Neste trabalho, o objetivo é avaliar, com parâmetros M e E dados, a existência de solução (suposta radialmente simétrica) para o Problema de Dirichlet cuja conotação física é discutida no capítulo 1. Inicialmente fazemos para bolas unitárias em R2, onde mostramos a existência e unicidade a partir de soluções explícitas para um “problema associado” e ajustando este ao problema original via uma função apropriada. Mais adiante, procurando estender a ideia para uma bola unitária em Rn, usamos o Método de Sub/Supersolução para chegarmos a solução do problema, já que para dimensões maiores do que 2 não dispomos de “soluções associadas”. Por último, mostramos que se reduzirmos nossas hipóteses, ou seja, estendendo o domínio além de uma bola unitária (desde que limitado), ainda assim conseguiremos solução única. Entretanto, a “liberdade” para os parâmetros M e E fica restrita `a condição de que M2 E seja suficientemente pequeno. As referências fundamentais para elaboração deste trabalho são [12], [6], [7] e [13], embora outras bibliografias tenham sido consultadas e, eventualmente, citadas. / In this work, the goal is to evaluate, with parameters M and E given, the existence of solution (assumed radially symmetric) for the Dirichlet problem whose physical connotation is discussed in chapter 1. Initially we do for unit balls in R2, where we show the existence and uniqueness from the explicit solutions to a “associated problem” and adjusting to this original problem via a proper function. Later seeking to extend the idea to a unit ball in Rn, we use the Sub/Supersolution method to get to the solution of the problem, since for dimensions larger than 2, “associated solutions”are not available. Finally, we show that if we reduce our hypotheses, i.e., extending beyond the domain of a unit ball (but still limited), we still have a unique solution. However, the “ freedom ” on the parameters M and E is restricted to the condition that M2 E is sufficiently small. The fundamental references of this work are [12], [6], [7] and [13], although other bibliographies have been consulted and eventually cited.

Neste trabalho, o objetivo é avaliar, com parâmetros M e E dados, a existência de solução (suposta radialmente simétrica) para o Problema de Dirichlet cuja conotação física é discutida no capítulo 1. Inicialmente fazemos para bolas unitárias em R2, onde mostramos a existência e unicidade a partir de soluções explícitas para um “problema associado” e ajustando este ao problema original via uma função apropriada. Mais adiante, procurando estender a ideia para uma bola unitária em Rn, usamos o Método de Sub/Supersolução para chegarmos a solução do problema, já que para dimensões maiores do que 2 não dispomos de “soluções associadas”. Por último, mostramos que se reduzirmos nossas hipóteses, ou seja, estendendo o domínio além de uma bola unitária (desde que limitado), ainda assim conseguiremos solução única. Entretanto, a “liberdade” para os parâmetros M e E fica restrita `a condição de que M2 E seja suficientemente pequeno. As referências fundamentais para elaboração deste trabalho são [12], [6], [7] e [13], embora outras bibliografias tenham sido consultadas e, eventualmente, citadas. / In this work, the goal is to evaluate, with parameters M and E given, the existence of solution (assumed radially symmetric) for the Dirichlet problem whose physical connotation is discussed in chapter 1. Initially we do for unit balls in R2, where we show the existence and uniqueness from the explicit solutions to a “associated problem” and adjusting to this original problem via a proper function. Later seeking to extend the idea to a unit ball in Rn, we use the Sub/Supersolution method to get to the solution of the problem, since for dimensions larger than 2, “associated solutions”are not available. Finally, we show that if we reduce our hypotheses, i.e., extending beyond the domain of a unit ball (but still limited), we still have a unique solution. However, the “ freedom ” on the parameters M and E is restricted to the condition that M2 E is sufficiently small. The fundamental references of this work are [12], [6], [7] and [13], although other bibliographies have been consulted and eventually cited.

Neste trabalho, o objetivo é avaliar, com parâmetros M e E dados, a existência de solução (suposta radialmente simétrica) para o Problema de Dirichlet cuja conotação física é discutida no capítulo 1. Inicialmente fazemos para bolas unitárias em R2, onde mostramos a existência e unicidade a partir de soluções explícitas para um “problema associado” e ajustando este ao problema original via uma função apropriada. Mais adiante, procurando estender a ideia para uma bola unitária em Rn, usamos o Método de Sub/Supersolução para chegarmos a solução do problema, já que para dimensões maiores do que 2 não dispomos de “soluções associadas”. Por último, mostramos que se reduzirmos nossas hipóteses, ou seja, estendendo o domínio além de uma bola unitária (desde que limitado), ainda assim conseguiremos solução única. Entretanto, a “liberdade” para os parâmetros M e E fica restrita `a condição de que M2 E seja suficientemente pequeno. As referências fundamentais para elaboração deste trabalho são [12], [6], [7] e [13], embora outras bibliografias tenham sido consultadas e, eventualmente, citadas. / In this work, the goal is to evaluate, with parameters M and E given, the existence of solution (assumed radially symmetric) for the Dirichlet problem whose physical connotation is discussed in chapter 1. Initially we do for unit balls in R2, where we show the existence and uniqueness from the explicit solutions to a “associated problem” and adjusting to this original problem via a proper function. Later seeking to extend the idea to a unit ball in Rn, we use the Sub/Supersolution method to get to the solution of the problem, since for dimensions larger than 2, “associated solutions”are not available. Finally, we show that if we reduce our hypotheses, i.e., extending beyond the domain of a unit ball (but still limited), we still have a unique solution. However, the “ freedom ” on the parameters M and E is restricted to the condition that M2 E is sufficiently small. The fundamental references of this work are [12], [6], [7] and [13], although other bibliographies have been consulted and eventually cited.

Esta dissertação apresenta uma revisão sobre canais iônicos com respeito aos seus aspectos biofísicos e sobre alguns modelos matemáticos utilizados em sua análise. As abordagens dividem-se em duas classes: uma em que é possível realizar análises exatas e outra mais apropriada à análise numérica. Será revista a solução da equação de Poisson em coordenandas toroidais, que fornece uma expressão para o potencial elétrico na região do canal. Uma outra abordagem estudada utiliza os ensembles da mecânica estatística de equilíbrio para determinar a forma do potencial elétrico médio nessa mesma região. As descrições destinadas à análise numérica compreendem: uma formulação em que todos os elementos são considerados como meios contínuos; a Dinâmica Browniana e a Dinâmica Molecular. A dissertação é encerrada com a apresentação de alguns resultados experimentais sobre canais reais. Ao final, o leitor deverá ter um panorama sobre os estudos, teóricos e aplicados, no campo da condução passiva de íons através de membranas celulares. Esta dissertação não tem por finalidade esgotar os tópicos que abrangem esta área do conhecimento. / This dissertation presents a review about ion channels with respect to their biophysical aspects and some mathematical models employed in its analysis. Our approach is separated in two parts: one where it is possible to achieve exact results and another more suitable to numerical analysis. There will be reviewed a solution for Poisson’s equation in toroidal coordinates which gives an expression for electrical potential in the region of the channel. Also, There will be reviewed the mean force potential formulation derived from the ensembles of equilibrium statistical mechanics. The numerical analysis approach comprehends formulations where all elements are considered as a continuum media and via Brownian Dynamics and the Molecular Dynamics. This dissertation finishes with a discussion of some experimental results about real channels. At the end of this all, the reader should have an overview about the studies, both theoretical and applied, in the field of passive conduction of ions through cell membranes. However, this dissertation has no intention to be a comprehensive review of the subject.

Apresentamos a transformada wavelet discreta incompleta, e a aplicamos no precondicionamento de sistemas de equações lineares, originados na discretização de problemas de contorno de Poisson. Esses sistemas podem ser resolvidos por algum método iterativo, mas a velocidade de convergência piora rapidamente com o aumento do número de nados da malha de discretização. O precondicionamento mediante wavelets tem a propriedade de que, mediante uma mudança de escala pelo método da diagonal limita a variação do número de condição, vantagem aproveitada por G. Beylkin [03, 04, 05) na solução matricial do sistema linear. O método de Beylkin, no entanto, tem diversos problemas práticos e é computacionalmente dificil. A transformada wavelet discreta incompleta, que modifica o método de Berylkin, aproximando a transformada wavelet discreta (completa), resolve as dificuldades e é de fácil implementação computacional. Especificamente, mostraremos mediante estudos experimentais, que, com o precondicionamento decorrente da transformada wavelet discreta incompleta, aplicado ao método do gradiente conjugado, os resultados numéricos confirmam os efeitos e vantagens do método proposto. / We present the incomplete discrete wavelet transform and we apply it for preconditioning a system of linear equations, originated in the discretization of Poisson boundary problems. Such systems can be solved by some iterative method, but the convergence speed worsens quickly with the increase of the condition number of the coefficients matrix, and that number increases exponentially with the number of discretization mesh nodes. The wavelets preconditioning has the property that a diagonal rescaling bounds the condition number, and G. Beylkin [03, 04, 05] took advantage ofthat in a rnatrix solver. The Beylkin's method, however, has several practical problems and is computationally difficult. The incomplete discrete wavelet transform, that modifies Beylkin's method approximating the (complete) discrete wavelet transform, solves the difficulties, and is of easy computational implementation. Specifically, we \:vill show by experimental studies that the incomplete discrete wavelet transform preconditioning, applied to the method of conjugated gradient, produces numeric results that confirm the effects and advantages.

Apresentamos a transformada wavelet discreta incompleta, e a aplicamos no precondicionamento de sistemas de equações lineares, originados na discretização de problemas de contorno de Poisson. Esses sistemas podem ser resolvidos por algum método iterativo, mas a velocidade de convergência piora rapidamente com o aumento do número de nados da malha de discretização. O precondicionamento mediante wavelets tem a propriedade de que, mediante uma mudança de escala pelo método da diagonal limita a variação do número de condição, vantagem aproveitada por G. Beylkin [03, 04, 05) na solução matricial do sistema linear. O método de Beylkin, no entanto, tem diversos problemas práticos e é computacionalmente dificil. A transformada wavelet discreta incompleta, que modifica o método de Berylkin, aproximando a transformada wavelet discreta (completa), resolve as dificuldades e é de fácil implementação computacional. Especificamente, mostraremos mediante estudos experimentais, que, com o precondicionamento decorrente da transformada wavelet discreta incompleta, aplicado ao método do gradiente conjugado, os resultados numéricos confirmam os efeitos e vantagens do método proposto. / We present the incomplete discrete wavelet transform and we apply it for preconditioning a system of linear equations, originated in the discretization of Poisson boundary problems. Such systems can be solved by some iterative method, but the convergence speed worsens quickly with the increase of the condition number of the coefficients matrix, and that number increases exponentially with the number of discretization mesh nodes. The wavelets preconditioning has the property that a diagonal rescaling bounds the condition number, and G. Beylkin [03, 04, 05] took advantage ofthat in a rnatrix solver. The Beylkin's method, however, has several practical problems and is computationally difficult. The incomplete discrete wavelet transform, that modifies Beylkin's method approximating the (complete) discrete wavelet transform, solves the difficulties, and is of easy computational implementation. Specifically, we \:vill show by experimental studies that the incomplete discrete wavelet transform preconditioning, applied to the method of conjugated gradient, produces numeric results that confirm the effects and advantages.

Esta dissertação apresenta uma revisão sobre canais iônicos com respeito aos seus aspectos biofísicos e sobre alguns modelos matemáticos utilizados em sua análise. As abordagens dividem-se em duas classes: uma em que é possível realizar análises exatas e outra mais apropriada à análise numérica. Será revista a solução da equação de Poisson em coordenandas toroidais, que fornece uma expressão para o potencial elétrico na região do canal. Uma outra abordagem estudada utiliza os ensembles da mecânica estatística de equilíbrio para determinar a forma do potencial elétrico médio nessa mesma região. As descrições destinadas à análise numérica compreendem: uma formulação em que todos os elementos são considerados como meios contínuos; a Dinâmica Browniana e a Dinâmica Molecular. A dissertação é encerrada com a apresentação de alguns resultados experimentais sobre canais reais. Ao final, o leitor deverá ter um panorama sobre os estudos, teóricos e aplicados, no campo da condução passiva de íons através de membranas celulares. Esta dissertação não tem por finalidade esgotar os tópicos que abrangem esta área do conhecimento. / This dissertation presents a review about ion channels with respect to their biophysical aspects and some mathematical models employed in its analysis. Our approach is separated in two parts: one where it is possible to achieve exact results and another more suitable to numerical analysis. There will be reviewed a solution for Poisson’s equation in toroidal coordinates which gives an expression for electrical potential in the region of the channel. Also, There will be reviewed the mean force potential formulation derived from the ensembles of equilibrium statistical mechanics. The numerical analysis approach comprehends formulations where all elements are considered as a continuum media and via Brownian Dynamics and the Molecular Dynamics. This dissertation finishes with a discussion of some experimental results about real channels. At the end of this all, the reader should have an overview about the studies, both theoretical and applied, in the field of passive conduction of ions through cell membranes. However, this dissertation has no intention to be a comprehensive review of the subject.

Esta dissertação apresenta uma revisão sobre canais iônicos com respeito aos seus aspectos biofísicos e sobre alguns modelos matemáticos utilizados em sua análise. As abordagens dividem-se em duas classes: uma em que é possível realizar análises exatas e outra mais apropriada à análise numérica. Será revista a solução da equação de Poisson em coordenandas toroidais, que fornece uma expressão para o potencial elétrico na região do canal. Uma outra abordagem estudada utiliza os ensembles da mecânica estatística de equilíbrio para determinar a forma do potencial elétrico médio nessa mesma região. As descrições destinadas à análise numérica compreendem: uma formulação em que todos os elementos são considerados como meios contínuos; a Dinâmica Browniana e a Dinâmica Molecular. A dissertação é encerrada com a apresentação de alguns resultados experimentais sobre canais reais. Ao final, o leitor deverá ter um panorama sobre os estudos, teóricos e aplicados, no campo da condução passiva de íons através de membranas celulares. Esta dissertação não tem por finalidade esgotar os tópicos que abrangem esta área do conhecimento. / This dissertation presents a review about ion channels with respect to their biophysical aspects and some mathematical models employed in its analysis. Our approach is separated in two parts: one where it is possible to achieve exact results and another more suitable to numerical analysis. There will be reviewed a solution for Poisson’s equation in toroidal coordinates which gives an expression for electrical potential in the region of the channel. Also, There will be reviewed the mean force potential formulation derived from the ensembles of equilibrium statistical mechanics. The numerical analysis approach comprehends formulations where all elements are considered as a continuum media and via Brownian Dynamics and the Molecular Dynamics. This dissertation finishes with a discussion of some experimental results about real channels. At the end of this all, the reader should have an overview about the studies, both theoretical and applied, in the field of passive conduction of ions through cell membranes. However, this dissertation has no intention to be a comprehensive review of the subject.

Apresentamos a transformada wavelet discreta incompleta, e a aplicamos no precondicionamento de sistemas de equações lineares, originados na discretização de problemas de contorno de Poisson. Esses sistemas podem ser resolvidos por algum método iterativo, mas a velocidade de convergência piora rapidamente com o aumento do número de nados da malha de discretização. O precondicionamento mediante wavelets tem a propriedade de que, mediante uma mudança de escala pelo método da diagonal limita a variação do número de condição, vantagem aproveitada por G. Beylkin [03, 04, 05) na solução matricial do sistema linear. O método de Beylkin, no entanto, tem diversos problemas práticos e é computacionalmente dificil. A transformada wavelet discreta incompleta, que modifica o método de Berylkin, aproximando a transformada wavelet discreta (completa), resolve as dificuldades e é de fácil implementação computacional. Especificamente, mostraremos mediante estudos experimentais, que, com o precondicionamento decorrente da transformada wavelet discreta incompleta, aplicado ao método do gradiente conjugado, os resultados numéricos confirmam os efeitos e vantagens do método proposto. / We present the incomplete discrete wavelet transform and we apply it for preconditioning a system of linear equations, originated in the discretization of Poisson boundary problems. Such systems can be solved by some iterative method, but the convergence speed worsens quickly with the increase of the condition number of the coefficients matrix, and that number increases exponentially with the number of discretization mesh nodes. The wavelets preconditioning has the property that a diagonal rescaling bounds the condition number, and G. Beylkin [03, 04, 05] took advantage ofthat in a rnatrix solver. The Beylkin's method, however, has several practical problems and is computationally difficult. The incomplete discrete wavelet transform, that modifies Beylkin's method approximating the (complete) discrete wavelet transform, solves the difficulties, and is of easy computational implementation. Specifically, we \:vill show by experimental studies that the incomplete discrete wavelet transform preconditioning, applied to the method of conjugated gradient, produces numeric results that confirm the effects and advantages.

Submitted by Johnny Rodrigues (johnnyrodrigues@ufcg.edu.br) on 2018-07-19T13:42:19Z No. of bitstreams: 1 ALÂNNIO BARBOSA NÓBREGA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2008..pdf: 544710 bytes, checksum: 3a29bbca0618e68075cdfc926fdc6a64 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-07-19T13:42:19Z (GMT). No. of bitstreams: 1 ALÂNNIO BARBOSA NÓBREGA - DISSERTAÇÃO PPGMAT 2008..pdf: 544710 bytes, checksum: 3a29bbca0618e68075cdfc926fdc6a64 (MD5) Previous issue date: 2008-01 / Neste trabalho, estudamos um devido a Kryszewi e Szulkin, o qual completa o bem conhecido resultado devido a Rabinowitz, no sentido que, é possivel considerar uma decomposição do tipoX=Y⊕Z comY eZ tendo dimensão infinita. Usando o Teorema do Linking Generalizado acima, iremos provar a existência de solução nãotrivial para dois sistemas de equações de Poisson acopladas com crescimento crítico em domínios não-limitados. / In this work, we study a Generalized LinkingT heorem due Kryszewi and Szulkin, which complets a well know result due Rabinowitz, in the sense that, it is possible to consider a decomposition of the typeX=Y⊕Z, withY andZ have infinite dimensional. Using the above Generalized Linking Theorem, we prove the existence of nontrivial solutions to two systems of coupled Poisson equations with critical growth in unbounded domains.