Les matériaux piézoélectriques, comme le titanate-zirconate de plomb Pb(ZrxTi1-x)O3 (PZT), l’oxyde de zinc ZnO, ainsi que la solution solide de Pb(Mg1/3Nb2/3)O3-PbTiO3 (PMN-PT), sont actuellement l’objet d’études de plus en plus nombreuses à cause de leurs applications innovantes dans les systèmes micro-électromécaniques (MEMS). Afin de les intégrer sur substrat de silicium, certaines précautions doivent être prises en compte concernant par exemple des couches tampon, les électrodes inférieures. Dans cette thèse, des films piézoélectriques (PZT et PMN-PT) ont été épitaxiés avec succès sous forme de monocristaux sur silicium et SOI (silicon-on-insulator) par procédé sol-gel. En effet, des études récentes ont montré que les films piézoélectriques monocristallins semblent posséder des propriétés supérieures à celles des films polycristallins, permettant ainsi une augmentation de la performance des dispositifs MEMS. Le premier objectif de cette thèse était de réaliser l'épitaxie de film monocristallin de matériaux piézoélectriques sur silicium. L'utilisation d’une couche tampon d'oxyde de gadolinium (Gd2O3) ou de titanate de strontium (SrTiO3 ou STO) déposés par la technique d’épitaxie par jets moléculaires (EJM) a été explorée en détail pour favoriser l’épitaxie du PZT et PMN-PT sur silicium. Sur le système Gd2O3/Si(111), l’étude par diffraction des rayons X (XRD) de la croissance du film PZT montre que le film est polyphasé avec la présence de la phase parasite pyrochlore non ferroélectrique. Cependant, le film PZT déposé sur le système STO/Si(001) est parfaitement épitaxié sous forme d’un film monocristallin. Afin de mesurer ses propriétés électriques, une couche de ruthenate de strontium conducteur SrRuO3 (SRO) déposée par ablation laser pulsé (PLD) a été utilisée comme l'électrode inférieure à cause de son excellente conductibilité et de sa structure cristalline pérovskite similaire à celle du PZT. Les caractérisations électriques sur des condensateurs Ru/PZT/SRO démontrent de très bonnes propriétés ferroélectriques avec présence de cycles d'hystérésis. Par ailleurs, le matériau relaxeur PMN-PT a aussi été épitaxié sur STO/Si comme l’a confirmé la diffraction des rayons X ainsi que la microscopie électronique en transmission (TEM). Ce film monocristallin est de la phase de perovskite sans présence de pyrochlore. En outre, une étude en transmission du rayonnement infrarouge au synchrotron a prouvé une transition de phase diffuse sur une large gamme de température, comme attendue dans le cas d’un relaxeur. L'autre intérêt d'avoir des films PZT monocristallins déposés sur silicium et SOI est de pouvoir utiliser les méthodes de structuration du silicium bien standardisées maintenant pour fabriquer les dispositifs MEMS. La mise au point d’un procédé de micro-structuration en salle blanche a permis de réaliser des cantilevers et des membranes afin de caractériser mécaniquement les couches piézoélectriques. Des déplacements par l'application d'une tension électrique ont ainsi pu être détectés par interférométrie. Finalement, cette caractérisation par interférométrie a été combinée avec une modélisation basée sur la méthode des éléments finis. Dans le futur, il sera nécessaire d’optimiser le procédé de microfabrication du dispositif MEMS afin d’en améliorer les performances électromécaniques. Enfin, des caractérisations au niveau du dispositif MEMS lui-même devront être développées en vue de leur utilisation dans de futures applications. / Recently, piezoelectric materials, like lead titanate zirconate Pb(ZrxTi1-x)O3 (PZT), zinc oxide ZnO, and the solid solution Pb(Mg1/3Nb2/3)O3-PbTiO3 (PMN-PT), increasingly receive intensive studies because of their innovative applications in the microelectromechanical systems (MEMS). In order to integrate them on silicon substrate, several preliminaries must be taken into considerations, e.g. buffer layer, bottom electrode. In this thesis, piezoelectric films (PZT and PMN-PT) have been successfully epitaxially grown on silicon and SOI (silicon-on-insulator) in the form of single crystal by sol-gel process. In fact, recent studies show that single crystalline films seem to possess the superior properties than that of polycrystalline films, leading to an increase of the performance of MEMS devices. The first objective of this thesis was to realize the epitaxial growth of single crystalline film of piezoelectric materials on silicon. The use of a buffer layer of gadolinium oxide(Gd2O3) or strontium titanate (SrTiO3 or STO) deposited by molecular beam epitaxy (MBE) has been studied in detail to integrate epitaxial PZT and PMN-PT films on silicon. For Gd2O3/Si(111) system, the study of X-ray diffraction (XRD) on the growth of PZT film shows that the film is polycrystalline with coexistence of the nonferroelectric parasite phase, i.e. pyrochlore phase. On the other hand, the PZT film deposited on STO/Si(001) substrate is successfully epitaxially grown in the form of single crystalline film. In order to measure the electrical properties, a layer of strontium ruthenate (SrRuO3 or SRO) deposited by pulsed laser deposition (PLD) has been employed for bottom electrode due to its excellent conductivity and perovskite crystalline structure similar to that of PZT. The electrical characterization on Ru/PZT/SRO capacitors demonstrates good ferroelectric properties with the presence of hysteresis loop. Besides, the relaxor ferroelectric PMN-PT has been also epitaxially grown on STO/Si and confirmed by XRD and transmission electrical microscopy (TEM). This single crystalline film has the perovskite phase without the appearance of pyrochlore. Moreover, the study of infrared transmission using synchrotron radiation has proven a diffused phase transition over a large range of temperature, indicating a typical relaxor ferroelectric material. The other interesting in the single crystalline PZT films deposited on silicon and SOI is to employ them in the application of MEMS devices, where the standard silicon techniques are used. The microfabrication process performed in the cleanroom has permitted to realize cantilevers and membranes in order to mechanically characterize the piezoelectric layers. Mechanical deflection under the application of an electric voltage could be detected by interferometry. Eventually, this characterization by interferometry has been studied using the modeling based on finite element method and analytic method. In the future, it will be necessary to optimize the microfabrication process of MEMS devices based on single crystalline piezoelectric films in order to ameliorate the electromechanical performance. Finally, the characterizations at MEMS device level must be developed for their utilization in the future applications.

Cette thèse est consacrée à l’étude théorique et numérique de plusieurs équations aux dérivées partielles non linéaires qui apparaissent dans la modélisation de la séparation de phase et des micro-systèmes électro-mécaniques (MSEM). Dans la première partie, nous étudions des modèles d’ordre élevé en séparation de phase pour lesquels nous obtenons le caractère bien posé et la dissipativité, ainsi que l’existence de l’attracteur global et, dans certains cas, des simulations numériques. De manière plus précise, nous considérons dans cette première partie des modèles de type Allen-Cahn et Cahn-Hilliard d’ordre élevé avec un potentiel régulier et des modèles de type Allen-Cahn d’ordre élevé avec un potentiel logarithmique. En outre, nous étudions des modèles anisotropes d’ordre élevé et des généralisations d’ordre élevé de l’équation de Cahn-Hilliard avec des applications en biologie, traitement d’images, etc. Nous étudions également la relaxation hyperbolique d’équations de Cahn-Hilliard anisotropes d’ordre élevé. Dans la seconde partie, nous proposons des schémas semi-discrets semi-implicites et implicites et totalement discrétisés afin de résoudre l’équation aux dérivées partielles non linéaire décrivant à la fois les effets élastiques et électrostatiques de condensateurs MSEM. Nous faisons une analyse théorique de ces schémas et de la convergence sous certaines conditions. De plus, plusieurs simulations numériques illustrent et appuient les résultats théoriques. / This thesis is devoted to the theoretical and numerical study of several nonlinear partial differential equations, which occur in the mathematical modeling of phase separation and micro-electromechanical system (MEMS). In the first part, we study higher-order phase separation models for which we obtain well-posedness and dissipativity results, together with the existence of global attractors and, in certain cases, numerical simulations. More precisely, we consider in this first part higher-order Allen-Cahn and Cahn-Hilliard equations with a regular potential and higher-order Allen-Cahn equation with a logarithmic potential. Moreover, we study higher-order anisotropic models and higher-order generalized Cahn-Hilliard equations, which have applications in biology, image processing, etc. We also consider the hyperbolic relaxation of higher-order anisotropic Cahn-Hilliard equations. In the second part, we develop semi-implicit and implicit semi-discrete, as well as fully discrete, schemes for solving the nonlinear partial differential equation, which describes both the elastic and electrostatic effects in an idealized MEMS capacitor. We analyze theoretically the stability of these schemes and the convergence under certain assumptions. Furthermore, several numerical simulations illustrate and support the theoretical results.