Neste trabalho introduzimos e estudamos um modelo estocástico de gás de rede para descrever a evolução de um sistema de partículas interagentes que representam duas espécies: presas e predadores. As presas se reproduzem autocataliticamente ocupando sítios vazios de uma rede. Os predadores também se reproduzem autocataliticamente mas às expensas das presas, e morrem via aniquilação espontânea. As regras locais e irreversíveis do modelo, de dois parâmetros, são inspiradas no modelo de Lotka-Volterra e no processo de contato. No regime estacionário o modelo apresenta três fases. A primeira corresponde a um estado absorvente em que as presas cobrem toda a rede. A segunda é caracterizada por valores médios não nulos das densidades de cada espécie. Á medida que variamos os parâmetros dentro dessa fase surgem oscilações locais nas densidades. A segunda fase está separada da primeira através de uma linha de transição de fases cinética contínua. Essa linha crítica encontra-se na classe de universalidade da percolação dirigida em d+1 dimensões, com exceção de um ponto terminal que pertence à classe de universalidade da percolação ordinária. A terceira fase corresponde a um outro estado absorvente em que as duas espécies foram exterminadas. A transição da segunda para a terceira fase é contínua e também pertence à classe de universalidade da percolação dirigida em d+1 dimensões. Os resultados foram obtidos por meio de simulações computacionais bem como através de métodos analíticos aproximados / In this work, we introduce and study a stochastic lattice gas model for the evolution of an interacting particle system describing two species: prey and predators. Prey undergo autocatalytic reproduction on empty sites of a lattice. Predators also reproduce autocatalytically at the expense of prey, as well as suffer spontaneous annihilations. The irreversible local rules of the model, involving two parameters, are inspired both in the Lotka-Volterra model and the contact process. In the stationary regime, the model shows three phases. The first one is associated to an absorbing state in which the lattice is completely covered by prey. The second one is characterized by finite values of the density of each species. As we tune the parameters values inside that phase, local oscillations in the population densities start to appear. The second phase is reached from the first one through a line of continuous kinetic phase transitions. The line belongs to the universality class of directed percolation in d+1 dimensions, except for its terminal point, which belongs to the universality class of ordinary percolation. The third phase corresponds to another absorbing state completely devoided of particles. The transition from the second to the third phase is continuous and also belongs to universality class of directed percolation in d+1 dimensions. The model has been studied by means of computer simulations as well as by using approximate analytical technics.

Neste trabalho consideramos três modelos de Ising com competição: que é gerada por acoplamentos dinâmicos de caráter antagônicos, pela própria geometria da rede subjacente ou através de interações de periodicidades uniaxiais competitivas e elementos de desordem. O primeiro modelo, no qual as técnicas de mecânica estatística de equilíbrio não se aplicam, consiste numa rede neural atratora completamente conectada com acoplamentos assimétricos armazenando p = 2 padrões, cuja evolução temporal pode ser descrita (no caso de atualização síncrona) por um mapeamento dissipativo bidimensional. O segundo modelo se refere ao problema clássico do antiferromagneto de Ising na rede triangular na presença de um campo magnético uniforme, investigado através de diversas aproximações - em particular, através de uma aproximação de Bethe-Peierls considerando três sub-redes interpenetrantes equivalentes. O terceiro modelo, introduzido para investigar o efeito de uma desordem congelada em um sistema magnético modulado, é definido pelo modelo ANNNI em um campo aleatório. Inicialmente consideramos um análogo deste modelo na árvore de Cayley, no limite de coordenação infinita, que pode ser formulado em termos de um mapeamento dissipativo bidimensional. A seguir, consideramos uma versão de campo médio em uma rede cúbica simples. que permite uma análise das superfícies de transição de primeira ordem e das linhas tricriticas. / In this work we consider three Ising models with competition: which is generated by dynamical couplings of antagonistic character, by the geometry of the underlying lattice, or by interactions of competitive uniaxial periodicities and disorder elements. The first model, for which equilibrium statistical mechanics techniques do not apply, consists in a fully connected attractor neural network storing p = 2 patterns, whose temporal evolution can be described (in the case of synchronous updating) by a two-dimensional dissipative mapping. The second model refers to the classic problem of the Ising antiferromagnet on the triangular lattice in the presence of a uniform magnetic field, which is investigated by various approximations - in particular, by a Bethe-Peierls approximation considering three interpenetrating equivalent sublattices. The third model, introduced to investigate the effects of quenched disorder in a modulated magnetic system, is defined by the ANNNI model in a random field. Initially we consider an analogous of this model on a Cayley tree, in the infinite-coordination limit, which can be formulated in terms of a two-dimensional dissipative mapping. Next, we consider a mean-field version on a simple cubic lattice, which allows for an analysis of the first-order transition surfaces and tricritical lines.

Estudamos vários modelos de polímeros (Caminhadas auto- e mutuamente excludentes sobre redes) que apresentam pontos tricríticos em seus diagramas de fases. Concentramos a nossa atenção nos problemas de polímeros com interações atrativas, nos quais o ponto tricrítico é conhecido como ponto H na literatura, e de polímeros na presença de diluição recozida. Analisamos o comportamento termodinâmico desses modelos na rede de Bethe e em gaxetas de Sierpinski bi- e tridimensionais, bem como na rede quadrada. Nas redes de Bethe e fractais foi possível obter soluções exatas. Já na rede quadrada empregamos métodos baseados na teoria de escala para sistemas finitos através do cálculo da matriz de transferência. Enfatizamos o estudo dos pontos tricríticos, dando particular atenção ao cálculo de seus expoentes nas redes fractais e quadrada. Na rede de Bethe, onde os expoentes são clássicos, foi possível estudar em detalhe o diagrama de fases do modelo com diluição e interações atrativas. / We study several polymer models (self- and mutually avoiding walks on lattices) which display tricritical points in their phase diagrams. We concentrated our attention on the problems of polymers with attrative interactions, where the tricritical point is known as H point in the literature, and of polymers in the presence of annealed dilution. We considered the thermodynamic behavior of these models on the Bethe lattice, on the two- and three-dimentional Sierpinski gaskets, and on the square lattice. On the Bethe and the Sierpinski gaskets an exact solution could be obtained. On the square lattice we used finite size scaling methods together with transfer matrix calculations. We stressed the study of the tricritical points, paying particular attention to the calculation of their exponents on the fractal and the square lattice. On the Bethe lattice, where the exponents are classical, it was possible to study in detail the phase diagram of the model with dilution and attractive interactions.

Apresentamos uma versão hierárquica do modelo de Ising para mostrar a equivalência entre os modelos ferromagnético em campo aleatório e antiferromagnético diluído em campo uniforme. A equivalência está baseada no fato de que transformações do grupo de renormalização quando aplicadas ao modelo antiferromagnético diluído produzam, como efeito combinado do campo externo e da diluição. um campo externo aleatório na nova escala. Verificamos também que quando não se leva em conta contornos dentro de contornos os modelos analisados apresentam transição de fase para dimensão d maior ou igual a dois. O método usado foi a combinação dos argumentos de Peierls, Imry e Ma as transformações da Teoria do Grupo de Renormalização que na versão hierárquica tornam-se um processo exato. / We are presenting a hierarchical version of Ising modal to show an equivalence between the ferromagnetic model in a random magnetic field and dilute antiferromagnetic modal in a uniform magnetic field. The equivalence is based on the fact that a dilute antiferromagnetic in a uniform magnetic field generates under a renormalization group transformation a random magnetic field. We also verify that when we do not take into account contours inside contours the models analyzed show phase transition for dimension d greater than or equal to two. The method used consist of combination of Peierls, Imry and Ma arguments and the Renormalization Group Transformation, which in the hierarchical approach becomes an exact process.

Neste trabalho introduzimos e estudamos um modelo estocástico de gás de rede para descrever a evolução de um sistema de partículas interagentes que representam duas espécies: presas e predadores. As presas se reproduzem autocataliticamente ocupando sítios vazios de uma rede. Os predadores também se reproduzem autocataliticamente mas às expensas das presas, e morrem via aniquilação espontânea. As regras locais e irreversíveis do modelo, de dois parâmetros, são inspiradas no modelo de Lotka-Volterra e no processo de contato. No regime estacionário o modelo apresenta três fases. A primeira corresponde a um estado absorvente em que as presas cobrem toda a rede. A segunda é caracterizada por valores médios não nulos das densidades de cada espécie. Á medida que variamos os parâmetros dentro dessa fase surgem oscilações locais nas densidades. A segunda fase está separada da primeira através de uma linha de transição de fases cinética contínua. Essa linha crítica encontra-se na classe de universalidade da percolação dirigida em d+1 dimensões, com exceção de um ponto terminal que pertence à classe de universalidade da percolação ordinária. A terceira fase corresponde a um outro estado absorvente em que as duas espécies foram exterminadas. A transição da segunda para a terceira fase é contínua e também pertence à classe de universalidade da percolação dirigida em d+1 dimensões. Os resultados foram obtidos por meio de simulações computacionais bem como através de métodos analíticos aproximados / In this work, we introduce and study a stochastic lattice gas model for the evolution of an interacting particle system describing two species: prey and predators. Prey undergo autocatalytic reproduction on empty sites of a lattice. Predators also reproduce autocatalytically at the expense of prey, as well as suffer spontaneous annihilations. The irreversible local rules of the model, involving two parameters, are inspired both in the Lotka-Volterra model and the contact process. In the stationary regime, the model shows three phases. The first one is associated to an absorbing state in which the lattice is completely covered by prey. The second one is characterized by finite values of the density of each species. As we tune the parameters values inside that phase, local oscillations in the population densities start to appear. The second phase is reached from the first one through a line of continuous kinetic phase transitions. The line belongs to the universality class of directed percolation in d+1 dimensions, except for its terminal point, which belongs to the universality class of ordinary percolation. The third phase corresponds to another absorbing state completely devoided of particles. The transition from the second to the third phase is continuous and also belongs to universality class of directed percolation in d+1 dimensions. The model has been studied by means of computer simulations as well as by using approximate analytical technics.

Neste trabalho consideramos três modelos de Ising com competição: que é gerada por acoplamentos dinâmicos de caráter antagônicos, pela própria geometria da rede subjacente ou através de interações de periodicidades uniaxiais competitivas e elementos de desordem. O primeiro modelo, no qual as técnicas de mecânica estatística de equilíbrio não se aplicam, consiste numa rede neural atratora completamente conectada com acoplamentos assimétricos armazenando p = 2 padrões, cuja evolução temporal pode ser descrita (no caso de atualização síncrona) por um mapeamento dissipativo bidimensional. O segundo modelo se refere ao problema clássico do antiferromagneto de Ising na rede triangular na presença de um campo magnético uniforme, investigado através de diversas aproximações - em particular, através de uma aproximação de Bethe-Peierls considerando três sub-redes interpenetrantes equivalentes. O terceiro modelo, introduzido para investigar o efeito de uma desordem congelada em um sistema magnético modulado, é definido pelo modelo ANNNI em um campo aleatório. Inicialmente consideramos um análogo deste modelo na árvore de Cayley, no limite de coordenação infinita, que pode ser formulado em termos de um mapeamento dissipativo bidimensional. A seguir, consideramos uma versão de campo médio em uma rede cúbica simples. que permite uma análise das superfícies de transição de primeira ordem e das linhas tricriticas. / In this work we consider three Ising models with competition: which is generated by dynamical couplings of antagonistic character, by the geometry of the underlying lattice, or by interactions of competitive uniaxial periodicities and disorder elements. The first model, for which equilibrium statistical mechanics techniques do not apply, consists in a fully connected attractor neural network storing p = 2 patterns, whose temporal evolution can be described (in the case of synchronous updating) by a two-dimensional dissipative mapping. The second model refers to the classic problem of the Ising antiferromagnet on the triangular lattice in the presence of a uniform magnetic field, which is investigated by various approximations - in particular, by a Bethe-Peierls approximation considering three interpenetrating equivalent sublattices. The third model, introduced to investigate the effects of quenched disorder in a modulated magnetic system, is defined by the ANNNI model in a random field. Initially we consider an analogous of this model on a Cayley tree, in the infinite-coordination limit, which can be formulated in terms of a two-dimensional dissipative mapping. Next, we consider a mean-field version on a simple cubic lattice, which allows for an analysis of the first-order transition surfaces and tricritical lines.

Neste trabalho nós investigamos as relações existentes entre a Variação de Dimensão Instável(Unstable Dimension Variability - UDV) e a dimensão do espaço de fases de uma rede de mapas acoplados com acoplamento difuso. damos suporte teórico e evidências numéricas para a afirmação de que a partir de certo valor fixo da dimensão não há presença de UDV.

Esta dissertação apresenta uma revisão sobre canais iônicos com respeito aos seus aspectos biofísicos e sobre alguns modelos matemáticos utilizados em sua análise. As abordagens dividem-se em duas classes: uma em que é possível realizar análises exatas e outra mais apropriada à análise numérica. Será revista a solução da equação de Poisson em coordenandas toroidais, que fornece uma expressão para o potencial elétrico na região do canal. Uma outra abordagem estudada utiliza os ensembles da mecânica estatística de equilíbrio para determinar a forma do potencial elétrico médio nessa mesma região. As descrições destinadas à análise numérica compreendem: uma formulação em que todos os elementos são considerados como meios contínuos; a Dinâmica Browniana e a Dinâmica Molecular. A dissertação é encerrada com a apresentação de alguns resultados experimentais sobre canais reais. Ao final, o leitor deverá ter um panorama sobre os estudos, teóricos e aplicados, no campo da condução passiva de íons através de membranas celulares. Esta dissertação não tem por finalidade esgotar os tópicos que abrangem esta área do conhecimento. / This dissertation presents a review about ion channels with respect to their biophysical aspects and some mathematical models employed in its analysis. Our approach is separated in two parts: one where it is possible to achieve exact results and another more suitable to numerical analysis. There will be reviewed a solution for Poisson’s equation in toroidal coordinates which gives an expression for electrical potential in the region of the channel. Also, There will be reviewed the mean force potential formulation derived from the ensembles of equilibrium statistical mechanics. The numerical analysis approach comprehends formulations where all elements are considered as a continuum media and via Brownian Dynamics and the Molecular Dynamics. This dissertation finishes with a discussion of some experimental results about real channels. At the end of this all, the reader should have an overview about the studies, both theoretical and applied, in the field of passive conduction of ions through cell membranes. However, this dissertation has no intention to be a comprehensive review of the subject.

A teoria quântica aplicada a sistemas microscópicos prevê comportamento oscilatório para objetos macroscópicos. Também, o caráter determinístico da física microscópica contradiz a irreversibilidade da termodinâmica. Aqui, estudamos os efeitos que flutuações de métrica e de energia tem sobre a produção de entropia, focando nas propriedades estatísticas de um gás tridimensional. Derivamos uma expressão geral para o operador densidade de probabilidade, sem assumir uma expressão específica para a correlação espacial das flutuações, que leva a resultados para uma vasta variedade de cenários. Nós prevemos que os tempos de decoerência e de termalização para N partículas não-interagentes cai com N2, dominando os efeitos de fontes externas de termalização, de modo a facilitar sua medida e a verificação da existência as flutuações. / Quantum theory applied to macroscopic systems predicts oscillatory behavior for macroscopic systems. Also, the deterministic character of microscopic physics contradicts the irreversibility of thermodynamics. Here we study the effects of energy and metric fluctuations on entropy production focusing on the statistical properties of a three-dimensional gas. We derive a general expression for the probability density operator without assuming any specific expression for the spatial correlation of the fluctuations, which yields results for a wide variety of scenarios. We predict the decoherence and thermalization times for N non-interacting particles scale with N2, dominating the effects from external thermalization sources, thus facilitating its measurement and the verification of the existence of fluctuations.

Estudamos neste trabalho o comportamento de modelos de redes neurais compostos de neurônios (ou sítios) e padrões descritos por variáveis binárias, onde cada neurônio conecta-se a um número macroscópico de neurônios vizinhos - modelos de campo médio - por meio de sinapses ou interações, cuja forma é escolhida de modo que a rede seja capaz de executar tarefas específicas. Três modelos são investigados neste trabalho: o modelo de Little-Hopfield e dois modelos de processamento sequencial, um com interações simétricas e outro com interações assimétricas. As sinapses do modelo de Little-Hopfield incluem apenas o termo Hebbiano, que tende a estabilizar a rede em um dos padrões, favorecendo sua recuperação. As sinapses dos modelos de processamento sequencial envolvem a competição entre o termo Hebbiano e um termo sequencial, que provoca transições dos estados entre os diferentes padrões armazenados, favorecendo a recuperação de uma sequência de padrões. Nos concentramos essencialmente na análise das propriedades dinâmicas e estacionárias das soluções vinculadas a esses dois modos de processamento de informação, característicos de modelos de memória associativa. A competição entre a recuperação de um padrão e o processamento de uma sequência é responsável pela riqueza exibida pelos diagTamas de fases dos modelos de processamento sequencial, os quais incluem a presença de soluções cíclicas e de ponto-fixo. O comportamento dos modelos de interesse é analisado em três arquiteturas: na rede em camadas, na rede recorrente e numa rede dual, que interpola entre as duas primeiras arquiteturas. Com relação à metodologia, a rede em camadas e a rede recorrente são estudadas através de um tratamento dinàmico, utilizando a análise de sinal-ruído no primeiro caso e o mÉ~tododa funcional geratriz, com simulações numéricas baseadas no procedimento de Eissfeller e Opper, no segundo caso. Os estados estacionários da rede dual são estudados por meio da mecânica estatística de equilíbrio, utilizando o método das réplicas. Resultados para o comportamento desses sistemas são discutidos considerando os regimes de armazenamento finito e infinito de padrões. Apesar dos modelos de processamento sequencial estudados aqui apresentarem diversas limitações com relação a redes de neurônios biológicos, as propriedades qualitativas das soluções exibidas por esses sistemas podem ser interessantes de um ponto de vista biológico. / We study in this work the behaviour of neural network models composed of neurons (01'sites) and patterns described by binary variables, in which each neuron is connected to a macroscopic number of neighbours - mean-field models - by means of synapses or interactions, whose form is chosen in a way that the network is able to perform specific tasks. Three models are investigated in this work: the Little-Hopfield model and two sequence processing models, one with symmetric interactions and another with asymmetric interactions. The synapses of the Little-Hopfield model include only the Hebbian term, which tends to stabilise the network in one of the patterns, favouring its retrieval. The synapses of the sequence processing models involve the competition between the Hebbian term and a sequential term, which generates transitions of states between the stored patterns, favouring the retrieval of a sequence of patterns. \Ve mainly concentrate on the dynamical and stationary properties of the solutions related to both kinds of information processing, typical of associative memory models. The competition between pattern retrieval and sequence processing is responsible for the richness exhibited by the phase diagrams of the sequence processing models, which include the presence of cyclic and fixed-point solutions. The behaviour of the models is analysed in three architectures: the feed-forward layered network, the recurrent network and the dual network, that interpolates between the first two architectures. With respect to the methodology, the strictly feed-forward and recurrent neural networks are studied through a dynamical approach, using the signalto- noise analysis and the generating functional method, respectively. Explicit results for the latter are implemented by numerical simulations following a method of Eissfeller and Opper. The stationary states of the dual network are studied by means of the equilibrium statistical mechanics, using the replica method. Results for the behaviour of these systems are discussed for finite and extensive loading of patterns. Although the sequence processing models studied here have several limitations with respect to biological networks, the qualitative properties of the solutions ex.hibited by these systems may be interesting from a biological point of view.