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Teorema de Furstenberg sobre o produto aleatório de matrizes / Furstenberg theorem on the random product of matricesMaquera, Herbert Milton Ccalle 31 July 2018 (has links)
Nesta dissertação estudamos de um ponto de vista probabilístico, o comportamento assintótico de sistemas dinâmicos. Um exemplo simples de formular e profundo é o estudo de produto aleatório de matrizes (FURSTENBERG; KESTEN, 1960). Utilizaremos como ferramenta o estudo dos cociclos lineares, posteriormente mediante o Teorema de Furstenberg-Kesten definiremos o expoente de Lyapunov do cociclo, em seguida enunciamos e provamos o Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets o qual nos permite entender o comportamento das órbitas típicas para um cociclo dado F : M x R2 → M x R2. O Teorema de Fusrtenberg-Kesten fornece informações sobre o crescimento das matrizes An(x), enquanto o Teorema de Oseledets descreve o comportamento assintótico dos vetores An(x).v. Finalmente provamos o teorema principal desta dissertação, o Teorema de Furstenberg o qual diz que na maioria dos casos o maior expoente de Lyapunov é positivo (FURSTENBERG, 1963). / In this thesis we study from a probabilistic point of view, the asymptotic behavior of dynamic systems, a deep and simple example is the random product of matrices (FURSTENBERG; KESTEN, 1960). We will use as a tool, the study of linear cocycles, later using the Furstenberg- Kesten Theorem we will define the Lyapunov exponent of the cocycle, then we enunciate and prove the Multiplicative Ergodic Theorem of Oseledets which allow us to understand the behavior of the typical orbits for a given cocycle F : M x R2 → M x R2. The Fusrtenberg- Kesten theorem provides information on the growth of the matrices A(x), while the theorems of Oseledets describe the asymptotic behavior of the vectors An(x).v. Finally we prove our main theorem, Furstenbergs Theorem which states that in most cases the greatest exponent of Lyapunov is positive (FURSTENBERG, 1963).
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Teorema de Furstenberg sobre o produto aleatório de matrizes / Furstenberg theorem on the random product of matricesHerbert Milton Ccalle Maquera 31 July 2018 (has links)
Nesta dissertação estudamos de um ponto de vista probabilístico, o comportamento assintótico de sistemas dinâmicos. Um exemplo simples de formular e profundo é o estudo de produto aleatório de matrizes (FURSTENBERG; KESTEN, 1960). Utilizaremos como ferramenta o estudo dos cociclos lineares, posteriormente mediante o Teorema de Furstenberg-Kesten definiremos o expoente de Lyapunov do cociclo, em seguida enunciamos e provamos o Teorema Ergódico Multiplicativo de Oseledets o qual nos permite entender o comportamento das órbitas típicas para um cociclo dado F : M x R2 → M x R2. O Teorema de Fusrtenberg-Kesten fornece informações sobre o crescimento das matrizes An(x), enquanto o Teorema de Oseledets descreve o comportamento assintótico dos vetores An(x).v. Finalmente provamos o teorema principal desta dissertação, o Teorema de Furstenberg o qual diz que na maioria dos casos o maior expoente de Lyapunov é positivo (FURSTENBERG, 1963). / In this thesis we study from a probabilistic point of view, the asymptotic behavior of dynamic systems, a deep and simple example is the random product of matrices (FURSTENBERG; KESTEN, 1960). We will use as a tool, the study of linear cocycles, later using the Furstenberg- Kesten Theorem we will define the Lyapunov exponent of the cocycle, then we enunciate and prove the Multiplicative Ergodic Theorem of Oseledets which allow us to understand the behavior of the typical orbits for a given cocycle F : M x R2 → M x R2. The Fusrtenberg- Kesten theorem provides information on the growth of the matrices A(x), while the theorems of Oseledets describe the asymptotic behavior of the vectors An(x).v. Finally we prove our main theorem, Furstenbergs Theorem which states that in most cases the greatest exponent of Lyapunov is positive (FURSTENBERG, 1963).
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[pt] CONTINUIDADE HOLDER PARA OS EXPOENTES DE LYAPUNOV DE COCICLOS LINEARES ALEATÓRIOS / [en] HOLDER CONTINUITY FOR LYAPUNOV EXPONENTS OF RANDOM LINEAR COCYCLESMARCELO DURAES CAPELEIRO PINTO 27 May 2021 (has links)
[pt] Uma medida de probabilidade com suporte compacto em um grupo de
matrizes determina uma sequência de matrizes aleatórias i.i.d. Considere o
processo multiplicativo correspondente e suas médias geométricas. O teorema
de Furstenberg-Kesten, análogo da lei dos grandes números neste cenário,
garante que as médias geométricas desse processo multiplicativo convergem
quase certamente para uma constante, chamada de expoente de Lyapunov
maximal da medida dada. Este conceito pode ser reformulado no contexto
mais geral da teoria ergódica usando cociclos lineares aleatórios sobre o shift
de Bernoulli. Uma questão natural diz respeito às propriedades de regularidade do
expoente de Lyapunov como uma função dos seus dados. Sob uma condição
de irredutibilidade e em um cenário específico (que foi posteriormente generalizado
por vários autores) Le Page estabeleceu a continuidade de Holder
do expoente de Lyapunov. Recentemente, Baraviera e Duarte obtiveram uma
prova direta e elegante deste tipo de resultado. Seu argumento usa a fórmula
de Furstenberg e as propriedades de regularidade da medida estacionária.
Seguindo sua abordagem, neste trabalho obtemos um novo resultado
mostrando que, sob a mesma hipótese de irredutibilidade, o expoente de
Lyapunov depende Hölder continuamente da medida, relativamente à métrica
de Wasserstein, generalizando assim o resultado de Baraviera e Duarte. / [en] A compactly supported probability measure on a group of matrices determines
a sequence of i.i.d. random matrices. Consider the corresponding multiplicative
process and its geometric averages. Furstenberg-Kesten s theorem,
the analogue of the law of large numbers in this setting, ensures that the
geometric averages of this multiplicative process converge almost surely to a
constant, called the maximal Lyapunov exponent of the given measure. This
concept can be reformulated in the more general context of ergodic theory
using random linear cocycles over the Bernoulli shift.
A natural question concerns the regularity properties of the Lyapunov
exponent as a function of the data. Under an irreducibility condition and
in a specific setting (which was later generalized by various authors) Le
Page established the Holder continuity of the Lyapunov exponent. Recently,
Baraviera and Duarte obtained a direct and elegant proof of this type of result.
Their argument uses Furstenberg s formula and the regularity properties of the
stationary measure.
Following their approach, in this work we obtain a new result showing
that under the same irreducibility hypothesis, the Lyapunov exponent depends
Holder continuously on the measure, relative to the Wasserstein metric, thus
generalizing the result of Baraviera and Duarte.
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