Fonaments de la Matemàtica per al tractament de la Incertesa. Noves aportacions a l’estudi de les Equacions Borroses i de les Equacions Diferencials Borroses. Aplicacions de la Matemàtica de la Incertesa al comportament de models de la teoria econòmica.

En el presente trabajo estudiamos el problema de optimizaci on de inversión-consumo en tiempo continuo cuando la tasa de inter es es estocástica (bajo el modelo de Vasicek, de Hull-White y de Ho-Lee) y la función de utilidad pertenece a la familia de funciones HARA (Hyperbolic Absolute Risk Aversion), la cual engloba funciones de utilidad que se emplean frecuentemente en problemas de optimizaci on de portafolios de inversi on. El objetivo es encontrar una estrategia din amica de distribuci on de la riqueza de un individuo entre consumo e inversi on en instrumentos financieros riesgosos (cuyos precios est an gobernados por movimientos geom etricos brownianos) y uno libre de riesgo con retorno igual a la tasa de inter es, la cual debe maximizar su utilidad agregada durante un periodo de tiempo finito. Este problema de control optimo estoc astico se resuelve usando el principio de programaci on din amica, por lo que se busca una funci on que resuelva la ecuaci on de Hamilton-Jacobi-Bellman (HJB). Para simplificar esta ecuación diferencial parcial no lineal en tres variables empleamos la transformada de Legendre, la cual reduce el problema a dos ecuaciones diferenciales parciales lineales en dos variables. Estas se resuelven aplicando el principio de Duhamel, con lo cual conseguimos otra manera de obtener la soluci on del problema a la planteada por Chang y Chang en [4]. Los aportes principales del trabajo son el teorema de verificación que demuestra que la funci on hallada que resuelve la ecuaci on HJB equivale a la función de valor del problema de inversión-consumo, la demostración de que las funciones en las que se alcanzan los supremos en la ecuaci on HJB forman la estrategia óptima, y el desarrollo del problema de inversión-consumo bajo los modelos de Hull-White y de Ho-Lee de tasa de interés.

Podemos definir "Finanzas cuantitativas" como la rama de las finanzas donde se desarrollan e implementan modelos matemáticos complejos, los cuales usarán las empresas para tomar decisiones sobre la gestión de riesgos, futuras inversiones y los precios de nuevos productos financieros. El objetivo de la investigación es presentar el Movimiento Browniano Fraccionario y Elementos del Cálculo de Malliavin en su uso para determinar el precio de los derivados financieros. Con el fin de mostrar como son aplicados diversos objetos matematicos y sus contextos en las Finanzas cuantitativas replico los tres resultados sobre derivados de volatilidad propuestos en 2009 por Peter Carr y Roger Lee en su publicación titulada "Volatility Derivatives[8]", los cuales se evalúan mediante ejercicios de simulación y utilizando el cálculo de Malliavin, siguiendo el trabajo de Elisa Àlos y Kenichiro Shiraya titulado "Estimating the Hurst parameter from short term volatility swaps: a Malliavin calculus approach". / We can define "Quantitative Finance" as the branch of finance that develop and/or implement complex matematical models, which are used by financial firms to make decisions about risk management, future investments and pricing of new financial products. The objective in this research is to show which mathematical objects are used in quantitative finance for derivatives pricing. My main focus are the stochastic process knows as Fractional Brownian Motion and the elements from Malliavin Stochastic Calculus. Given that my goal is to show how several mathematical objects and their context are apply in quantitative finance, I replicate three results about volatility derivatives from Peter Carr and Roger Lee publication "Volatility Derivatives" and evaluate them using simulation exercises and Malliavin Calculus, following the work publish in 2019 by Elisa Àlos and Kenichiro Shiraya with the name "Estimating the Hurst parameter from short term volatility swaps: a Malliavin calculus approach".