Η υστέρηση είναι ένα μη γραμμικό φαινόμενο, το οποίο είναι πολύ κοινό σε διάφορους κλάδους της επιστήμης, συμπεριλαμβανομένων της φυσικής, της μηχανικής και της βιολογίας. Η μαθηματική θεμελίωση του φαινομένου της υστέρησης οφείλεται σε διάφορες εφαρμογές, οι οποίες αποτελούν και τα πρακτικά παραδείγματα, τα οποία την υποστηρίζουν. Για το λόγο αυτόν πλήθος μοντέλων, τα οποία πήραν την ονομασία τους από τους επιστήμονες που τα πρότειναν (π.χ Duhem, Weiss, Preisach κ.ο.κ), πρώτα χρησιμοποιήθηκαν για συγκεκριμένες εφαρμογές και μετά θεωρήθηκαν ως μοντέλα υστέρησης. Το φαινόμενο της υστέρησης, όπως και η μαθηματική του ανάλυση, έχει μελετηθεί διεξοδικά [1,2] και για το λόγο αυτό έχουν προταθεί αρκετά μαθηματικά εργαλεία. Εντούτοις, το πρόβλημα της αναγνώρισης (επίτευξη μαθηματικών μοντέλων επί τη βάση πειραματικών μετρήσεων) συστημάτων με υστέρηση δεν έχει λάβει τη δέουσα προσοχή ακόμα. Στις περισσότερες των περιπτώσεων, η αναγνώριση περιορίζεται σε πρακτικά ζητήματα (κυρίως για προσομοιώσεις συστημάτων με υστέρηση), κατά τα οποία επιλέγεται ένα συγκεκριμένο μοντέλο υστέρησης και χρησιμοποιείται μία μέθοδος εκτίμησης (π.χ μη-γραμμική βελτιστοποίηση), δίχως να δαπανάται επιπλέον προσπάθεια σε βαθύτερα θεωρητικά θέματα (π.χ κατά πόσο η εκτίμηση είναι η βέλτιστη ή αν είναι μοναδική κ.ο.κ). Αξίζει να σημειωθεί ότι το πρόβλημα της αναγνώρισης είναι βαθύτερο και χρήζει επιπλέον θεωρητικής ανάλυσης βάσει αρχών και εργαλείων από το γνωστικό αντικείμενο της “Θεωρίας Αναγνώρισης Συστημάτων”, έτσι ώστε να επιτυγχάνονται τα βέλτιστα αποτελέσματα. O πρώτος στόχος της παρούσα διατριβής είναι η ανάπτυξη μεθοδολογίας ανίχνευσης μη γραμμικής συμπεριφοράς (όπως για παράδειγμα η υστέρηση) αποκλειστικά επί τη βάση πειραματικών μετρήσεων. Η βασική ιδέα για την επίτευξη του σκοπού αυτού είναι η χρήση της Συνάρτησης Συνάφειας (Coherence Function), η οποία αναμένεται να μειωθεί με την ύπαρξη μη γραμμικοτήτων [3]. Μετά την ανίχνευση, ο στόχος είναι η ανάπτυξη ολοκληρωμένης μεθοδολογίας για την αναγνώριση φυσικών συστημάτων με υστέρηση, βάσει του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell (Maxwell Slip model – [4]). Ο συγκεκριμένος στόχος αντιμετωπίζεται υπό το πρίσμα της θεωρίας αναγνώρισης συστημάτων (System Identification) και ως εκ τούτου τα βασικά θέματα θεωρητικής φύσεως τα οποία αντιμετωπίζονται είναι, τα ακόλουθα:  Η εκ των προτέρων αναγνωρισιμότητα (μοναδικότητα της παραμετροποίησης – uniqueness of representation) της δομής του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.  Η επίδραση των αρχικών καταστάσεων στην εκτίμηση του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.  Ο σχεδιασμός της διεγέρσεως έτσι ώστε τα διαθέσιμα δεδομένα να περιέχουν όλη τη δυνατή πληροφορία για την επιτυχή αναγνώριση του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.  H επιλογή και η αριθμητική εφαρμογή κατάλληλης εκτιμήτριας των παραμέτρων του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.  Η μελέτη της εκ των υστέρων αναγνωρισιμότητας (a posteriori identifiability) του Μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.  Η μελέτη της ποιότητας της εκτίμησης του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell, το οποίο συνεπάγεται την μελέτη της συνέπειας (consistency) και της ασυμπτωτικής κανονικότητας των εκτιμήσεων (asymptotic normality).  Η διαδικασία επιλογής της δομής (model structure selection) του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell.  Ο έλεγχος εγκυρότητας (model validation) του εκτιμώμενου μοντέλου ολίσθησης του Maxwell. Επί τη βάση των παραπάνω βασικών θεμάτων, αναπτύσσονται κατάλληλα εργαλεία και λεπτομερείς διαδικασίες με σκοπό να δοθούν απαντήσεις. Προκειμένου να φανερωθεί η πρακτικότητα και εφαρμοσιμότητα των προαναφερθέντων θεωρητικών θεμάτων, είναι αναγκαία η εφαρμογή τους σε ένα πραγματικό σύστημα με υστέρηση. Από το πλήθος των διαθέσιμων συστημάτων αυτού του είδους, επιλέγεται ένα πραγματικό μηχανικό σύστημα με τριβή. Αξίζει να σημειωθεί ότι συστήματα αυτού του είδους όχι μόνο είναι πολύ κοινά σε μηχανολογικές εφαρμογές, άλλα η αναγνώριση τους αποτελεί πρόκληση, λόγω της πολύπλοκης φύσης της υστέρησης που παρουσιάζουν. Συγκεκριμένα τα εν λόγω συστήματα παρουσιάζουν διαφορετικό είδος υστέρησης ανάλογα με την περιοχή λειτουργίας τους. Έτσι, όταν λειτουργούν στην περιοχή προολίσθησης (δεν παρουσιάζεται μακροσκοπική κίνηση, η σχετική μετατόπισης μεταξύ των επιφανειών που έρχονται σε επαφή είναι της τάξεως των 2 - 5 μm (presliding regime [5]) εμφανίζεται υστέρηση (σχεδόν) ανεξάρτητη του ρυθμού, με χαρακτηριστικά μακράς μνήμης (hysteresis with nonlocal memory) μεταξύ της (μικρο)μετατόπισης και της δύναμης τριβής [6,7,8]. Όσο η σχετική μετατόπιση των επιφανειών που έρχονται σε επαφή αυξάνεται, τότε όλο και περισσότεροι δεσμοί (junctions) σπάνε και τελικά παρατηρείται μακροσκοπική μετατόπιση με αποτέλεσμα το σύστημα να εισέρχεται στην περιοχή ολίσθησης (sliding regime). Στην περιοχή αυτή, ο προηγούμενος τύπος της υστέρησης εξαφανίζεται και εμφανίζεται υστέρηση, μεταξύ της μετατόπισης και της δύναμης τριβής, ρυθμού εξαρτώμενης [8,9,4]. Αξίζει να σημειωθεί ότι ένα σύστημα με τριβή μεταβαίνει από την μια περιοχή λειτουργίας στην άλλη (π.χ κατά την αλλαγή στη φορά της κίνησης) αρκετές φορές ακόμα και κατά την τυπική του λειτουργία. Το γεγονός αυτό καταδεικνύει τη δυσκολία του προβλήματος. Προκειμένου να επιλυθεί το πρόβλημα της αναγνώρισης μηχανικών συστημάτων με τριβή, αρχικά μελετάται το σύστημα μόνο στην περιοχή προολίσθησης. Για το λόγο αυτό διεξάγονται κατάλληλα πειράματα στην περιοχή αυτή, μετρώνται τα σήματα της μετατόπισης και της τριβής προολίσθησης και εφαρμόζεται αναγνώριση του συστήματος επί τη βάση του Μοντέλου ολίσθησης του Maxwell. Η εφαρμογή της προτεινόμενης μεθοδολογίας οδηγεί σε σχεδόν άψογα αποτελέσματα, καταδεικνύοντας την ικανότητα του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell να περιγράφει τη δυναμική του συστήματος στην περιοχή προολίσθησης. Αφού μελετήθηκε το σύστημα εντός της περιοχής προολίσθησης, το επόμενο βήμα περιλαμβάνει τη γενικότερη (και πιο πιθανή) περίπτωση, κατά την οποία το σύστημα λειτουργεί στη συνδυασμένη περιοχή προολίσθησης - ολίσθησης. Όπως και πριν, διεξάγονται πειράματα και μετρώνται τα σήματα μετατόπισης και τριβής. Αν και η αναγνώριση του συστήματος, μέσω του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell στη συνδυασμένη περιοχή, δίνει χειρότερα συγκρινόμενα με τα προηγούμενα, αποτελέσματα, η χρήση του μοντέλου παρουσιάζεται αρκετά υποσχόμενη. Το γεγονός ότι η αναγνώριση, μέσω του μοντέλου ολίσθησης του Maxwell, στη συνδυασμένη περιοχή προολίσθησης - ολίσθησης οδηγεί σε χειρότερα αποτελέσματα οφείλεται στο ότι η εν λόγω δομή του μοντέλου δεν είναι σε θέση να ερμηνεύσει πλήρως την πολυπλοκότητα της υστέρησης που εμφανίζεται στην περίπτωση αυτή. Έτσι, κρίνεται απαραίτητη η κατάλληλη επέκταση της βασικής δομής. Για το λόγο αυτό προτείνεται κατάλληλη, επί τη βάση της βασική δομής, επέκταση. Η χρήση της νέας δομής του μοντέλου για την αναγνώριση του συστήματος στη συνδυασμένη περιοχή προολίσθησης - ολίσθησης οδηγεί σε εξαιρετική βελτίωση των αποτελεσμάτων, καταδεικνύοντας την καταλληλότητά της. Προκειμένου οι δυνατότητες της νέας δομής να παρουσιαστούν καλύτερα, αναπτύσσεται ένα απλό σύστημα ελέγχου πρόσω-αντιστάθμισης (feedforward), βασισμένο στην προτεινόμενη νέα δομή. Ο παραπάνω έλεγχος έχει ως αποτέλεσμα την επίτευξη εξαιρετικά χαμηλού σφάλματος εντοπισμού (tracking error), υποδεικνύοντας την εξαιρετική αντιστάθμιση της αναπτυσσόμενης τριβής και ως εκ τούτου την ικανότητα της προτεινόμενης δομής να ερμηνεύει τη δυναμική του συστήματος με τριβή, όταν αυτό δουλεύει στην συνδυασμένη περιοχή προολίσθησης - ολίσθησης. / Hysteresis is a nonlinear phenomenon which is common in various branches of science and technology, including physics, mechanics, biology, civil and mechanical engineering. It is well known that many applications stimulate and provide lively support to mathematical construction. For instance, several well - known models which named after the physicists and engineers who proposed them (Rayleigh, Duhem, Weiss, Prandtly, Preisach, Bouc and so on) was entangled with applications before being viewed as models of hysteresis. The study of hysteresis phenomena as well as their mathematical analysis have been systematically researched [1,2] and several mathematical modelling tools have been proposed. Nevertheless the problem of inverse modelling (that is identifying from available experimental data a model that provides the optimum representation of the system under study) of a system with hysteresis have not been investigated thoroughly. In the most of the cases the hysteresis identification is often limited to practical issues such that postulating a hysteresis model and applying an estimation technique (i.e. nonlinear optimization) for obtaining its parameters. However the problem is much deeper and a more theoretical analysis, employing principles and tools from the "System Identification Theory", should be applied in order the optimum results to be obtained. The dissertation aims at proposing a methodology for detecting nonlinearities (such as hysteresis) utilizing experimentally obtained excitation - response data only. The key feature for doing so is the Coherence Function, which is expected to be decreased with the appearance of nonlinear behavior [3]. Following this a complete methodology for identifying systems with hysteresis based upon the Maxwell Slip model [4] is established. This problem is addressed from the ``System Identification" point of view, and therefore the critical issues primarily addressed here are:  The a priori identifiability (or uniqueness of representation) of the Maxwell Slip model structure.  The excitation design for achieving ``rich" enough data for the Maxwell Slip model identification purpose.  The selection and numerical implementation of an estimator  The a posteriori identifiability (whether the model can be identified from a actual experiment under real conditions) of the Maxwell Slip model.  The estimator asymptotic statistical properties, such that consistency and asymptotic normality  The model structure selection  The model validation Based upon these questions, answers are provided and detailed guidelines are established. In order the established theoretical findings to be solidify and their practicality to be revealed, their application to an actual system with hysteresis is required. From the huge number of the available systems with hysteresis, a real (experimental) mechanical system with friction is selected. This kind of systems are not only quite common in mechanical engineering applications (friction perhaps is the most common source of nonlinearities in mechanical systems), but also extremely challenging due to its complicated hysteresis nature (different types of hysteresis appear according to the operational regime). In order the latter to be more clear consider that whenever a system with friction operates within presliding regime (no macroscopic movement between the two surface in contact - the relative displacement is approximately 2 – 5 μm for steel materials [5], then there is a (almost) rate-independent hysteresis with nonlocal memory between the displacement and friction force [6,7,4]. As the relative displacement increases then more and more junctions break and finally there is a macroscopic relative motion and therefore the sliding regime begins. In this case the previous type of hysteresis disappears, and a new rate-dependent hysteresis between the displacement and friction force appears [8,9,4]. However, the system transits from the one regime to the other, (i.e at velocity reversals) several time during its typical operation, thus the type of hysteresis appears depends on the operational regime and thus to the system motion. Unavoidably this makes the identification problem quite challenging. Firstly the system under study is considered within the presliding regime only. Experiments were carried out and actual presliding displacement - friction force signals were obtained. The application of the proposed methodology yields almost excellent results, indicating its ability of capturing the underlying presliding frictional dynamics. The obvious next step is to consider the most common case, which is operation within both presliding - sliding dynamics. Experiments were implemented and displacement - friction force signals were collected. In this case the identification results based upon the Maxwell Slip model, though not so good as before, appear to be very promising. For that reason a proper extension of the basic Maxwell Slip model structure is proposed and implemented. This modification yields to significant improvement, and excellent results are achieved. In order the potentiality of the proposed extended Maxwell Slip model to be demonstrated better, a simple feedforward friction compensation scheme, based upon the extended model, is implemented. The results demonstrate excellent friction compensation, yielding extremely low tracking error, not only in each operational regime but also during regime transitions.

n recent years, there has been a surge in interest and research into the utilisation of soft actuators within the field of robotics, driven by the novel capabilities of their inherently compliant material. One such actuator is the Pneumatic Artificial Muscle (PAM) which offers a high power-to-mass ratio, compliance, safety, and biological mimicry when compared to their traditional counterparts. However, because of their flexible and complex physical structure and the compressibility of air inside the PAM, they exhibit nonlinear dynamic behaviour, largely due to the influence of the hysteresis phenomenon. In order to implement strategies to counteract this effect, it first needs to be modelled. As such, this thesis investigates two approaches, namely the Maxwell-Slip (MS) and generalised Bouc-Wen (BW) models. Firstly, the test muscle's initial braid angle, maximum displacement, and maximum force are determined to establish the static force using a modified model. Data is then collected on the PAM's force-displacement hysteresis for 2-6 bar of pressure. Using the results from these experiments, the MS and BW model parameters are identified through optimisation. With the static and hysteresis force components characterised, two complete dynamic models are created. The findings show that, when compared to the collected force-displacement data, the BW model has greater accuracy for all pressures except at 4 bar, although both approaches demonstrate results within a satisfactory margin. Lastly, a model validation is conducted to compare the models using a new dataset, separate from the one on which they were trained. Data for this test is recorded at a pressure of 4 bar with a more complex reference that covers four different regions of the muscle's displacement range. Thereafter, both dynamic models are applied to assess their performance. It is evident from the results that the BW model produces a better outcome than the MS, achieving a normalised error of 5.3746% as compared to the latter's 12.835%. The higher accuracy of the generalised BoucWen method is likely due to it having a more complex structure, specialised parameters, and the ability to model asymmetric hysteresis. The Maxwell-Slip model may however still be preferable in some applications due to its relative simplicity and faster optimisation. / Under de senaste åren har intresset och forskningen ökat kring användningen av mjuka ställdon inom robotik, drivet av den innovativa potentialen som erbjuds av egenskaperna hos deras naturligt flexibla material. Ett sådant ställdon är den Pneumatiska Artificiella Muskeln (PAM) som erbjuder hög kraft i förhållande till vikten, elasticitet, säkerhet och biologisk imitation jämfört med dess traditionella motsvarigheter. Trots dessa fördelar så uppvisar PAM:s ett icke-önskvärt olinjärt dynamiskt beteende, till stor del på grund av deras flexibla och komplexa fysiska struktur samt kompressibiliteten av luft inuti PAM:en. Dessa olinjäriteter orsakar hysteresfenomenet i muskeln. För att implementera strategier för att kunna motverka denna effekt så måste den först modelleras. Till följd därav så undersöker denna avhandling två tillvägagångssätt, nämligen Maxwell-Slip (MS) och den generaliserade Bouc-Wen (BW) modellen. Inledningsvis identifieras testmuskelns initiala flätvinkel, maximala förskjutning och maximala kraft för att fastställa den statiska kraften med hjälp av en modifierad modell. Data samlas sedan in på PAM:ens kraft-förskjutningshysteres för 2-6 bar av tryck. Med hjälp av resultaten från dessa experiment identifieras MS- och BW-modellparametrarna genom optimering. Med de statiska och hystereskraftskomponenterna karakteriserade kan två kompletta dynamiska modeller framkallas. Resultaten visar att jämfört med den insamlade kraft-förskjutningsdatan har BW-modellen en större noggrannhet för alla tryck förutom vid 4 bar, men båda metoderna uppvisar resultat som är inom en godtagbar marginal. Slutligen genomförs en modellvalidering för att jämföra modellerna med hjälp av ett nytt dataset, annorlunda från den som de tränades på. Datan för detta test mäts vid ett tryck på 4 bar med en mer komplex referens som täcker fyra olika regioner av muskelns förskjutningsområde. Därefter tillämpas båda dynamiska modellerna för att bedöma deras prestanda. Det är uppenbart från resultaten att BW-modellen ger ett bättre resultat än MS-modellen, och uppnår ett normaliserat fel på 5,3746% jämfört med den sistnämndas 12,835%. Den högre noggrannheten hos den generaliserade Bouc-Wen-metoden beror sannolikt på att den har en mer komplex struktur, specialiserade parametrar och förmågan att modellera asymmetrisk hysteres. Maxwell-Slipmodellen kan däremot ändå vara att föredra i vissa sammanhang på grund av dess relativa simplicitet och snabbare optimering