi, i per tant intentem trencar les xarxes grans en parts més petites que potser ens permeten resoldre problemes sobre elles més fàcilment. Principalment busquem les expressions de certs operadors que caracteritzen les solucions dels problemes de contorn en les xaxes originals. Aquests problemes es diuen problemes directes, ja que s'empren directament les dades de conductivitat per obtenir informació. El segon objectiu és recuperar les dades de conductivitat a l'interior d'una xarxa emprant només mesures a la frontera de la mateixa i condicions d'equiliri globals. Com que aquest problema no està ben establert perquè és altament sensible als canvis en les dades de frontera, de vegades només busquem una reconstrucció partial de la conductivitat o afegim condicions a la xarxa per tal de recuperar completament la conductivitat. Aquest tipus de problemes es diuen problemes inversos, ja que es fa servir informació a la frontera per aconseguir coneixements de l'interior de la xarxa. Aquest treball tracta de trobar situacions on la recuperació, total o parcial, es pugui dur a terme. Una de les nostres ambicions quant a problemes inversos és recuperar l'estructura de les xarxes per les que el ben conegut Problema de Serrin té solució en el camp discret. Sorprenentment, la resposta és similar al cas continu. També volem caracteritzar les xarxes mitjançant un operador a la frontera. Amb aquesta finalitat definim els problemes de contorn parcials sobredeterminats i describim com les solucions d'aquesta família de problemes que tenen una propietat d'alternància a una part de la frontera es propaguen a través de la xarxa mantenint aquesta alternància. Si ens centrem en una certa família de xarxes, veiem que l'operador a la frontera que abans hem mencionat pot ser la matriu de respostes d'una família infinita de xarxes amb diferentes conductivitats. Escollint una extensió en concret, obtenim una única xarxa per la qual una matriu donada és la seva matriu de respostes. Un cop hem caracteritzat aquelles matrius que són la matriu de respostes de certes xarxes, intentem recuperar les conductàncies d'aquestes xarxes. Amb aquesta finalitat, caracteritzem qualsevol solució d'un problema de contorn parcial sobredeterminat. Després, analitzem dos gran grups de xarxes que tene propietats de frontera notables i que ens porten a la recuperació de les conductàncies de certes branques a prop de la frontera. L'objectiu és donar fórmules explícites per obtenir aquestes conductàncies. Fent servir aquestes fórmules, aconseguim dur a terme una recuperació completa de conductàncies sota certes circumstàncies

Co-tutela Universitat Politècnica de Catalunya i Université Paul Sabatier / This thesis focuses on the long time behaviour of solutions to Fisher-KPP reaction-diffusion equations involving fractional diffusion. This type of equation arises, for example, in spatial propagation or spreading of biological species (rats, insects,...). In population dynamics, the quantity under study stands for the density of the population. It is well-known that, under some specific assumptions, the solution tends to a stable state of the evolution problem, as time goes to infinity. In other words, the population invades the medium, which corresponds to the survival of the species, and we want to understand at which speed this invasion takes place. To answer this question, we set up a new method to study the speed of propagation when fractional diffusion is at stake and apply it on three different problems. Part I of the thesis is devoted to an analysis of the asymptotic location of the level sets of the solution to two different problems : Fisher-KPP models in periodic media and cooperative systems, both including fractional diffusion. On the first model, we prove that, under some assumptions on the periodic medium, the solution spreads exponentially fast in time and we find the precise exponent that appears in this exponential speed of propagation. We also carry out numerical simulations to investigate the dependence of the speed of propagation on the initial condition. On the second model, we prove that the speed of propagation is once again exponential in time, with an exponent depending on the smallest index of the fractional Laplacians at stake and on the reaction term. Part II of the thesis deals with a two dimensional environment, where reproduction of Fisher-KPP type and usual diffusion occur, except on a line of the plane, on which fractional diffusion takes place. The plane is referred to as 'the field' and the line to 'the road', as a reference to the biological situations we have in mind. Indeed, it has long been known that fast diffusion on roads can have a driving effect on the spread of epidemics. We prove that the speed of propagation is exponential in time on the road, whereas it depends linearly on time in the field. Contrary to the precise asymptotics obtained in Part I, for this model, we are not able to give a sharp location of the level sets on the road and in the field. The expansion shape of the level sets in the field is investigated through numerical simulations. / Esta tesis se centra en el comportamiento en tiempos grandes de las soluciones de la ecuación de Fisher- KPP de reacción-difusión con difusión fraccionaria. Este tipo de ecuación surge, por ejemplo, en la propagación espacial o en la propagación de especies biológicas (ratas, insectos,...). En la dinámica de poblaciones, la cantidad que se estudia representa la densidad de la población. Es conocido que, bajo algunas hipótesis específicas, la solución tiende a un estado estable del problema de evolución, cuando el tiempo tiende a infinito. En otras palabras, la población invade el medio, lo que corresponde a la supervivencia de la especie, y nosotros queremos entender con qué velocidad se lleva a cabo esta invasión. Para responder a esta pregunta, hemos creado un nuevo método para estudiar la velocidad de propagación cuando se consideran difusiones fraccionarias, además hemos aplicado este método en tres problemas diferentes. La Parte I de la tesis está dedicada al análisis de la ubicación asintótica de los conjuntos de nivel de la solución de dos problemas diferentes: modelos de Fisher- KPP en medios periódicos y sistemas cooperativos, ambos consideran difusión fraccionaria. En el primer modelo, se prueba que, bajo ciertas hipótesis sobre el medio periódico, la solución se propaga exponencialmente rápido en el tiempo, además encontramos el exponente exacto que aparece en esta velocidad de propagación exponencial. También llevamos a cabo simulaciones numéricas para investigar la dependencia de la velocidad de propagación con la condición inicial. En el segundo modelo, se prueba que la velocidad de propagación es nuevamente exponencial en el tiempo, con un exponente que depende del índice más pequeño de los Laplacianos fraccionarios y también del término de reacción. La Parte II de la tesis ocurre en un entorno de dos dimensiones, donde se reproduce un tipo ecuación de Fisher- KPP con difusión estándar, excepto en una línea del plano, en el que la difusión fraccionada aparece. El plano será llamado "campo" y la línea "camino", como una referencia a las situaciones biológicas que tenemos en mente. De hecho, desde hace tiempo se sabe que la difusión rápida en los caminos puede causar un efecto en la propagación de epidemias. Probamos que la velocidad de propagación es exponencial en el tiempo en el camino, mientras que depende linealmente del tiempo en el campo. Contrariamente a los precisos exponentes obtenidos en la Parte I, para este modelo, no fuimos capaces de dar una localización exacta de los conjuntos de nivel en la carretera y en el campo. La forma de propagación de los conjuntos de nivel en el campo se investiga a través de simulaciones numéricas

In this thesis we develop and analyse mathematical models describing phase change phenomena linked with novel technological applications. The models are based on modifications to standard phase change theory. The mathematical tools used to analyse such models include asymptotic analysis, similarity solutions, the Heat Balance Integral Method and standard numerical techniques such as finite differences. In chapters 2 and 3 we study the melting of nanoparticles. The Gibbs-Thomson relation, accounting for melting point depression, is coupled to the heat equations for the solid and liquid and the associated Stefan condition. A perturbation approach, valid for large Stefan numbers, is used to reduce the governing system of partial differential equations to a less complex one involving two ordinary differential equations. Comparison between the reduced system and the numerical solution shows good agreement. Our results reproduce interesting behaviour observed experimentally such as the abrupt melting of nanoparticles. Standard analyses of the Stefan problem impose constant physical properties, such as density or specific heat. We formulate the Stefan problem to allow for variation at the phase change and show that this can lead to significantly different melting times when compared to the standard formulation. In chapter 4 we study a mathematical model describing the solidification of supercooled liquids. For Stefan numbers larger than unity the classical Neumann solution provides an analytical expression to describe the solidification. For Stefan numbers equal or smaller than unity, the Neumann solution is no longer valid. Instead, a linear relationship between the phase change temperature and the front velocity is often used. This allows solutions for all values of the Stefan number. However, the linear relation is an approximation to a more complex, nonlinear relationship, valid for small amounts of supercooling. We look for solutions using the nonlinear relation and demonstrate the inaccuracy of the linear relation for large supercooling. Further, we show how the classical Neumann solution significantly over-predicts the solidification rate for values of the Stefan number near unity. The Stefan problem is often reduced to a 'one-phase' problem (where one of the phases is neglected) in order to simplify the analysis. When the phase change temperature is variable it has been claimed that the standard reduction loses energy. In chapters 5 and 6, we examine the one-phase reduction of the Stefan problem when the phase change temperature is time-dependent. In chapter 5 we derive a one-phase reduction of the supercooled Stefan problem, and test its performance against the solution of the two-phase model. Our model conserves energy and is based on consistent physical assumptions, unlike one-phase reductions from previous studies. In chapter 6 we study the problem from a general perspective, and identify the main erroneous assumptions of previous studies leading to one-phase reductions that do not conserve energy or, alternatively, are based on non-physical assumptions. We also provide a general one-phase model of the Stefan problem with a generic variable phase change temperature, valid for spherical, cylindrical and planar geometries. / En aquesta tesi desenvolupem i analitzem models matemàtics que descriuen processos de transició de fase vinculats a noves tecnologies. Els models es basen en modificacions de la teoria estàndard de canvis de fase. Les tècniques matemàtiques per resoldre els models es basen en l'anàlisi asimptòtic, solucions autosimilars, el mètode de la integral del balanç de la calor i mètodes numèrics estàndards com ara el mètode de les diferències finites. En els capítols 2 i 3 estudiarem la transició solid-liquid d'una nanopartícula, acoblant la relació de Gibbs-Thomson, que descriu la depressió de la temperatura de fusió en una superfície corba, amb l'equació de la calor per la fase sòlida i líquida, i la condició de Stefan. Mitjançant el mètode de pertorbacions, per a valors grans del nombre de Stefan, el problema d'equacions en derivades parcials inicial és reduït a un sistema més senzill de dues equacions diferencials ordinàries. La solució del sistema reduït concorda perfectament amb la solució numèrica del sistema inicial d'equacions en derivades parcials. Els resultats confirmen la transició ultra ràpida de sòlid a líquid observada en experiments amb nanopartícules. Els anàlisis estàndards del problema de Stefan consideren propietats físiques com la densitat i el calor específic constants en la fase sòlida i líquida. En aquesta tesi, formularem el problema de Stefan relaxant la condició de densitat constant, el que portarà a diferències molt significatives en els temps totals de fusió al comparar-los amb els temps obtinguts mitjançant la formulació habitual del problema de Stefan. En el capítol 4 estudiarem un model matemàtic que descriu la solidificació de líquids sota-refredats. Per nombres de Stefan més grans que la unitat la solució clàssica de Neumann dona una expressió analítica que descriu el procés. Per valors del nombre de Stefan més petits o iguals que la unitat, la solució de Neumann no es vàlida i, habitualment, per tal de trobar solucions en aquest règim, s'estableix una relació lineal entre la temperatura de canvi de fase i la velocitat del front de solidificació. Aquesta relació lineal però, és una aproximació per sota-refredaments moderats d'una relació no lineal més complexa. En aquest capítol, buscarem solucions del problema incorporant la relació no lineal al model, i demostrarem la poca precisió a l'utilitzar l'aproximació lineal. A més a més, veurem com la solució de Neumann sobreestima de manera significativa la velocitat del procés per valors propers a la unitat. Habitualment, el problema de Stefan és simplificat a un problema d'una fase (on una de les fases es desestimada) per tal de reduir la dificultat de l'anàlisi. En casos on la temperatura de transició de fase és variable s'ha reclamat que la simplificació d'una fase del problema no conserva l'energia. En els capítols 5 i 6, examinarem les diferents reduccions d'una fase del problema de Stefan en el cas on la temperatura de transició depèn del temps. En el capítol 5 derivarem el problema de Stefan d'una fase associat a la solidificació de líquids sota-refredats, i compararem la solució del sistema resultant amb la solució del problema de Stefan estàndard de dues fases. A diferència dels models d'una fase descrits en estudis previs, el nostre model reduït conserva l'energia i està basat en suposicions físiques consistents. En el capítol 6 estudiarem el problema des d'una perspectiva més general i identificarem les suposicions errònies d'estudis previs que porten a la no conservació de l'energia o que, alternativament, estan basades en suposicions físiques poc consistents. A més a més, derivarem un model d'una fase amb temperatura de canvi de fase variable, vàlid per geometries esfèriques, cilíndriques i planes.

In this thesis we focus on the Capacitated Minimum Spanning Tree (CMST), an extension of the minimum spanning tree (MST) which considers a central or root vertex which receives and sends commodities (information, goods, etc) to a group of terminals. Such commodities flow through links which have capacities that limit the total flow they can accommodate. These capacity constraints over the links result of interest because in many applications the capacity limits are inherent. We find the applications of the CMST in the same areas as the applications of the MST; telecommunications network design, facility location planning, and vehicle routing. The CMST arises in telecommunications networks design when the presence of a central server is compulsory and the flow of information is limited by the capacity of either the server or the connection lines. Its study also results specially interesting in the context of the vehicle routing problem, due to the utility that spanning trees can have in constructive methods. By the simple fact of adding capacity constraints to the MST problem we move from a polynomially solvable problem to a non-polynomial one. In the first chapter we describe and define the problem, introduce some notation, and present a review of the existing literature. In such review we include formulations and exact methods as well as the most relevant heuristic approaches. In the second chapter two basic formulations and the most used valid inequalities are presented. In the third chapter we present two new formulations for the CMST which are based on the identification of subroots (vertices directly connected to the root). One way of characterizing CMST solutions is by identifying the subroots and the vertices assigned to them. Both formulations use binary decision variables y to identify the subroots. Additional decision variables x are used to represent the elements (arcs) of the tree. In the second formulation the set of x variables is extended to indicate the depth of the arcs in the tree. For each formulation we present families of valid inequalities and address the separation problem in each case. Also a solution algorithm is proposed. In the fourth chapter we present a biased random-key genetic algorithm (BRKGA) for the CMST. BRKGA is a population-based metaheuristic, that has been used for combinatorial optimization. Decoders, solution representation and exploring strategies are presented and discussed. A final algorithm to obtain upper bounds for the CMST is proposed. Numerical results for the BRKGA and two cutting plane algorithms based on the new formulations are presented in the fifth chapter . The above mentioned results are discussed and analyzed in this same chapter. The conclusion of this thesis are presented in the last chapter, in which we include the opportunity areas suitable for future research. / En esta tesis nos enfocamos en el problema del Árbol de Expansión Capacitado de Coste Mínimo (CMST, por sus siglas en inglés), que es una extensión del problema del árbol de expansión de coste mínimo (MST, por sus siglas en inglés). El CMST considera un vértice raíz que funciona como servidor central y que envía y recibe bienes (información, objetos, etc) a un conjunto de vértices llamados terminales. Los bienes solo pueden fluir entre el servidor y las terminales a través de enlaces cuya capacidad es limitada. Dichas restricciones sobre los enlaces dan relevancia al problema, ya que existen muchas aplicaciones en que las restricciones de capacidad son de vital importancia. Dentro de las áreas de aplicación del CMST más importantes se encuentran las relacionadas con el diseño de redes de telecomunicación, el diseño de rutas de vehículos y problemas de localización. Dentro del diseño de redes de telecomunicación, el CMST está presente cuando se considera un servidor central, cuya capacidad de transmisión y envío está limitada por las características de los puertos del servidor o de las líneas de transmisión. Dentro del diseño de rutas de vehículos el CMST resulta relevante debido a la influencia que pueden tener los árboles en el proceso de construcción de soluciones. Por el simple de añadir las restricciones de capacidad, el problema pasa de resolverse de manera exacta en tiempo polinomial usando un algoritmo voraz, a un problema que es muy difícil de resolver de manera exacta. En el primer capítulo se describe y define el problema, se introduce notación y se presenta una revisión bibliográfica de la literatura existente. En dicha revisión bibliográfica se incluyen formulaciones, métodos exactos y los métodos heurísticos utilizados más importantes. En el siguiente capítulo se muestran dos formulaciones binarias existentes, así como las desigualdades válidas más usadas para resolver el CMST. Para cada una de las formulaciones propuestas, se describe un algoritmo de planos de corte. Dos nuevas formulaciones para el CMST se presentan en el tercer capítulo. Dichas formulaciones estás basadas en la identificación de un tipo de vértices especiales llamados subraíces. Los subraíces son aquellos vértices que se encuentran directamente conectados al raíz. Un forma de caracterizar las soluciones del CMST es a través de identificar los nodos subraíces y los nodos dependientes a ellos. Ambas formulaciones utilizan variables para identificar los subraices y variables adicionales para identificar los arcos que forman parte del árbol. Adicionalmente, las variables en la segunda formulación ayudan a identificar la profundidad con respecto al raíz a la que se encuentran dichos arcos. Para cada formulación se presentan desigualdades válidas y se plantean procedimientos para resolver el problema de su separación. En el cuarto capítulo se presenta un algoritmo genético llamado BRKGA para resolver el CMST. El BRKGA está basado en el uso de poblaciones generadas por secuencias de números aleatorios, que posteriormente evolucionan. Diferentes decodificadores, un método de búsqueda local, espacios de búsqueda y estrategias de exploración son presentados y analizados. El capítulo termina presentando un algoritmo final que permite la obtención de cotas superiores para el CMST. Los resultados computacionales para el BRKGA y los dos algoritmos de planos de corte basados en las formulaciones propuestas se muestran en el quinto capítulo. Dichos resultados son analizados y discutidos en dicho capítulo. La tesis termina presentando las conclusiones derivadas del desarrollo del trabajo de investigación, así como las áreas de oportunidad sobre las que es posible realizar futuras investigaciones.

DE LA TESI:Aquesta memoria consta de dues parts La primera part està dedicada a l'obtenció d'un criteri local de regularitat de densitats per a vectors que tinguin una llei de probabilitat concentrada en un obert de Rk mitjançant tècniques de càlcul estocàstic de variacions (càlcul de Malliavm). Com aplicació d'aquest criteri es demostra que el suprem al quadrat unitat del drap brownià té una densitat infinitament dif renciable en (0, oo) En la segona part s'obté un resultat d'aproximació de difusions per a una equació estocàstica hiperbólica en el pla governada per un procés de Wiener amb dos paràmetres. La llei límit queda caracteritzada com la solució d'un problema de martingala es demostra l'equivaléncia entre existencia i unicitat de solució feble per a una equació diferencial estocàstica en el pla i existéncia i unicitat de solució del corresponent problema de martingala per a processos amb dos paràmetres.

Reproducció digital de l'original manuscrit, en fulls solts, dipositat a l'Arxiu Històric d'aquesta Universitat / Lauro Clariana Ricart (Barcelona, 1842-1916) fue un matemático e ingeniero industrial español. Obtuvo en 1873 la cátedra de matemáticas del Instituto de Tarragona. Ese mismo año se graduó de doctor en Ciencias Exactas. Fue nombrado en 1881 catedrático numerario de Cálculo Infinitesimal de la Universidad de Barcelona. De 1902 a 1907 desempeñó interinamente la cátedra de Cálculo Integral y Mecánica Racional de la Escuela de Ingenieros Industriales de esta ciudad, y desde 1909 desempeñó la de Cálculo Infinitesimal, de cuya nueva asignatura fue el iniciador. Perteneció a la Real Academia de Ciencias y Artes de Barcelona y a la de Ciencias Exactas, Físicas y Naturales de Madrid. Colaboró en diversas revistas científicas. En la Academia de Barcelona dio conferencias sobra matemáticas superiores referentes a Funciones elípticas. Ha figurado dignamente en los congresos de París, Bruselas, Múnich y Friburgo, en los que presentó numerosos trabajos sobre distintas materias. (Fuente: Wikipedia.org)

The representation (or feature) learning has been an emerging concept in the last years, since it collects a set of techniques that are present in any theoretical or practical methodology referring to artificial intelligence. In computer vision, a very common representation has adopted the form of the well-known Bag of Visual Words. This representation appears implicitly in most approaches where images are described, and is also present in a huge number of areas and domains: image content retrieval, pedestrian detection, human-computer interaction, surveillance, e-health, and social computing, amongst others. The early stages of this dissertation provide an approach for learning visual representations inside evolutionary algorithms, which consists of evolving weighting schemes to improve the BoVW representations for the task of recognizing categories of videos and images. Thus, we demonstrate the applicability of the most common weighting schemes, which are often used in text mining but are less frequently found in computer vision tasks. Beyond learning these visual representations, we provide an approach based on fusion strategies for learning spatiotemporal representations, from multimodal data obtained by depth sensors. Besides, we specially aim at the evolutionary and dynamic modelling, where the temporal factor is present in the nature of the data, such as video sequences of gestures and actions. Indeed, we explore the effects of probabilistic modelling for those approaches based on dynamic programming, so as to handle the temporal deformation and variance amongst video sequences of different categories. Finally, we integrate dynamic programming and generative models into an evolutionary computation framework, with the aim of learning Bags of SubGestures (BoSG) representations and hence to improve the generalization capability of standard gesture recognition approaches. The results obtained in the experimentation demonstrate, first, that evolutionary algorithms are useful for improving the representation of BoVW approaches in several datasets for recognizing categories in still images and video sequences. On the other hand, our experimentation reveals that both, the use of dynamic programming and generative models to align video sequences, and the representations obtained from applying fusion strategies in multimodal data, entail an enhancement on the performance when recognizing some gesture categories. Furthermore, the combination of evolutionary algorithms with models based on dynamic programming and generative approaches results, when aiming at the classification of video categories on large video datasets, in a considerable improvement over standard gesture and action recognition approaches. Finally, we demonstrate the applications of these representations in several domains for human analysis: classification of images where humans may be present, action and gesture recognition for general applications, and in particular for conversational settings within the field of restorative justice. / L’aprenentatge de la representació (o de característiques) ha estat un concepte emergent en els darrers anys, ja que recopila un conjunt de tècniques que són presents en qualsevol metodologia teòrica o pràctica referent a la intel·ligència artifcial. En la visió per computador, una representació molt comuna ha adoptat la forma de la ben coneguda Bossa de Paraules Visuals (BdPV). Aquesta representació apareix implícitament en la majoria d’aproximacions per descriure imatges, i és també present en un enorme nombre d’àrees i dominis: recuperació de contingut en imatges, detecció de vianants, interacció humà-ordinador, vigilància, e-salut, i la computació social, entre d’altres. Les fases inicials d’aquesta dissertació proporcionen una aproximació per aprendre representacions visuals dins d’algorismes evolutius, que consisteix en evolucionar esquemes de pesat per millorar les representacions BdPV en la tasca de reconèixer les categories de vídeos i imatges. Per tant, demostrem l’aplicabilitat dels esquemes de pesat més comuns, que s’usen sovint en la mineria de textos però es troben amb menys freqüència en tasques de visió per computador. Més enllà d’aprendre representacions visuals, proporcionem una aproximació basada en estratègies de fusió per a l’aprenentatge de representacions espai- temporals, a partir de dades multi-modals obtingudes per sensors de profunditat. A més, el nostre objectiu és especialment el modelatge evolutiu i dinàmic, on el factor temporal és present en la naturalesa de les dades, com les seqüències de gestos i accions. De fet, explorem els efectes del modelatge probabilístic per aquelles aproximacions basades en programació dinàmica per a gestionar la deformació temporal i variància entre seqüències de vídeo de categories diferents. Finalment, integrem la programació dinàmica i els models generatius en un marc de computació evolutiva, amb l’objectiu d’aprendre representacions en Bosses de SubGestos i, per tant, millorar la capacitat de generalització de les aproximacions estàndards pel reconeixement de gestos. Els resultats obtinguts en l’experimentació demostra, en primer lloc, que els algorismes evolutius són útils per millorar la representació d’aproximacions BdPV en diverses bases de dades pel reconeixement de categories en imatges fxes i seqüències de vídeo. Per altra banda, la nostra experimentació revela que, tant l’ús de la programació dinàmica i els models generatius per alinear seqüències de vídeos, com les representacions obtingudes d’aplicar estratègies de fusió en dades multi-modals, comporten una millora en el rendiment a l’hora de reconèixer algunes categories de gestos. A més a més, la combinació d’algorismes evolutius amb models basats en programació dinàmica i aproximacions generatives resulten, a l’hora de classifcar categories de vídeos de bases de dades grans, en una millora considerable sobre les aproximacions estàndards de reconeixement de gestos i accions. Finalment, demostrem les aplicacions d’aquestes representacions en varis dominis per a l’anàlisi humà: classifcació d’imatges on els humans poden ser-hi presents, el reconeixement d’accions i gestos per aplicacions en general, i en particular per entorns conversacionals dins del camp de la justícia restaurativa. / El aprendizaje de la representación (o de características) ha sido un concepto emergente en los últimos años, ya que recopila un conjunto de técnicas que están presentes en cualquier metodología teórica o práctica referente a la inteligencia artificial. En la visión por computador, una representación muy comuna ha adoptado la forma de la bien conocida Bolsa de Palabras Visuales (BdPV). Esta representación aparece implícitamente en la mayoría de aproximaciones para describir imágenes, y está también presente en un enorme número de áreas y dominios: recuperación de contenido en imágenes, detección de peatones, interacción humano-ordenador, vigilancia, e-salud, y la computación social, entre otras. Las fases iniciales de esta disertación proporcionan una aproximación para aprender representaciones visuales dentro de algoritmos evolutivos, que consisten en evolucionar esquemas de pesado para mejorar las representaciones BdPV en la tarea de reconocer las categorías de vídeos e imágenes. Por lo tanto, demostramos la aplicabilidad de los esquemas de pesado más comunes, que se utilizan a menudo en la minería de textos pero se encuentran con menos frecuencia en tareas de visión por computador. Más allá de aprender representaciones visuales, proporcionamos una aproximación basada en estrategias de fusión para el aprendizaje de representaciones espacio-temporales, a partir de datos multimodales obtenidos por sensores de profundidad. También, nuestro objetivo es especialmente el modelado evolutivo y dinámico, donde el factor temporal está presente en la naturaleza de los datos, como las secuencias de gestos y acciones. De hecho, exploramos los efectos del modelado probabilístico para aquellas aproximaciones basadas en programación dinámica para gestionar la deformación temporal y varianza entre secuencias de vídeo de categorías diferentes. Finalmente, integramos la programación dinámica y los modelos generativos en un marco de computación evolutiva, con el objetivo de aprender representaciones en Bolsas de SubGestos, y por lo tanto mejorar la capacidad de generalización de las aproximaciones estándares para el reconocimiento de gestos. Los resultados obtenidos en la experimentación demuestra, en primer lugar, que los algoritmos evolutivos son útiles para mejorar la representación de aproximaciones BdPV en diversas bases de datos para el reconocimiento de categorías en imágenes fijas y secuencias de vídeo. Por otra parte, nuestra experimentación revela que, tanto el uso de la programación dinámica y los modelos generativos para alinear secuencias de vídeos, como las representaciones obtenidas de aplicar estrategias de fusión en datos multimodales, conllevan una mejora en el rendimiento a la hora de reconocer algunas categorías de gestos. Además, la combinación de algoritmos evolutivos con modelos basados en programación dinámica y aproximaciones generativas resultan, a la hora de clasificar categorías de vídeos de bases de datos grandes, en una mejora considerable sobre las aproximaciones estándares de reconocimiento de gestos y acciones. Finalmente, demostramos las aplicaciones de estas representaciones en varios dominios para el análisis humano: clasificación de imágenes donde los humanos pueden estar presentes, el reconocimiento de acciones y gestos para aplicaciones en general, y en particular para entornos conversacionales dentro del campo de la justicia restaurativa.