Soit fi un sous-ensemble ouvert de Rd (d > 2) et soit x E fi. Une mesure de Jensen pour x par rapport à fi est une mesure borélienne de probabilité /i, supportée par un sous-ensemble compact de fi, telle que J ud/i < u(x) pour chaque fonction surharmonique u définie sur fi. Notons par Jx(fi) la famille des mesures de Jensen pour x par rapport à fi et par Jx(fi) l'ensemble des éléments extrémaux de Jx(tt). Le principal problème relié aux mesures de Jensen n'est pas de les exhiber comme il est parfois le cas avec certains objets mathématiques. Il est plutôt question de les contrôler, c'est-à-dire de les exprimer en termes d'objets mieux connus. C'est ce dont il est question dans cette thèse. Dans les Chapitres 1 à 3, on introduit les différents concepts que le lecteur devrait connaître pour bien comprendre la suite. On y aborde les principaux résultats de la théorie du potentiel classique, les mesures de Jensen ainsi que la théorie fine du potentiel et les mesures finement harmoniques construites à partir de la topologie fine relative à l'ensemble de fonctions surharmoniques. Le résultat principal de cette thèse est la caractérisation complète de ext(Jr(fi)) en termes de mesures finement harmoniques et aussi en termes de limites de mesures harmoniques définies sur des suites décroissantes de domaines. Ceci représente le contenu des Théorèmes 0.1 et 0.2 démontrés aux Chapitres 4 à 8. Au Chapitre 9, on présente un résultat sur la majoration des mesures de Jensen par les mesures harmoniques. Par le fait même, on affaiblit l'hypothèse sur la borne inférieure locale dans un résultat de B. Cole et T. Ransford (le résultat principal de Jensen measures and harmonie measures, J. Reine Angew. Math. 541 (2001), 29-53). Au chapitre 10, on présente une application à l'analyse complexe dans laquelle on améliore un résultat de Khabibullin sur la question de savoir, étant donné une suite (an) de nombres complexes et une fonction continue M : C -> R+ , s'il existe une fonction entière / ^ 0 qui s'annule en chaque an et dont le module est inférieur à M. Finalement, au chapitre 10, il est question d'une troisième caractérisation des mesures de Jensen extrémales en termes d'approximation par les fonctions (J-surharmoniques.

Le mode de collecte web gagne de plus en plus de popularité depuis sa création, ceci notamment en raison des avantages qu’il apporte en termes de coût et de temps. Cependant, les tendances nonprobabilistes des échantillons web font souvent douter de leur capacité à fournir des résultats aussi représentatifs que ceux d’un mode traditionnel typique tel que le téléphone. Le but de ce mémoire est de comparer les modes non-probabiliste web et probabiliste téléphone souvent suggérés par les firmes de sondage au Québec. Nous analysons principalement les éventuelles différences entre les échantillons web et téléphone du point de vue de l’adaptation à la maladie de Lyme. Plus spécifiquement, les trois objectifs de l’étude sont de : (1) comparer la représentativité des deux échantillons avec les données du recensement en termes de caractéristiques sociodémographiques, (2) comparer ces modes d’enquête en ce qui concerne l’estimation des taux d’adoption de comportements préventifs à l’égard de la maladie de Lyme tel que rapportés par les répondants aux deux sondages, et (3) tester l’invariance de la mesure des comportements préventifs des échantillons non probabiliste (panel Web) et probabiliste (téléphone). Les données proviennent d’une étude sur les comportements d’adaptation à la maladie de Lyme. Les échantillons panel Web (n=956) et téléphone (n=1003) sont constitués de résidents québécois de 18 ans et plus habitant les régions de risques faible à significatif. Les résultats montrent premièrement qu’aucun des échantillons n’est représentatif de la population cible au regard des caractéristiques sociodémographiquestelles que rapportées dans le recensement canadien de 2016. Deuxièmement, nos résultats indiquent que le taux de non-réponse aux comportements préventifs d’adaptation à la maladie et autres variables associées est significativement plus élevé dans l’échantillon web. Cependant, la magnitude de cette différence est nulle pour 19 items sur 30, et faible pour les 11 autres. De plus, aucune différence importante n’a été relevée lors de la comparaison des deux échantillons du point de vue de l’estimation de la prévalence desdits comportements et leurs déterminants. Enfin, les analyses d’invariance de l’indice d’adaptation ou de prévention à l’égard de la maladie de Lyme révèle que la structure de l’indice est la même pour les deux échantillons. On en conclut que malgré certaines différences observées entre les modes web et téléphone, les répondants des deux échantillons ont tendance à adopter des comportements similaires d’adaptation à la maladie de Lyme. / The web data collection mode has been increasing in popularity since its creation, primarily due to its cost and time effective benefits. However, its non-probabilistic tendencies often bring doubts concerning the representativity of its results in comparison to a typical mode such as the telephone. This master’s thesis compares the non-probability web and probability telephone modes, often suggested by polling firms in the province of Quebec. It principally analyzes the eventual differences between both samples on their adaptation to the Lyme disease. More specifically, the three main goals of this study are: (1) to compare the representativeness of both samples with the census data in terms of their socio-demographic characteristics, (2) to compare those two survey modes regarding their respondents’ preventive behaviour estimates against the Lyme disease, and (3) to test the measurement invariance of the nonprobability (Web panel) and probability (telephone) samples’ preventive behaviour. The data comes from a study on the adaptation of prevention behaviors against Lyme disease. The web (n=956) and telephone samples (n=1003) are made of individuals, 18 years old and above, from low and significant risk regions. Results firstly reveal that neither survey is representative of the Canadian census of 2016. Secondly, results show that the non-response rate for Lyme disease prevention adaptive behaviors and other associated variables is higher in the web survey. However, the magnitude of this significance is nil for 19 out of 30 the items, and small for the other 11. Moreover, no important dissimilarities were found in comparing both samples’ estimates in terms of the behaviours’ prevalence and their determinants. Finally, the measurement invariance analyses on the index of adaptation to the Lyme disease show a similar structure of the index for both samples. In conclusion, although the web and telephone samples are different in some respects, their respondents tend to have similar behaviors of adaptation to the disease.

Cette thèse comporte deux parties indépendantes. Dans la première partie, nous nous intéressons à l’analyse asymptotique de quelques statistiques sur les arbres binaires de recherche (ABR). Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l’étude du problème du collectionneur de coupons impatient. Dans la première partie, en suivant le modèle introduit par Aguech, Lasmar et Mahmoud [Probab. Engrg. Inform. Sci. 21 (2007) 133—141], on définit la profondeur pondérée d’un nœud dans un arbre binaire enraciné étiqueté comme la somme de toutes les clés sur le chemin qui relie ce nœud à la racine. Nous analysons alors dans ABR, les profondeurs pondérées des nœuds avec des clés données, le dernier nœud inséré, les nœuds ordonnés selon le processus de recherche en profondeur, la profondeur pondérée des trajets, l’indice de Wiener pondéré et les profondeurs pondérées des nœuds avec au plus un enfant. Dans la deuxième partie, nous étudions la forme asymptotique de la courbe de la complétion de la collection conditionnée à T_n≤ (1+Λ), Λ>0, où T_n≃n ln⁡n désigne le temps nécessaire pour compléter la collection. Puis, en tant qu’application, nous étudions les automates déterministes et accessibles et nous fournissons une nouvelle dérivation d’une formule due à Korsunov [Kor78, Kor86] / This Phd thesis is divided into two independent parts. In the first part, we provide an asymptotic analysis of some statistics on the binary search tree. In the second part, we study the coupon collector problem with a constraint. In the first part, following the model introduced by Aguech, Lasmar and Mahmoud [Probab. Engrg. Inform. Sci. 21 (2007) 133—141], the weighted depth of a node in a labelled rooted tree is the sum of all labels on the path connecting the node to the root. We analyze the following statistics : the weighted depths of nodes with given labels, the last inserted node, nodes ordered as visited by the depth first search procees, the weighted path length, the weighted Wiener index and the weighted depths of nodes with at most one child in a random binary search tree. In the second part, we study the asymptotic shape of the completion curve of the collection conditioned to T_n≤ (1+Λ), Λ>0, where T_n≃n ln⁡n is the time needed to complete accessible automata, we provide a new derivation of a formula due to Korsunov [Kor78, Kor86]