Dans cette thèse nous développons de nouveaux algorithmes de calcul numérique pour les matrices polynomiales. Nous abordons le problème du calcul de la structure propre (rang, espace nul, structures finie et infinie) d'une matrice polynomiale et nous appliquons les résultats obtenus au calcul de la factorisation J-spectrale des matrices polynomiales. Nous présentons également quelques applications de ces algorithmes en théorie de la commande. Tous les nouveaux algorithmes décrits ici sont basés sur le calcul d'espaces nuls constants de matrices bloc Toeplitz associées à la matrice polynomiale analysée. Pour calculer ces espaces nuls nous utilisons des méthodes standard de l'algèbre linéaire numérique comme la décomposition en valeurs singulières ou la factorisation QR. Nous étudions aussi l'application de méthodes rapides comme la méthode généralisée de Schur pour les matrices structurées. Nous analysons les algorithmes présentés au niveau complexité algorithmique et stabilité numérique, et effectuons des comparaisons avec d'autres algorithmes existants dans la littérature.

Dans ce mémoire, nous nous focaliserons sur un type de matrices particulier : les matrices polynomiales de Laurent, dont les éléments sont des polynômes de Laurent, c'est à dire des polynômes avec des puissances positives et négatives de la variable $z$. Ce type de polynômes ne peut être associé à un filtre causal mais il se rencontre notamment lorsqu'on étudie le spectre de signaux à temps discret en sortie de filtre à réponse impulsionnelle finie. Nous commencerons par présenter les propriétés des polynômes de Laurent, puis des matrices polynomiales de Laurent. Nous définirons notamment la L-forme de Smith qui est une extension de la forme de Smith classique, et donnerons une définition précise du degré et l'ordre de ces matrices (notions parfois confondues dans la littérature). Nous étudierons plus particulièrement les matrices para-hermitiennes et para-unitaires qui sont des matrices respectivement égales à leur matrice para-conjuguée ou dont l'inverse est égale à la para-conjuguée. Nous nous attacherons à développer leurs propriétés particulières en terme de degré notamment, et de factorisation. Lors de l'étude des systèmes et en traitement du signal, de nombreuses factorisations de matrices à coefficients constants interviennent: factorisations QR (à l'aide d'une matrice orthogonale et d'une matrice triangulaire), LU (à l'aide de deux matrices triangulaires: une inférieure et une supérieure), SVD (décompositions en valeurs singulières à l'aide de deux matrices unitaires), EVD (décompositions en valeurs propres-vecteurs propres). En particulier, le théorème spectral montre que toute matrice hermitienne est diagonalisable à l'aide d'une matrice unitaire, c'est-à-dire que les matrices intervenant dans l'EVD sont des matrices unitaires. La factorisation de Cholesky d'une matrice hermitienne définie positive se fait quant à elle à l'aide d'une matrice triangulaire et de sa transposée conjuguée. Ces factorisations ne peuvent pas s'étendre simplement aux matrices polynomiales car les coefficients de ces matrices n'appartiennent pas à un corps mais à un anneau (celui des polynômes de Laurent). De plus, certaines propriétés, comme par exemple la positivité, ne peuvent s'entendre que sur le cercle unité. Nous montrerons que dans le cas général, une décomposition EVD dont tous les termes sont polynomiaux pour une matrice para-hermitienne définie positive sur le cercle unité n'existe pas, mais qu'on peut presque-diagonaliser ces matrices à l'aide de matrices para-unitaires continues sur le cercle unité. Enfin, nous montrerons quel rôle jouent les factorisations des matrices para-unitaires dans l'égalisation aveugle de systèmes convolutifs multivariables.