El presente trabajo, tiene como objetivo el estudio de la vibración libre de vigas Timoshenko aplicados a materiales funcionalmente graduados; esto se resuelve utilizando el método de elementos finitos (MEF) , al implementarlo en el software MATLAB, con el fin de obtener las frecuencias fundamentales y las gráficas de los modos de vibración para cada caso. Se define el campo de desplazamientos según la teoría Timoshenko considerando tres variables fundamentales; asimismo, se utiliza el Principio de Hamilton para obtener las vibraciones libres del elemento. Para el desarrollo de las relaciones constitutivas se usa la La ley de potencia, el cual describe como varían las propiedades de un material heterogéneo e isotrópico FGM (FGM por sus siglas en inglés) en el peralte de la viga. Los resultados obtenidos se compararon con otros estudios de la literatura validados por revistas como SCOPUS y SPRINGER, demostrando que el modelo es bastante preciso y satisfactorio. / The present work aims to study the free vibration of Timoshenko beams applied to functionally graduated materials; This is solved using the finite element method (FEM), when implemented in the MATLAB software, in order to obtain the fundamental frequencies and the graphs of the vibration modes for each case. The field of displacements is defined according to the Timoshenko theory considering three fundamental variables; likewise, the Hamilton Principle is used to obtain the free vibrations of the element. For the development of the constitutive relationships, the power law is used, which describes how the properties of a heterogeneous and isotropic material FGM vary in the heightn of the beam. The results obtained were compared with other literature studies validated by journals such as SCOPUS and SPRINGER, showing that the model is quite accurate and satisfactory. / Tesis

El propósito del presente trabajo es desarrollar un modelo matemático que permita el análisis de estabilidad de una viga compuesta de materiales funcionalmente graduados sometida a una carga de compresión axial. La finalidad es analizar el comportamiento de una viga heterogénea y calcular las cargas y los modos de pandeo. En el desarrollo de la investigación se describe vectorialmente el campo de desplazamiento de la viga para obtener las ecuaciones de gobierno de la estructura; de este modo, mediante principios energéticos, se pueda desarrollar el modelo de elementos finitos y buscar una solución vectorial propia. El modelo matemático se divide en dos partes: formulación simbólica y modelo numérico computacional. En el modelo matemático, los materiales funcionalmente graduados afectan el módulo de elasticidad debido a la particularidad del material; y la energía potencial total es afectada por dos estados: estado fundamental (deformación de membrana o de pre-pandeo) y estado incremental (estado de perturbación arbitraria de equilibrio). Los resultados obtenidos fueron verificados con ejercicios benchmarking encontrados en la literatura, para corroborar la eficacia del modelo planteado; validados con informes de pruebas de laboratorio, para revisar la precisión; y estudiados paramétricamente, para analizar la influencia de las variables. / The purpose of the present work is to develop a mathematical model that allows the stability analysis of a beam composed of functionally graded materials subjected to an axial compressive load. The objective is to analyze the behavior of a heterogeneous beam and calculate the buckling loads and modes. In the development of the investigation, the field of displacement of the beam is described in vectors to obtain the governing equations of the structure. In this way, by energetic principles, the finite element model can be developed, and the solution can be found by eigenvalue and eigenvector exercise. The mathematical model is divided in two parts: symbolic formulation and computational numerical model. In the model, the functionally graded materials affect the modulus of elasticity due to the particularity of the material; and the total potential energy is affected by two states: fundamental state (membrane deformation or pre-buckling) and incremental state (arbitrary perturbation of the equilibrium). The results obtained were verified with benchmarking exercises found in literature, to corroborate the effectiveness of the proposed model; validated with lab test-reports, to check its accuracy; and studied parametrically, to analyze the influence of the variables. / Tesis