Neste trabalho consideramos uma matriz positiva A. Primeiramente, mostramos o Teorema de Perron para A. Este teorema afirma que A tem um autovalor positivo, que é igual ao seu raio espectral, e associado a este autovalor temos um autovetor com entradas positivas, que chamamos de raiz de Perron e vetor de Perron de A, respectivamente. Em um segundo momento usamos análise matricial aliada a programação geométrica para descrever um método que permite o cálculo do raio espectral de uma matriz positiva. Porém, aplicamos as ferramentas de programação geométrica na teoria de formalismo termodinâmico, no caso de um observável que depende apenas das duas primeiras coordenadas, buscando exibir a medida de Gibbs associada a este observável. / In this work we consider a positive matrix An n. In a rst moment we show Perron s theorem for A. This theorem claims that A has a positive eigenvalue, which is equal to its spectral radius, and associated with this eigenvalue we have a eigenvector with positive entries, which we call Perron root and Perron vector of A, respectively. In a second moment we use matrix analysis and geometric programming to describe a method which allows the calculation of the spectral radius of a positive matrix. In the end, we also use the tools of geometric programming in the theory of thermodynamical formalism, in the case where we have an observable which depends only on the two rst coordinates, to exhibit the Gibbs measure associated with this observable.

Neste trabalho consideramos uma matriz positiva A. Primeiramente, mostramos o Teorema de Perron para A. Este teorema afirma que A tem um autovalor positivo, que é igual ao seu raio espectral, e associado a este autovalor temos um autovetor com entradas positivas, que chamamos de raiz de Perron e vetor de Perron de A, respectivamente. Em um segundo momento usamos análise matricial aliada a programação geométrica para descrever um método que permite o cálculo do raio espectral de uma matriz positiva. Porém, aplicamos as ferramentas de programação geométrica na teoria de formalismo termodinâmico, no caso de um observável que depende apenas das duas primeiras coordenadas, buscando exibir a medida de Gibbs associada a este observável. / In this work we consider a positive matrix An n. In a rst moment we show Perron s theorem for A. This theorem claims that A has a positive eigenvalue, which is equal to its spectral radius, and associated with this eigenvalue we have a eigenvector with positive entries, which we call Perron root and Perron vector of A, respectively. In a second moment we use matrix analysis and geometric programming to describe a method which allows the calculation of the spectral radius of a positive matrix. In the end, we also use the tools of geometric programming in the theory of thermodynamical formalism, in the case where we have an observable which depends only on the two rst coordinates, to exhibit the Gibbs measure associated with this observable.

Neste trabalho consideramos uma matriz positiva A. Primeiramente, mostramos o Teorema de Perron para A. Este teorema afirma que A tem um autovalor positivo, que é igual ao seu raio espectral, e associado a este autovalor temos um autovetor com entradas positivas, que chamamos de raiz de Perron e vetor de Perron de A, respectivamente. Em um segundo momento usamos análise matricial aliada a programação geométrica para descrever um método que permite o cálculo do raio espectral de uma matriz positiva. Porém, aplicamos as ferramentas de programação geométrica na teoria de formalismo termodinâmico, no caso de um observável que depende apenas das duas primeiras coordenadas, buscando exibir a medida de Gibbs associada a este observável. / In this work we consider a positive matrix An n. In a rst moment we show Perron s theorem for A. This theorem claims that A has a positive eigenvalue, which is equal to its spectral radius, and associated with this eigenvalue we have a eigenvector with positive entries, which we call Perron root and Perron vector of A, respectively. In a second moment we use matrix analysis and geometric programming to describe a method which allows the calculation of the spectral radius of a positive matrix. In the end, we also use the tools of geometric programming in the theory of thermodynamical formalism, in the case where we have an observable which depends only on the two rst coordinates, to exhibit the Gibbs measure associated with this observable.

We study the properties of Gibbs measures for functions with d-summable variation defined on a subshift X. Based on Meyerovitch\'s work from 2013, we prove that if X is a subshift of finite type (SFT), then any equilibrium measure is also a Gibbs measure. Although the definition provided by Meyerovitch does not make any mention to conditional expectations, we show that in the case where X is a SFT it is possible to characterize these measures in terms of more familiar notions presented in the literature. / Nós estudamos as propriedades de medidas de Gibbs para funções com variação d-somável definidas em um subshift X. Baseado no trabalho de Meyerovitch de 2013, provamos que se X é um subshift de tipo finito (STF), então qualquer medida de equilíbrio é também uma medida de Gibbs. Embora a definição fornecida por Meyerovitch não faz qualquer menção à esperanças condicionais, mostramos que no caso em que X é um STF, é possível caracterizar estas medidas em termos de noções mais familiares apresentadas na literatura.

In this thesis we study various properties of the spins models, in particular, Ising and Dyson models. We study the stability of the phase transition of the nearest-neighbor ferromagnetic Ising model when we add a perturbation to the critical external field that becomes weaker far from the root of the Cayley tree. We also study the relation between g-measures and Gibbs measures, showing that the Dyson model at sufficiently low temperature is not a g-measure. Counting contours on trees is also studied, showing the characterization of the trees that have infinite number of contours, and comparisons between various definitions of contours. We also study the measures of the spatial Gibbs random graphs, and their local convergence. / Nesta tese estudamos diversas propriedades dos modelos de spins, em particular, os modelos de Ising e Dyson. Estudamos a estabilidade da transição de fase no modelo de Ising ferromagnético de primeiros vizinhos quando adicionamos uma perturbação no campo externo crítico pela qual se torna mais fraca ao estar distante da raiz da árvore de Cayley. Estudamos a relação entre g-medidas e medidas de Gibbs, mostrando que a medida de Gibbs do modelo de Dyson a temperaturas suficientemente baixas não é uma g-medida. Também estudamos contagem de contornos em árvores, mostramos uma caracterização das árvores que possuem um número infinito de contornos de um tamanho fixo envolvendo um vértice, e comparamos entre diversas definições de contornos. Estudamos também as medidas de grafos aleatórios spatial Gibbs, e suas convergências locais.