Por meio de acompanhamento realizado junto a quatro professores da rede estadual de ensino de São Paulo, realizamos um estudo de caso, com foco na abordagem das provas matemáticas no Ensino Médio. O texto descreve o acompanhamento das aulas, motivações e os obstáculos existentes para o desenvolvimento do tema em sala de aula. Para o desenvolvimento da pesquisa, utilizamos como referencial teórico, os seguintes trabalhos: Thompson (1992), sobre concepções docentes; as tipologias e funções das provas matemáticas, de Balacheff e De Villiers, respectivamente. Foram utilizados os seguintes instrumentos para a coleta de dados: observação direta, anotações de campo e entrevistas. Os resultados obtidos apontam para uma prática pedagógica utilitarista sem a participação ativa dos alunos. Quanto às provas matemáticas, constatamos a sua abordagem de forma intencional e planejada, sendo abordadas, no entanto, apenas em turmas específicas e ligadas ao interesse pessoal do professor e ainda, em geral, sem a participação ativa dos alunos no processo. Acreditamos não ser este o ambiente ideal para o desenvolvimento das provas matemáticas em sala de aula, que deveria ocorrer num espaço voltado à argumentação, levantamento de hipóteses, elaboração de conjecturas de modo a permitir o avanço dos alunos nos níveis das provas elaboradas. Constatamos ainda a influência de fatores como: interesse das turmas, indisciplina, cobranças internas (organização da sala, comportamento dos alunos em sala, abordagem dos conteúdos previstos) e externas (desempenho satisfatório nas avaliações internas e externas das quais a escola participa). / Through monitoring carried out with four teachers of the state of São Paulo teaching, we conducted a case study with a focus on addressing the mathematical proofs in high school. The text describes the monitoring of classes, existing motivations and obstacles to the issue of development in the classroom. For the development of research, we used as a theoretical reference, the following work: Thompson (1992) on teachers conceptions; the types and functions of mathematical proofs of Balacheff and De Villiers, respectively. The instruments for data collection were used: direct observation, field notes and interviews. The results point to a utilitarian pedagogical practice without the active participation of students. As for mathematical proofs, found his approach intentionally and planned, being addressed, however, only in specific classes and linked to the staff of teacher interest and also, in general, without the active participation of students in the process. We believe this is not the ideal environment for the development of mathematical proofs in the classroom, which should occur in an area facing the argument, raise hypotheses, conjectures preparing to allow the advancement of students in levels of elaborate tests. Still found the influence of factors such as interest groups, lack of discipline, internal charges (room organization, students\' behavior in class, approach the expected content) and external (satisfactory performance in internal and external ratings of which the school participates).

Por meio de acompanhamento realizado junto a quatro professores da rede estadual de ensino de São Paulo, realizamos um estudo de caso, com foco na abordagem das provas matemáticas no Ensino Médio. O texto descreve o acompanhamento das aulas, motivações e os obstáculos existentes para o desenvolvimento do tema em sala de aula. Para o desenvolvimento da pesquisa, utilizamos como referencial teórico, os seguintes trabalhos: Thompson (1992), sobre concepções docentes; as tipologias e funções das provas matemáticas, de Balacheff e De Villiers, respectivamente. Foram utilizados os seguintes instrumentos para a coleta de dados: observação direta, anotações de campo e entrevistas. Os resultados obtidos apontam para uma prática pedagógica utilitarista sem a participação ativa dos alunos. Quanto às provas matemáticas, constatamos a sua abordagem de forma intencional e planejada, sendo abordadas, no entanto, apenas em turmas específicas e ligadas ao interesse pessoal do professor e ainda, em geral, sem a participação ativa dos alunos no processo. Acreditamos não ser este o ambiente ideal para o desenvolvimento das provas matemáticas em sala de aula, que deveria ocorrer num espaço voltado à argumentação, levantamento de hipóteses, elaboração de conjecturas de modo a permitir o avanço dos alunos nos níveis das provas elaboradas. Constatamos ainda a influência de fatores como: interesse das turmas, indisciplina, cobranças internas (organização da sala, comportamento dos alunos em sala, abordagem dos conteúdos previstos) e externas (desempenho satisfatório nas avaliações internas e externas das quais a escola participa). / Through monitoring carried out with four teachers of the state of São Paulo teaching, we conducted a case study with a focus on addressing the mathematical proofs in high school. The text describes the monitoring of classes, existing motivations and obstacles to the issue of development in the classroom. For the development of research, we used as a theoretical reference, the following work: Thompson (1992) on teachers conceptions; the types and functions of mathematical proofs of Balacheff and De Villiers, respectively. The instruments for data collection were used: direct observation, field notes and interviews. The results point to a utilitarian pedagogical practice without the active participation of students. As for mathematical proofs, found his approach intentionally and planned, being addressed, however, only in specific classes and linked to the staff of teacher interest and also, in general, without the active participation of students in the process. We believe this is not the ideal environment for the development of mathematical proofs in the classroom, which should occur in an area facing the argument, raise hypotheses, conjectures preparing to allow the advancement of students in levels of elaborate tests. Still found the influence of factors such as interest groups, lack of discipline, internal charges (room organization, students\' behavior in class, approach the expected content) and external (satisfactory performance in internal and external ratings of which the school participates).

Made available in DSpace on 2016-04-27T16:57:23Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Ednaldo Jose Leandro.pdf: 2692205 bytes, checksum: 44f6a076945d6ba25a67751c3c128be8 (MD5) Previous issue date: 2012-11-09 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior / Through a study conducted with five teachers of municipal schools of São Paulo, a survey was carried out which knowledge is mobilized by them, when the focus is on mathematical proofs in elementary school. The text portrays the motivations and obstacles encountered by teachers in developing classroom issues related to mathematical proofs, as well as its functions and typologies aimed. For the development of the research, we used the case study and theoretical reference, the following works: Tardif, on teacher knowledge, the types and functions of mathematical proofs of Balacheff and de Villiers, respectively. The following instruments were used to collect data: direct observation, field notes, interviews, and survey activities. The results point to the mobilization of some knowledge, namely: Curriculum, Experiential and Disciplinary. It was also found that teachers perceive the development of mathematical proofs as a process, considering them an important element to make students develop the habit of presenting justifications for their elaborations. Knowing to do an exam was pointed as a skill to be acquired relevant not only for mathematics, but also for the life of apprentice after school, besides being an opportunity to realize the structure, beauty and connections of mathematical ideas. The productions of mathematical proofs, prepared by students, are identified by teachers as being predominantly pragmatic, at this level of education, and used to explain the function and hence to convince / Por meio de um levantamento realizado junto a cinco professores da rede municipal de ensino de São Paulo, realizou-se um estudo sobre saberes mobilizados por eles, quando o foco são as provas matemáticas no Ensino Fundamental. O texto retrata as motivações e os obstáculos encontrados pelos docentes ao desenvolverem em sala de aula assuntos relacionados às provas matemáticas, bem como suas funções e tipologias almejadas. Para o desenvolvimento da pesquisa, utilizou-se o estudo de caso e, como referencial teórico, os seguintes trabalhos: Tardif, sobre os saberes docentes; as tipologias e funções das provas matemáticas, de Balacheff e de Villiers, respectivamente. Foram utilizados os seguintes instrumentos para a coleta de dados: observação direta, anotações de campo, entrevistas, atividades e questionário. Os resultados obtidos apontam para a mobilização de alguns saberes, quais sejam: Curriculares, Experienciais e Disciplinares. Constatou-se ainda que os professores percebem a elaboração das provas matemáticas como um processo, considerando-as um importante elemento para fazer os alunos desenvolverem o hábito de apresentar justificativas para suas elaborações. Saber realizar uma prova foi apontado como uma habilidade relevante a ser adquirida não só para a matemática, como também para a vida do aprendiz após a escola, além de ser uma oportunidade para perceberem a estrutura, a beleza e as conexões das ideias matemáticas. As produções das provas matemáticas, elaboradas pelos discentes, são identificadas pelos professores como sendo predominantemente pragmáticas, nesse nível de ensino, e utilizadas com a função de explicar e, consequentemente, de convencer

Submitted by Jean Medeiros (jeanletras@uepb.edu.br) on 2017-12-05T12:03:24Z No. of bitstreams: 2 PDF - Anderson de Araújo Nascimento.pdf: 46622103 bytes, checksum: d60f09812020a13c3cb13ccf0c932c21 (MD5) Produto - Anderson de Araújo Nascimento.pdf: 2173471 bytes, checksum: a461965985df3647cd94256a818a4661 (MD5) / Approved for entry into archive by Secta BC (secta.csu.bc@uepb.edu.br) on 2017-12-06T18:38:49Z (GMT) No. of bitstreams: 2 PDF - Anderson de Araújo Nascimento.pdf: 46622103 bytes, checksum: d60f09812020a13c3cb13ccf0c932c21 (MD5) Produto - Anderson de Araújo Nascimento.pdf: 2173471 bytes, checksum: a461965985df3647cd94256a818a4661 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-12-06T18:38:49Z (GMT). No. of bitstreams: 2 PDF - Anderson de Araújo Nascimento.pdf: 46622103 bytes, checksum: d60f09812020a13c3cb13ccf0c932c21 (MD5) Produto - Anderson de Araújo Nascimento.pdf: 2173471 bytes, checksum: a461965985df3647cd94256a818a4661 (MD5) Previous issue date: 2017-08-21 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior - CAPES / The present research work investigated the level of geometric thinking and the types of mathematical proofs by 1st year high school students from the application of a Didactic Proposal. This research was constituted as a qualitative one, and as case study, having instruments of the application an essay with the theme Proofs and Mathematical Demonstrations, Didactic Proposal developed by a team of five members who worked collaboratively, inserted in the Project CAPES/OBEDUC/UFMS/UEPB/UFAL Edital 2012, participant observation and audio recording. We developed the didactic proposal with 18 activities, divided into four parts, which stimulated students to reflect, justify, prove and demonstrate. The application of this proposal occurred in June 2015 for 1st year high school students in a public school in the city of Areia, Paraíba. Our research took place in three moments. In the first moment, we apply the essay on the subject mathematical proofs and demonstrations. In the second moment we did a didactic intervention approaching definitions, theorems, proofs and mathematical demonstrations with the objective of taking to the students this knowledge. In the third moment, Part I and II of the Didactic Proposal were applied, involving activities to conjecture and demonstrate the Pythagorean Theorem, Internal Angle Sum Theorem and External Angle Theorem. This proposal helped in the investigation of the mathematical knowledge of the 1st year high school students, divided into 8 pairs and one trio, chosen freely. The two pairs of students who achieved the best performance in our Didactic Proposal were chosen for our case study and the one of better performance had its dialogue recorded and transcribed as a source of evidence of our case study. In our research we analyzed the answers given by the two pairs on Activities 1 and 3 (Part II) and Activity 2 (Part III), totaling in 3 questions. We used the data triangulation method for our case study. Firstly, we draw the profile of the two pairs of students in relation to Proofs and Mathematical Demonstrations. Next, we investigate the types of mathematical proofs used by them and their geometric thinking. To do so, we use discussions about the levels of geometric thinking proposed by Van Hiele and the types of evidence. From our results we can conclude that the pairs of students were able to develop informal justifications, that is, informal proofs. Thus, the pairs presented pragmatic evidence and the types of evidence Pragmatic Justification and Crucial Example. Regarding the geometric thinking proposed by Van Hiele, only one pair could be classified in one of the levels of development of geometric thinking, Level 3, informal deduction. Therefore, we come to the end of this research convinced that it is necessary to start working mathematical proofs and demonstrations in the basic education level, adapting its teaching to the degree of maturity and to the mathematical knowledge of the students, since our results point out that this subject is not approached properly in the classroom. / A presente pesquisa investigou o nível do pensamento geométrico e os tipos de provas matemáticas de alunos do 1º ano do Ensino Médio a partir da aplicação de uma Proposta Didática. Esta pesquisa se constituiu como qualitativa, e estudo de caso, tendo como instrumentos a aplicação de uma redação com o tema Provas e Demonstrações Matemáticas, Proposta Didática desenvolvida por uma equipe de cinco membros que trabalhou de forma colaborativa, inserida no Projeto CAPES/OBEDUC/UFMS/UEPB/ UFAL Edital 2012, observação participante e gravação em audio do diálgo de umas das duplas participantes da pesquisa. Elaboramos uma proposta didática com 18 atividades, dividida em quatro partes, que estimulavam aos alunos refletirem, justificarem, provarem e demonstrarem. A aplicação dessa proposta se deu em junho de 2015 para alunos do 1º ano do Ensino Médio de uma escola pública da cidade de Areia, Paraíba. Nossa pesquisa se deu em três momentos. No primeiro momento, aplicamos a redação sobre o tema provas e demonstrações matemáticas. No segundo momento realizamos uma intervenção didática abordando definições, teoremas, provas e demonstrações matemáticas com o objetivo de levar aos alunos esses conhecimentos. No terceiro momento foi aplicado a Parte I e II da Proposta Didática, envolvendo atividades de conjecturar e demonstrar o Teorema de Pitágoras, Teorema da Soma dos Ângulos Internos e Teorema dos Ângulo Externo. Essa proposta auxiliou na investigação do conhecimento matemático dos alunos do 1º ano do Ensino Médio, divididos em 8 duplas e um trio, escolhidos livremente. As duas duplas de alunos que obteveram melhores desempenhos em nossa Proposta Didática foram escolhidas para o nosso estudo de caso e a de melhor desenpenho teve seu diálogo gravado e transcrito como fonte de evidência de nosso estudo de caso. Em nossa pesquisa analisamos as respostas dadas pelas duas duplas sobre Atividades 1 e 3 (Parte II) e Atividade 2 (Parte III), totalizando em 3 questões. Utilizamos o método de triângulação de dados para nosso estudo de caso. Primeiramente, traçamos o perfil das duas duplas de alunas com relação às Provas e Demonstrações Matemáticas. Em seguida, investigamos os tipos de provas matemáticas utilizadas por elas e o seu pensamento geométrico. Para tanto, utilizamos as discussões sobre os níveis do pensamento geométrico proposto por Van Hiele e os tipos de provas. A partir de nossos resultados pudemos concluir que as duplas de alunas conseguiram desenvolver justificativas informais, ou seja, provas informais. Assim, as duplas apresentaram provas pragmáticas e os tipos de provas Justificativa Pragmática e Exemplo Crucial. Com relação ao pensamento geométrico proposto por Van Hiele, apenas uma dupla pôde ser classificada em um dos níveis de desenvolvimento do pensamento geométrico, o Nível 3, dedução informal. Portanto, chegamos ao final desta pesquisa convictos de que é preciso iniciar o trabalho das provas e demonstrações matemáticas na Educação Básica, adequando seu ensino ao grau de maturidade e aos conhecimentos matemáticos dos alunos, visto que nossos resultados apontam que esse tema não é abordado adequadamente em sala de aula.

Submitted by ROSEMEIRE DE FATIMA BATISTELA null (rosebatistela@hotmail.com) on 2017-02-11T02:22:43Z No. of bitstreams: 1 tese finalizada 10 fevereiro 2017 com a capa.pdf: 2263896 bytes, checksum: 413948c6a47fb47a21e1587275d29c03 (MD5) / Approved for entry into archive by Juliano Benedito Ferreira (julianoferreira@reitoria.unesp.br) on 2017-02-15T16:56:58Z (GMT) No. of bitstreams: 1 batistela_rf_dr_rcla.pdf: 2263896 bytes, checksum: 413948c6a47fb47a21e1587275d29c03 (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-15T16:56:58Z (GMT). No. of bitstreams: 1 batistela_rf_dr_rcla.pdf: 2263896 bytes, checksum: 413948c6a47fb47a21e1587275d29c03 (MD5) Previous issue date: 2017-02-02 / Apresentamos nesta tese uma proposta de inserção do tema teorema da incompletude de Gödel em cursos de Licenciatura em Matemática. A interrogação norteadora foi: como sentidos e significados do teorema da incompletude de Gödel podem ser atualizados em cursos de Licenciatura em Matemática? Na busca de elaborarmos uma resposta para essa questão, apresentamos o cenário matemático presente à época do surgimento deste teorema, expondo-o como a resposta negativa para o projeto do Formalismo que objetivava formalizar toda a Matemática a partir da aritmética de Peano. Além disso, trazemos no contexto, as outras duas correntes filosóficas, Logicismo e Intuicionismo, e os motivos que impossibilitaram o completamento de seus projetos, que semelhantemente ao Formalismo buscaram fundamentar a Matemática sob outras bases, a saber, a Lógica e os constructos finitistas, respectivamente. Assim, explicitamos que teorema da incompletude de Gödel aparece oferecendo resposta negativa à questão da consistência da aritmética, que era um problema para a Matemática na época, estabelecendo uma barreira intransponível para a demonstração dessa consistência, da qual dependia o sucesso do Formalismo e, consequentemente, a fundamentação completa da Matemática no ideal dos formalistas. Num segundo momento, focamos na demonstração deste teorema expondo-a em duas versões distintas, que para nós se nos mostraram apropriadas para serem trabalhadas em cursos de Licenciatura em Matemática. Uma, como possibilidade de conduzir o leitor pelos meandros da prova desenvolvida por Gödel em 1931, ilustrando-a, bem como, as ideias utilizadas nela, aclarando a sua compreensão. Outra, como opção que valida o teorema da incompletude apresentando-o de maneira formal, portanto, com endereçamentos e objetivos distintos, por um lado, a experiência com a numeração de Gödel e a construção da sentença indecidível, por outro, com a construção formal do conceito de método de decisão de uma teoria. Na sequência, apresentamos uma discussão focada na proposta de Bourbaki para a Matemática, por compreendermos que a atitude desse grupo revela a forma como o teorema da incompletude de Gödel foi acolhido nessa ciência e como ela continuou após este resultado. Nessa exposição aparece que o grupo Bourbaki assume que o teorema da incompletude não impossibilita que a Matemática prossiga em sua atividade, ele apenas sinaliza que o aparecimento de proposições indecidíveis, até mesmo na teoria dos números naturais, é inevitável. Finalmente, trazemos a proposta de como atualizar sentidos e significados do teorema da incompletude de Gödel em cursos de Licenciatura em Matemática, aproximando o tema de conteúdos agendados nas ementas, propondo discussão de aspectos desse teorema em diversos momentos, em disciplinas que julgamos apropriadas, culminando no trabalho com as duas demonstrações em disciplinas do último semestre do curso. A apresentação é feita tomando como exemplar um curso de Licenciatura em Matemática. Consideramos por fim, a importância do trabalho com um resultado tão significativo da Lógica Matemática que requer atenção da comunidade da Educação Matemática, dado que as consequências deste teorema se relacionam com a concepção de Matemática ensinada em todos os níveis escolares, que, muito embora não tenham relação com conteúdos específicos, expõem o alcance do método de produção da Matemática. / In this thesis we present a proposal to insert Gödel's incompleteness theorem in Mathematics Education undergraduate courses. The main research question guiding this investigation is: How can the senses and meanings of Gödel's incompleteness theorem be updated in Mathematics Education undergraduate courses? In answering the research question, we start by presenting the mathematical scenario from the time when the theorem emerged; this scenario proposed a negative response to the project of Formalism, which aimed to formalize all Mathematics based upon Peano’s arithmetic. We also describe Logicism and Intuitionism, focusing on reasons that prevented the completion of these two projects which, in similarly to Formalism, were sought to support mathematics under other bases of Logic and finitists constructs. Gödel's incompleteness theorem, which offers a negative answer to the issue of arithmetic consistency, was a problem for Mathematics at that time, as the Mathematical field was passing though the challenge of demonstrating its consistency by depending upon the success of Formalism and upon the Mathematics’ rationale grounded in formalists’ ideal. We present the proof of Gödel's theorem by focusing on its two different versions, both being accessible and appropriate to be explored in Mathematics Education undergraduate courses. In the first one, the reader will have a chance to follow the details of the proof as developed by Gödel in 1931. The intention here is to expose Gödel’ ideas used at the time, as well as to clarify understanding of the proof. In the second one, the reader will be familiarized with another proof that validates the incompleteness theorem, presenting it in its formal version. The intention here is to highlight Gödel’s numbering experience and the construction of undecidable sentence, and to present the formal construction of the decision method concept from a theory. We also present a brief discussion of Bourbaki’s proposal for Mathematics, highlighting Bourbaki’s group perspective which reveals how Gödel’s incompleteness theorem was important and welcome in science, and how the field has developed since its result. It seems to us that Bourbaki’s group assumes that the incompleteness theorem does not preclude Mathematics from continuing its activity. Thus, from Bourbaki’s perspective, Gödel’s incompleteness theorem only indicates the arising of undecidable propositions, which are inevitable, occurring even in the theory of natural numbers. We suggest updating the senses and the meanings of Gödel's incompleteness theorem in Mathematics Education undergraduate courses by aligning Gödel's theorem with secondary mathematics school curriculum. We also suggest including discussion of this theorem in different moments of the secondary mathematics school curriculum, in which students will have elements to build understanding of the two proofs as a final comprehensive project. This study contributes to the literature by setting light on the importance of working with results of Mathematical Logic such as Gödel's incompleteness theorem in secondary mathematics courses and teaching preparation. It calls the attention of the Mathematical Education community, since its consequences are directly related to the design of mathematics and how it is being taught at all grade levels. Although some of these mathematics contents may not be related specifically to the theorem, the understanding of the theorem shows the broad relevance of the method in making sense of Mathematics.