Dans le cas générique Yu. S. Ilyashenko a donné une solution pour le problème tangentielle du centre et le probème de la monodromie. Néanmoins, on ne connaît pas la solution pour tous les cas non-génériques. Dans cette thèse on étudie une famille des équations hamiltoniennes non-génériques dont l'hamiltonien est un produit de polynômes réels irréductibles de dégre supérieur ou égal à 1. On étudie cette famille dans le but d'avoir un modèle d'équation hamiltonienne qui nous permette de comprendre d'autres cas non-génériques. Cette famille ne satisfait pas necessairement les conditions de généricité de transversalité à l'infini et n'a pas nécessairement tous les points singuliers aux niveaux distincts. Nous considerons quelques conditions géomètriques sur les hamiltoniens qu'on appelle bon partage du plan proyective réel et bonne multiplicité à l'infini. Ces conditions nous servent pour calculer l'orbite par monodromie des cycles évanescents. On résout le problème de la monodromie pour deux sous-familles dans cette famille d'hamiltoniennes. Une d'elles satisfait que tous les points critiques de type centre sont à des niveux critiques distincts, et l'autre satisfait que l'hamiltonien est invariant par la réflexion par rapport à l'axe des y. En utilisant la solution du problème de la monodromie on résout aussi le problème tangentiel du centre pour ces familles. / In the generic case Yu. S. Ilyashenko gave a solution of the tangential center problem and the monodromy problem. However, a solution for all non-generic cases is not known. In this thesis we study a family of non-generic Hamiltonians, whose Hamiltonian is a product of real polynomials of degree equal or bigger than 1. We study this family with the idea that a good understanding of this Hamiltonian model could help us to understand other non-generic cases later. In this family the genericity assumption of transversality at infinity fails and the coincidence of the critical values for different critical points is allowed. We consider some geometric conditions on the Hamiltonians of this family that we call good divide of the real projective plane and good multiplicity at infinity. These conditions help us to compute the orbit under monodromy of vanishing cycles. We give a solution of the monodromy problem of two sub-families in this family. One of them satisfying that all the center critical points are at different critical levels, and the other satisfying that the Hamiltonian is invariant under the reflection with respect to the y-axis. Using the solution of the monodromy problem we also provide a solution of the tangential center problem for those families.

Nesta tese abordaremos dois tipos de problemas relacionados aos célebres Teorema da Fibração de Milnor e Teorema da Fibração de Milnor-Lê para o caso real com valores críticos não isolados. Primeiramente, asseguramos fibrações do tipo Milnor-Lê para F : (Xm, 0) &rarr; (Yn, 0), germe de aplicação subanalítico com X e Y espaços subanalíticos sobre C \\ {0} uma curva subanalítica conexa em Y e sobre um subespaço analítico suave W &sub; Y de dimensão p, n &ge; p &ge; 2, sob algumas condições. Em particular, mostramos a existência das fibrações sobre o discriminantes de germe de aplicações subanalíticos, caso esse ainda não estudado na literatura, normalmente o conjunto dos valores críticos são desconsiderados. Finalizando nossa análise da categoria subanalítica, certificamos que existe a fibração de Milnor-Lê para f : (X, 0) &rarr;(Rp, 0), com dimensão de X maior que p &ge; 2, subanalítica e X subanalítico com valores críticos não isolados, definindo d-regularidade. Abordamos estes problemas utilizando resultados de campos de vetores rugosos. Em uma segunda etapa apresentamos um novo critério necessário e suficiente para verificar a importante propriedade de transversalidade de um germe de aplicação real f de classe Cl, l &ge; 1. Fazendo uso também de uma recente ferramenta desenvolvida, a D-regularidade, verificamos condições para a existência das fibrações do germe de aplicação &Psi; F, X : (Cn, 0) &rarr; (C, 0) não holomorfo, dado por &Psi; (z, z&#772;) = &Sigma;nj=1 kjtjzj a<sub<jzj bj, aj, bj &ge; 0 com aj = bj para pelo menos um j e aj &ne; bj para ao menos um j, com j = 1, ... , n. Observamos que &Psi;F, X são polinômios homogêneos pesados mistos com R+ -ação. Consideramos &Psi;F, X : (R2n ,0) &rarr; (R2, 0) germe de aplicação analítico real. Estudamos a topologia dessas fibrações nos reais, constatando que o discriminante tem dimensão 1 e por isso tem ambas as fibrações conhecidas. Por fim exibimos um homeomorfismo entre as fibras dos valores regulares e dos valores críticos. / In this thesis two types of problems related to the famous Milnor Fibration Theorem and Milnor-Lê Fibration Theorem for the real case with non-isolated critical values will be addressed. Primarily, we assure the fibrations of type Milnor-Lê for the germ F : (X, 0) &rarr; (Y, 0) subanalytic with X and Y subanalytic spaces on C \\ {0} a subanalytic connected curve in Y and over a smooth analytical subspace W &sub; Y of dimension p, n &ge p &ge; 2, under some conditions. In particular, we show the existence of the fibrations about the discriminants of subanalytical map-germ, if this not been studied in the literature, usually the set of critical values are disregarded. Finalizing our analysis of this subanalytic category, we certify that there exist the fibrations of type Milnor-Lê to f : (X, 0) &rarr; (Rp, 0), with dimension of X greater than p &ge; 2, subanalytic and X subanalytic with non-isolated critical values, setting d -regularity. We address these problems using results of the rugose vector fields. In a second part, we present a new necessary and sufficient criterion to verify the important transversality property of a real map-germ f of class Cl, l &ge; 1. Using a recent developed tool, D-regularity, we verify conditions for the existence of the fibrations of map-germ &Psi; F, X : (Cn, 0) &rarr; (C, 0) non holomorphic, given by &Psi; (z, z&#772;) = &Sigma;nj=1 kjtjzj ajzb<sup<j, aj, bj &ge; 0 with aj = bj for at least one j and aj &ne; bj for at leeast one j = 1, ..., n. We note that &Psi; F, X are mixed weighted homogeneous polynomials with R+-action. We consider &Psi;F, X : (R2n, 0) &rarr; (R2, 0) real analytic map-germ. We studied the topology of these fibrations, noting that the discriminant has dimension 1 and therefore has both the fibrations known. Lastly we show a homeomorphism between the fibers of the regular values and the critical values for a case special this family.

Este trabalho é constituido por duas partes. Na primeira parte, obtivemos algumas generalizações do clássico Teorema de Borsuk-Ulam em termos de (H,G)-coincidências. Na segunda parte, estendemos a caracterização dos germes de aplicações triviais, em codimensão 3, pelas fibrações de Milnor iniciada por Church e Lamotke em [11]. Usamos essa caracterização na classificação global de singularidades isoladas em dimensões (6, 3) / This work consists of two parts. In the first part, we obtain some generalizations of the classical Borsuk-Ulam Theorem in terms of (H,G)-coincidences. In the second part, we extend the characterization of trivial map germs, in codimension 3, by the Milnor fibrations started by Church and Lamotke in [11]. We use this characterization in the global classification of isolated singularities in dimensions (6, 3)

Este trabalho é constituido por duas partes. Na primeira parte, obtivemos algumas generalizações do clássico Teorema de Borsuk-Ulam em termos de (H,G)-coincidências. Na segunda parte, estendemos a caracterização dos germes de aplicações triviais, em codimensão 3, pelas fibrações de Milnor iniciada por Church e Lamotke em [11]. Usamos essa caracterização na classificação global de singularidades isoladas em dimensões (6, 3) / This work consists of two parts. In the first part, we obtain some generalizations of the classical Borsuk-Ulam Theorem in terms of (H,G)-coincidences. In the second part, we extend the characterization of trivial map germs, in codimension 3, by the Milnor fibrations started by Church and Lamotke in [11]. We use this characterization in the global classification of isolated singularities in dimensions (6, 3)

Nesta tese abordaremos dois tipos de problemas relacionados aos célebres Teorema da Fibração de Milnor e Teorema da Fibração de Milnor-Lê para o caso real com valores críticos não isolados. Primeiramente, asseguramos fibrações do tipo Milnor-Lê para F : (Xm, 0) &rarr; (Yn, 0), germe de aplicação subanalítico com X e Y espaços subanalíticos sobre C \\ {0} uma curva subanalítica conexa em Y e sobre um subespaço analítico suave W &sub; Y de dimensão p, n &ge; p &ge; 2, sob algumas condições. Em particular, mostramos a existência das fibrações sobre o discriminantes de germe de aplicações subanalíticos, caso esse ainda não estudado na literatura, normalmente o conjunto dos valores críticos são desconsiderados. Finalizando nossa análise da categoria subanalítica, certificamos que existe a fibração de Milnor-Lê para f : (X, 0) &rarr;(Rp, 0), com dimensão de X maior que p &ge; 2, subanalítica e X subanalítico com valores críticos não isolados, definindo d-regularidade. Abordamos estes problemas utilizando resultados de campos de vetores rugosos. Em uma segunda etapa apresentamos um novo critério necessário e suficiente para verificar a importante propriedade de transversalidade de um germe de aplicação real f de classe Cl, l &ge; 1. Fazendo uso também de uma recente ferramenta desenvolvida, a D-regularidade, verificamos condições para a existência das fibrações do germe de aplicação &Psi; F, X : (Cn, 0) &rarr; (C, 0) não holomorfo, dado por &Psi; (z, z&#772;) = &Sigma;nj=1 kjtjzj a<sub<jzj bj, aj, bj &ge; 0 com aj = bj para pelo menos um j e aj &ne; bj para ao menos um j, com j = 1, ... , n. Observamos que &Psi;F, X são polinômios homogêneos pesados mistos com R+ -ação. Consideramos &Psi;F, X : (R2n ,0) &rarr; (R2, 0) germe de aplicação analítico real. Estudamos a topologia dessas fibrações nos reais, constatando que o discriminante tem dimensão 1 e por isso tem ambas as fibrações conhecidas. Por fim exibimos um homeomorfismo entre as fibras dos valores regulares e dos valores críticos. / In this thesis two types of problems related to the famous Milnor Fibration Theorem and Milnor-Lê Fibration Theorem for the real case with non-isolated critical values will be addressed. Primarily, we assure the fibrations of type Milnor-Lê for the germ F : (X, 0) &rarr; (Y, 0) subanalytic with X and Y subanalytic spaces on C \\ {0} a subanalytic connected curve in Y and over a smooth analytical subspace W &sub; Y of dimension p, n &ge p &ge; 2, under some conditions. In particular, we show the existence of the fibrations about the discriminants of subanalytical map-germ, if this not been studied in the literature, usually the set of critical values are disregarded. Finalizing our analysis of this subanalytic category, we certify that there exist the fibrations of type Milnor-Lê to f : (X, 0) &rarr; (Rp, 0), with dimension of X greater than p &ge; 2, subanalytic and X subanalytic with non-isolated critical values, setting d -regularity. We address these problems using results of the rugose vector fields. In a second part, we present a new necessary and sufficient criterion to verify the important transversality property of a real map-germ f of class Cl, l &ge; 1. Using a recent developed tool, D-regularity, we verify conditions for the existence of the fibrations of map-germ &Psi; F, X : (Cn, 0) &rarr; (C, 0) non holomorphic, given by &Psi; (z, z&#772;) = &Sigma;nj=1 kjtjzj ajzb<sup<j, aj, bj &ge; 0 with aj = bj for at least one j and aj &ne; bj for at leeast one j = 1, ..., n. We note that &Psi; F, X are mixed weighted homogeneous polynomials with R+-action. We consider &Psi;F, X : (R2n, 0) &rarr; (R2, 0) real analytic map-germ. We studied the topology of these fibrations, noting that the discriminant has dimension 1 and therefore has both the fibrations known. Lastly we show a homeomorphism between the fibers of the regular values and the critical values for a case special this family.

Neste projeto apresentamos os teoremas de estrutura, decomposição celular, e o teorema da existência da triangulação para conjuntos semi-algébricos compactos. Como aplicações destes teoremas mostramos o lema de seleção da curva local e global. Além disso, apresentamos uma breve descrição da topologia da fibra de Milnor local e global, bem como alguns resultados sobre o grau de conexidade da fibra genérica global de uma função polinomial complexa, que mostram a íntima relação entre o grau de conexidade com a dimensão do conjunto singular. / In this project we present some structure theorems, cell decomposition, and the theorem on the existence of triangulation for compact semi-algebraic sets. As applications we prove the curve selection lemma in the local and global cases. Moreover, we present a brief description about the topology of local and global Milnor´s fibers, as well as, some results about the connectivity degree of the generic fibers of a complex polynomial function, that show the close relation between the connectivity degree and the dimension of the singular locus.

Neste projeto apresentamos os teoremas de estrutura, decomposição celular, e o teorema da existência da triangulação para conjuntos semi-algébricos compactos. Como aplicações destes teoremas mostramos o lema de seleção da curva local e global. Além disso, apresentamos uma breve descrição da topologia da fibra de Milnor local e global, bem como alguns resultados sobre o grau de conexidade da fibra genérica global de uma função polinomial complexa, que mostram a íntima relação entre o grau de conexidade com a dimensão do conjunto singular. / In this project we present some structure theorems, cell decomposition, and the theorem on the existence of triangulation for compact semi-algebraic sets. As applications we prove the curve selection lemma in the local and global cases. Moreover, we present a brief description about the topology of local and global Milnor´s fibers, as well as, some results about the connectivity degree of the generic fibers of a complex polynomial function, that show the close relation between the connectivity degree and the dimension of the singular locus.