We consider the problem of maximizing the second smallest eigenvalue of the weighted Laplacian of a (simple) graph over all nonnegative edge weightings with bounded total weight. We generalize this problem by introducing node significances and edge lengths. We give a formulation of this generalized problem as a semidefinite program. The dual program can be equivalently written as embedding problem. This is fifinding an embedding of the n nodes of the graph in n-space so that their barycenter is at the origin, the distance between adjacent nodes is bounded by the respective edge length, and the embedded nodes are spread as much as possible. (The sum of the squared norms is maximized.) We proof the following necessary condition for optimal embeddings. For any separator of the graph at least one of the components fulfills the following property: Each straight-line segment between the origin and an embedded node of the component intersects the convex hull of the embedded nodes of the separator. There exists always an optimal embedding of the graph whose dimension is bounded by the tree-width of the graph plus one. We defifine the rotational dimension of a graph. This is the minimal dimension k such that for all choices of the node significances and edge lengths an optimal embedding of the graph can be found in k-space. The rotational dimension of a graph is a minor monotone graph parameter. We characterize the graphs with rotational dimension up to two.

Univ., Fak. für Wirtschaftswiss., Diss.--Magdeburg, 1999. / Literaturangaben.

In dieser Arbeit werden statistische Lernprobleme betrachtet. Lernmaschinen extrahieren Informationen aus einer gegebenen Menge von Trainingsmustern, so daß sie in der Lage sind, Eigenschaften von bisher ungesehenen Mustern - z.B. eine Klassenzugehörigkeit - vorherzusagen. Wir betrachten den Fall, bei dem die resultierende Klassifikations- oder Regressionsregel aus einfachen Regeln - den Basishypothesen - zusammengesetzt ist. Die sogenannten Boosting Algorithmen erzeugen iterativ eine gewichtete Summe von Basishypothesen, die gut auf ungesehenen Mustern vorhersagen. <br /> Die Arbeit behandelt folgende Sachverhalte: <br /> <br /> o Die zur Analyse von Boosting-Methoden geeignete Statistische Lerntheorie. Wir studieren lerntheoretische Garantien zur Abschätzung der Vorhersagequalität auf ungesehenen Mustern. Kürzlich haben sich sogenannte Klassifikationstechniken mit großem Margin als ein praktisches Ergebnis dieser Theorie herausgestellt - insbesondere Boosting und Support-Vektor-Maschinen. Ein großer Margin impliziert eine hohe Vorhersagequalität der Entscheidungsregel. Deshalb wird analysiert, wie groß der Margin bei Boosting ist und ein verbesserter Algorithmus vorgeschlagen, der effizient Regeln mit maximalem Margin erzeugt.<br /> <br /> o Was ist der Zusammenhang von Boosting und Techniken der konvexen Optimierung? <br /> Um die Eigenschaften der entstehenden Klassifikations- oder Regressionsregeln zu analysieren, ist es sehr wichtig zu verstehen, ob und unter welchen Bedingungen iterative Algorithmen wie Boosting konvergieren. Wir zeigen, daß solche Algorithmen benutzt werden koennen, um sehr große Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen zu lösen, deren Lösung sich gut charakterisieren laesst. Dazu werden Verbindungen zum Wissenschaftsgebiet der konvexen Optimierung aufgezeigt und ausgenutzt, um Konvergenzgarantien für eine große Familie von Boosting-ähnlichen Algorithmen zu geben.<br /> <br /> o Kann man Boosting robust gegenüber Meßfehlern und Ausreissern in den Daten machen? <br /> Ein Problem bisheriger Boosting-Methoden ist die relativ hohe Sensitivität gegenüber Messungenauigkeiten und Meßfehlern in der Trainingsdatenmenge. Um dieses Problem zu beheben, wird die sogenannte 'Soft-Margin' Idee, die beim Support-Vector Lernen schon benutzt wird, auf Boosting übertragen. Das führt zu theoretisch gut motivierten, regularisierten Algorithmen, die ein hohes Maß an Robustheit aufweisen.<br /> <br /> o Wie kann man die Anwendbarkeit von Boosting auf Regressionsprobleme erweitern? <br /> Boosting-Methoden wurden ursprünglich für Klassifikationsprobleme entwickelt. Um die Anwendbarkeit auf Regressionsprobleme zu erweitern, werden die vorherigen Konvergenzresultate benutzt und neue Boosting-ähnliche Algorithmen zur Regression entwickelt. Wir zeigen, daß diese Algorithmen gute theoretische und praktische Eigenschaften haben.<br /> <br /> o Ist Boosting praktisch anwendbar? <br /> Die dargestellten theoretischen Ergebnisse werden begleitet von Simulationsergebnissen, entweder, um bestimmte Eigenschaften von Algorithmen zu illustrieren, oder um zu zeigen, daß sie in der Praxis tatsächlich gut funktionieren und direkt einsetzbar sind. Die praktische Relevanz der entwickelten Methoden wird in der Analyse chaotischer Zeitreihen und durch industrielle Anwendungen wie ein Stromverbrauch-Überwachungssystem und bei der Entwicklung neuer Medikamente illustriert. / In this work we consider statistical learning problems. A learning machine aims to extract information from a set of training examples such that it is able to predict the associated label on unseen examples. We consider the case where the resulting classification or regression rule is a combination of simple rules - also called base hypotheses. The so-called boosting algorithms iteratively find a weighted linear combination of base hypotheses that predict well on unseen data. We address the following issues:<br /> <br /> o The statistical learning theory framework for analyzing boosting methods.<br /> We study learning theoretic guarantees on the prediction performance on unseen examples. Recently, large margin classification techniques emerged as a practical result of the theory of generalization, in particular Boosting and Support Vector Machines. A large margin implies a good generalization performance. Hence, we analyze how large the margins in boosting are and find an improved algorithm that is able to generate the maximum margin solution.<br /> <br /> o How can boosting methods be related to mathematical optimization techniques?<br /> To analyze the properties of the resulting classification or regression rule, it is of high importance to understand whether and under which conditions boosting converges. We show that boosting can be used to solve large scale constrained optimization problems, whose solutions are well characterizable. To show this, we relate boosting methods to methods known from mathematical optimization, and derive convergence guarantees for a quite general family of boosting algorithms.<br /> <br /> o How to make Boosting noise robust?<br /> One of the problems of current boosting techniques is that they are sensitive to noise in the training sample. In order to make boosting robust, we transfer the soft margin idea from support vector learning to boosting. We develop theoretically motivated regularized algorithms that exhibit a high noise robustness.<br /> <br /> o How to adapt boosting to regression problems?<br /> Boosting methods are originally designed for classification problems. To extend the boosting idea to regression problems, we use the previous convergence results and relations to semi-infinite programming to design boosting-like algorithms for regression problems. We show that these leveraging algorithms have desirable theoretical and practical properties.<br /> <br /> o Can boosting techniques be useful in practice?<br /> The presented theoretical results are guided by simulation results either to illustrate properties of the proposed algorithms or to show that they work well in practice. We report on successful applications in a non-intrusive power monitoring system, chaotic time series analysis and a drug discovery process. <br><br> ---<br> Anmerkung:<br> Der Autor ist Träger des von der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Fakultät der Universität Potsdam vergebenen Michelson-Preises für die beste Promotion des Jahres 2001/2002.

We consider the problem of maximizing the second smallest eigenvalue of the weighted Laplacian of a (simple) graph over all nonnegative edge weightings with bounded total weight. We generalize this problem by introducing node significances and edge lengths. We give a formulation of this generalized problem as a semidefinite program. The dual program can be equivalently written as embedding problem. This is fifinding an embedding of the n nodes of the graph in n-space so that their barycenter is at the origin, the distance between adjacent nodes is bounded by the respective edge length, and the embedded nodes are spread as much as possible. (The sum of the squared norms is maximized.) We proof the following necessary condition for optimal embeddings. For any separator of the graph at least one of the components fulfills the following property: Each straight-line segment between the origin and an embedded node of the component intersects the convex hull of the embedded nodes of the separator. There exists always an optimal embedding of the graph whose dimension is bounded by the tree-width of the graph plus one. We defifine the rotational dimension of a graph. This is the minimal dimension k such that for all choices of the node significances and edge lengths an optimal embedding of the graph can be found in k-space. The rotational dimension of a graph is a minor monotone graph parameter. We characterize the graphs with rotational dimension up to two.:1 Introduction 1.1 Notations and Preliminaries 1.2 The Algebraic Connectivity 1.3 Two applications 1.4 Outline 2 The Embedding Problem 2.1 Semidefinite formulation 2.2 The dual as geometric embedding problem 2.3 Physical interpretation and examples 2.4 Formulation without fifixed barycenter 3 Geometrical Operations 3.1 Congruent transformations 3.2 Folding a flat halfspace 3.3 Folding and Collapsing 4 Structural properties of optimal embeddings 4.1 Separator-Shadow 4.2 Separators containing the origin 4.3 The tree-width bound 4.4 Application to trees 5 The Rotational Dimension of a graph 5.1 Defifinition and basic properties 5.2 Characterization of graphs with small rotational dimension 5.3 The Colin de Verdi ere graph parameter List of Figures Bibliography Theses

Aktuelle Entwicklungen führen zu komplexeren Produktionssystemen, insbesondere in der variantenreichen Serienfertigung. Als Folge bestehen erhebliche Herausforderungen darin, die technische Kapazität mit strategischem Zeithorizont effizient, transparent und flexibel zu planen. Da zahlreiche Abhängigkeiten berücksichtigt werden müssen, ist in der Praxis festzustellen, dass sich Vollständigkeit und Verständlichkeit der Modelle ausschließen. Zur Lösung dieses Zielkonflikts wird ein softwaregestützter Workflow vorgeschlagen, welcher in der neu entwickelten Software AURELIE realisiert wurde. Der Workflow basiert auf der grafischen Modellierung eines geplanten Systems von Wertströmen, der automatischen Validierung und Transformation des grafischen Modells und der automatischen Optimierung des resultierenden mathematischen Modells. Den Ausgangspunkt bildet ein grafisches Modell, das nicht nur verständlich ist, sondern auch das System in seiner Komplexität vollständig widerspiegelt. Aus Sicht der Forschung liegt der wesentliche Beitrag neben einer formalen Systembeschreibung und dem Aufzeigen der Forschungslücke in der Entwicklung der notwendigen Modelle und Algorithmen. Der Neuheitsgrad ist durch den ganzheitlichen Lösungsansatz gegeben, dessen Umsetzbarkeit durch die Software AURELIE belegt wird. Aus Sicht der Praxis werden die Effizienz, Transparenz und Flexibilität im Planungsprozess signifikant gesteigert. Dies wird durch die weltweite Einführung der Software AURELIE an den Standorten der Bosch Rexroth AG bestätigt.:Vorwort Referat Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Algorithmenverzeichnis 1 Einführung 1.1 Ausgangssituation: Potenziale in der Planung 1.2 Problembeschreibung und Einordnung der Dissertation 1.3 Lösungsansatz: softwaregestützter Workflow 1.4 Forschungsfragen und Aufbau der Arbeit 2 Lösungsvorbereitung: Systemanalyse 2.1 Kontext: strategische Planung technischer Kapazität in der Serienfertigung 2.2 Systemstruktur: rekursive Zusammensetzung von Wertströmen 2.2.1 Prozessschritte, Stückzahlverteilung und Verknüpfungstypen 2.2.2 Prozesse und Wertströme 2.3 Systemschnittstelle: Funktionen der Eingaben und Ausgaben 2.3.1 Materialfluss: Bereitstellung von Komponenten für Produkte 2.3.2 Informationsfluss: Planung der Produktion 2.4 Grundlagen der Kalkulation: einfacher Fall eines Prozessschritts 2.4.1 Taktzeiten, Nutzungsgrad und Betriebsmittelzeit 2.4.2 Kapazität, Auslastung und Investitionen 2.5 Erweiterung der Kalkulation: allgemeiner Fall verknüpfter Prozessschritte 2.5.1 Sequenzielle Verknüpfung Beispiel SQ1 Beispiel SQ2 Beispiel SQ3 2.5.2 Alternative Verknüpfung Beispiel AL1 Beispiel AL2 Beispiel AL3 2.5.3 Selektive Verknüpfung Beispiel SL1 Beispiel SL2 2.6 Anforderungen in Bezug auf die Modellierung und die Optimierung 2.6.1 Kategorisierung möglicher Anforderungen 2.6.2 Formulierung der essenziellen Anforderungen 3 Stand der Technik 3.1 Auswahl zu evaluierender Softwaretypen 3.2 Software zur Erstellung von Tabellenkalkulationen 3.2.1 Beispiel: Microsoft Excel 3.2.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.3 Software zur Materialflusssimulation 3.3.1 Beispiel: Siemens Plant Simulation 3.3.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.4 Software für Supply Chain Management 3.4.1 Beispiel: SAP APO Supply Network Planning 3.4.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.5 Software zur Prozessmodellierung 3.5.1 Beispiel: BPMN mit idealem Interpreter und Optimierer 3.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.6 Fazit: Bedarf nach einer neuen Entwicklung 4 Lösungsschritt I: grafische Modellierung und Modelltransformation 4.1 Kurzeinführung: Graphentheorie und Komplexität 4.1.1 Graphentheorie 4.1.2 Komplexität von Algorithmen 4.2 Modellierung eines Systems durch Wertstromgraphen 4.2.1 Grafische Modellstruktur: Knoten und Kanten 4.2.2 Modellelemente: Quellen, Senken, Ressourcen und Flusspunkte 4.3 Validierung eines grafischen Modells 4.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.3.2 Beschreibung der Algorithmen 4.3.3 Beweis der Zeitkomplexität 4.4 Transformation eines grafischen Modells in ein mathematisches Modell 4.4.1 Mathematische Modellstruktur: Matrizen und Folgen 4.4.2 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.4.3 Beschreibung der Algorithmen 4.4.4 Beweis der Zeitkomplexität 4.5 Umsetzung in der Software AURELIE 4.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 4.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 4.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 5 Lösungsschritt II: mathematische Optimierung 5.1 Kurzeinführung: lineare Optimierung und Korrektheit 5.1.1 Lineare Optimierung 5.1.2 Korrektheit von Algorithmen 5.2 Maximierung der Kapazitäten 5.2.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.2.2 Beschreibung des Algorithmus 5.2.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.3 Minimierung der Investitionen 5.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.3.2 Beschreibung des Algorithmus 5.3.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.4 Optimierung der Auslastung 5.4.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.4.2 Beschreibung des Algorithmus 5.4.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.5 Umsetzung in der Software AURELIE 5.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 5.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 5.5.3 Wesentliche Erweiterungen 5.5.4 Validierung der Optimierungsergebnisse 5.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 6 Schluss 6.1 Zusammenfassung der Ergebnisse 6.2 Implikationen für Forschung und planerische Praxis 6.3 Ausblick: mögliche Weiterentwicklungen A Technische Dokumentation A.1 Algorithmen, Teil I: grafische Modellierung und Modelltransformation A.1.1 Nichtrekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.2 Rekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.3 Nichtrekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.4 Rekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.5 Traversierung der Kanten eines grafischen Modells A.1.6 Validierung eines grafischen Modells A.1.7 Traversierung der Knoten eines grafischen Modells A.1.8 Transformation eines grafischen Modells A.2 Algorithmen, Teil II: mathematische Optimierung A.2.1 Minimierung einer allgemeinen linearen Zielfunktion A.2.2 Maximierung der technischen Kapazitäten A.2.3 Minimierung der Überlastung (Komponenten größer als eins) A.2.4 Optimierung der Auslastung (alle Komponenten) Abkürzungsverzeichnis Symbolverzeichnis Index Literaturverzeichnis / Recent developments lead to increasingly complex production systems, especially in the case of series production with a great number of variants. As a result, considerable challenges exist in planning the technical capacity with strategic time horizon efficiently, transparently and flexibly. Since numerous interdependencies must be considered, it can be observed in practice that completeness and understandability of the models are mutually exclusive. To solve this conflict of objectives, a software-based workflow is proposed, which was implemented in the newly developed software AURELIE. The workflow relies on the graphical modeling of a planned system of value streams, the automated validation and transformation of the graphical model and the automated optimization of the resulting mathematical model. The starting point is a graphical model, which is not only understandable, but also reflects the system completely with respect to its complexity. From a research perspective, the essential contribution, besides a formal system description and the identification of the research gap, lies in the development of the required models and algorithms. The degree of novelty is given by the holistic solution approach, which is proven feasible by the software AURELIE. From a practical perspective, efficiency, transparency and flexibility in the planning process are significantly increased. This is confirmed by the worldwide implementation of the software AURELIE at the locations of Bosch Rexroth AG.:Vorwort Referat Abbildungsverzeichnis Tabellenverzeichnis Algorithmenverzeichnis 1 Einführung 1.1 Ausgangssituation: Potenziale in der Planung 1.2 Problembeschreibung und Einordnung der Dissertation 1.3 Lösungsansatz: softwaregestützter Workflow 1.4 Forschungsfragen und Aufbau der Arbeit 2 Lösungsvorbereitung: Systemanalyse 2.1 Kontext: strategische Planung technischer Kapazität in der Serienfertigung 2.2 Systemstruktur: rekursive Zusammensetzung von Wertströmen 2.2.1 Prozessschritte, Stückzahlverteilung und Verknüpfungstypen 2.2.2 Prozesse und Wertströme 2.3 Systemschnittstelle: Funktionen der Eingaben und Ausgaben 2.3.1 Materialfluss: Bereitstellung von Komponenten für Produkte 2.3.2 Informationsfluss: Planung der Produktion 2.4 Grundlagen der Kalkulation: einfacher Fall eines Prozessschritts 2.4.1 Taktzeiten, Nutzungsgrad und Betriebsmittelzeit 2.4.2 Kapazität, Auslastung und Investitionen 2.5 Erweiterung der Kalkulation: allgemeiner Fall verknüpfter Prozessschritte 2.5.1 Sequenzielle Verknüpfung Beispiel SQ1 Beispiel SQ2 Beispiel SQ3 2.5.2 Alternative Verknüpfung Beispiel AL1 Beispiel AL2 Beispiel AL3 2.5.3 Selektive Verknüpfung Beispiel SL1 Beispiel SL2 2.6 Anforderungen in Bezug auf die Modellierung und die Optimierung 2.6.1 Kategorisierung möglicher Anforderungen 2.6.2 Formulierung der essenziellen Anforderungen 3 Stand der Technik 3.1 Auswahl zu evaluierender Softwaretypen 3.2 Software zur Erstellung von Tabellenkalkulationen 3.2.1 Beispiel: Microsoft Excel 3.2.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.3 Software zur Materialflusssimulation 3.3.1 Beispiel: Siemens Plant Simulation 3.3.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.4 Software für Supply Chain Management 3.4.1 Beispiel: SAP APO Supply Network Planning 3.4.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.5 Software zur Prozessmodellierung 3.5.1 Beispiel: BPMN mit idealem Interpreter und Optimierer 3.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 3.6 Fazit: Bedarf nach einer neuen Entwicklung 4 Lösungsschritt I: grafische Modellierung und Modelltransformation 4.1 Kurzeinführung: Graphentheorie und Komplexität 4.1.1 Graphentheorie 4.1.2 Komplexität von Algorithmen 4.2 Modellierung eines Systems durch Wertstromgraphen 4.2.1 Grafische Modellstruktur: Knoten und Kanten 4.2.2 Modellelemente: Quellen, Senken, Ressourcen und Flusspunkte 4.3 Validierung eines grafischen Modells 4.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.3.2 Beschreibung der Algorithmen 4.3.3 Beweis der Zeitkomplexität 4.4 Transformation eines grafischen Modells in ein mathematisches Modell 4.4.1 Mathematische Modellstruktur: Matrizen und Folgen 4.4.2 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 4.4.3 Beschreibung der Algorithmen 4.4.4 Beweis der Zeitkomplexität 4.5 Umsetzung in der Software AURELIE 4.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 4.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 4.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 5 Lösungsschritt II: mathematische Optimierung 5.1 Kurzeinführung: lineare Optimierung und Korrektheit 5.1.1 Lineare Optimierung 5.1.2 Korrektheit von Algorithmen 5.2 Maximierung der Kapazitäten 5.2.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.2.2 Beschreibung des Algorithmus 5.2.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.3 Minimierung der Investitionen 5.3.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.3.2 Beschreibung des Algorithmus 5.3.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.4 Optimierung der Auslastung 5.4.1 Ziel, Grundidee und Datenstrukturen 5.4.2 Beschreibung des Algorithmus 5.4.3 Beweis der Korrektheit und Zeitkomplexität 5.5 Umsetzung in der Software AURELIE 5.5.1 Funktionsübersicht und Benutzerführung 5.5.2 Erfüllungsgrad der Anforderungen 5.5.3 Wesentliche Erweiterungen 5.5.4 Validierung der Optimierungsergebnisse 5.6 Fazit: Erreichen des vorgegebenen Entwicklungsziels 6 Schluss 6.1 Zusammenfassung der Ergebnisse 6.2 Implikationen für Forschung und planerische Praxis 6.3 Ausblick: mögliche Weiterentwicklungen A Technische Dokumentation A.1 Algorithmen, Teil I: grafische Modellierung und Modelltransformation A.1.1 Nichtrekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.2 Rekursive Breitensuche von Knoten in einem Graphen A.1.3 Nichtrekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.4 Rekursive Tiefensuche von Knoten in einem Graphen A.1.5 Traversierung der Kanten eines grafischen Modells A.1.6 Validierung eines grafischen Modells A.1.7 Traversierung der Knoten eines grafischen Modells A.1.8 Transformation eines grafischen Modells A.2 Algorithmen, Teil II: mathematische Optimierung A.2.1 Minimierung einer allgemeinen linearen Zielfunktion A.2.2 Maximierung der technischen Kapazitäten A.2.3 Minimierung der Überlastung (Komponenten größer als eins) A.2.4 Optimierung der Auslastung (alle Komponenten) Abkürzungsverzeichnis Symbolverzeichnis Index Literaturverzeichnis