Cette thèse est consacrée à l'étude de décompositions trajectorielles de processus de Lévy spectralement positifs et des relations de dualité pour des processus de ramification, motivée par l'utilisation de ces derniers comme modèles probabilistes d'une dynamique épidémiologique. Nous modélisons l'arbre de transmission d'une maladie comme un arbre de ramification, où les individus évoluent indépendamment les uns des autres, ont des durées de vie i.i.d. (périodes d'infectiosité) et donnent naissance (infections secondaires) à un taux constant durant leur vie. Le processus d'incidence dans ce modèle est un processus de Crump-Mode-Jagers (CMJ) et le but principal des deux premiers chapitres est d'en caractériser la loi conjointement avec l'arbre de transmission partiellement observé, inferé à partir des données de séquences. Dans le Chapitre I, nous obtenons une description en termes de fonctions génératrices de la loi du nombre d'individus infectieux, conditionnellement à l'arbre de transmission reliant les individus actuellement infectés. Une version plus élégante de cette caractérisation est donnée dans le Chapitre II, en passant par un résultat général d'invariance par retournement du temps pour une classe de processus de ramification. Finallement, dans le Chapitre III nous nous intéressons à la loi d'un processus de ramification (sous)critique vu depuis son temps d'extinction. Nous obtenons un résultat de dualité qui implique en particulier l'invariance par retournement du temps depuis leur temps d'extinction des processus CMJ (sous)critiques et de l'excursion hors de 0 de la diffusion de Feller critique (le processus de largeur de l'arbre aléatoire de continuum). / This dissertation is devoted to the study of some pathwise decompositions of spectrally positive Lévy processes, and duality relationships for certain (possibly non-Markovian) branching processes, driven by the use of the latter as probabilistic models of epidemiological dynamics. More precisely, we model the transmission tree of a disease as a splitting tree, i.e. individuals evolve independently from one another, have i.i.d. lifetimes (periods of infectiousness) that are not necessarily exponential, and give birth (secondary infections) at a constant rate during their lifetime. The incidence of the disease under this model is a Crump-Mode-Jagers process (CMJ); the overarching goal of the two first chapters is to characterize the law of this incidence process through time, jointly with the partially observed (inferred from sequence data) transmission tree. In Chapter I we obtain a description, in terms of probability generating functions, of the conditional likelihood of the number of infectious individuals at multiple times, given the transmission network linking individuals that are currently infected. In the second chapter, a more elegant version of this characterization is given, passing by a general result of invariance under time reversal for a class of branching processes. Finally, in Chapter III we are interested in the law of the (sub)critical branching process seen from its extinction time. We obtain a duality result that implies in particular the invariance under time reversal from their extinction time of the (sub)critical CMJ processes and the excursion away from 0 of the critical Feller diffusion (the width process of the continuum random tree).

Ces dernières années, la puissance croissante des ordinateurs a permis à la fois de rassembler une quantité sans précédent de données décrivant la société moderne et d'envisager des outils numériques capables de s'attaquer à l'analyse et la modélisation les processus dynamiques qui se déroulent dans cette réalité complexe. Dans cette perspective, l'approche quantitative de la physique est un des catalyseurs de la croissance de nouveaux domaines interdisciplinaires visant à la compréhension des systèmes complexes techno-sociaux. Dans cette thèse, nous présentons dans cette thèse un cadre théorique et numérique pour simuler des épidémies de maladies infectieuses émergentes dans des contextes réalistes. Dans ce but, nous utilisons le rôle crucial de la mobilité des agents dans la diffusion des maladies infectieuses et nous nous appuyons sur l'étude des réseaux complexes pour gérer les ensembles de données à grande échelle décrivant les interconnexions de la population mondiale. En particulier, nous abordons deux différents problèmes de santé publique. Tout d'abord, nous considérons la propagation d’une épidémie au niveau mondial, et présentons un modèle de mobilité (GLEAM) conçu pour simuler la propagation d'une maladie de type grippal à l'échelle globale, en intégrant des données réelles de mobilité dans le monde entier. La dernière pandémie de grippe H1N1 2009 a démontré la nécessité de modèles mathématiques pour fournir des prévisions épidémiques et évaluer l'efficacité des politiques d'interventions. Dans cette perspective, nous présentons les résultats obtenus en temps réel pendant le déroulement de l'épidémie, ainsi qu'une analyse a posteriori portant sur les stratégies de lutte et sur la validation du modèle. Le deuxième problème que nous abordons est lié à la propagation de l'épidémie sur des systèmes en réseau dépendant du temps. En particulier, nous analysons des données décrivant les mouvements du bétail en Italie afin de caractériser les corrélations temporelles et les propriétés statistiques qui régissent ce système. Nous étudions ensuite la propagation d'une maladie infectieuse, en vue de caractériser la vulnérabilité du système et de concevoir des stratégies de contrôle. Ce travail est une approche interdisciplinaire qui combine les techniques de la physique statistique et de l'analyse des systèmes complexes dans le contexte de la mobilité des agents et de l'épidémiologie numérique. / In recent years, the increasing availability of computer power has enabled both to gather an unprecedented amount of data depicting the global interconnections of the modern society and to envision computational tools able to tackle the analysis and the modeling of dynamical processes unfolding on such a complex reality. In this perspective, the quantitative approach of Physics is catalyzing the growth of new interdisciplinary fields aimed at the understanding of complex techno-socio-ecological systems. By recognizing the crucial role of host mobility in the dissemination of infectious diseases and by leveraging on a network science approach to handle the large scale datasets describing the global interconnectivity, in this thesis we present a theoretical and computational framework to simulate epidemics of emerging infectious diseases in real settings. In particular we will tackle two different public health related issues. First, we present a Global Epidemic and Mobility model (GLEaM) that is designed to simulate the spreading of an influenza-like illness at the global scale integrating real world-wide mobility data. The 2009 H1N1 pandemic demonstrated the need of mathematical models to provide epidemic forecasts and to assess the effectiveness of different intervention policies. In this perspective we present the results achieved in real time during the unfolding of the epidemic and a posteriori analysis on travel related mitigation strategies and model validation. The second problem that we address is related to the epidemic spreading on evolving networked systems. In particular we analyze a detailed dataset of livestock movements in order to characterize the temporal correlations and the statistical properties governing the system. We then study an infectious disease spreading, in order to characterize the vulnerability of the system and to design novel control strategies. This work is an interdisciplinary approach that merges statistical physics techniques, complex and multiscale system analysis in the context of hosts mobility and computational epidemiology.

La modélisation des maladies infectieuses représente un outil important pour évaluer la vulnérabilité d'une population à l'introduction d'un nouveau agent pathogène. La possibilité d’enregistrer les contacts responsables de la propagation des maladies représente à la fois une ressource et un défi pour les modèles épidémiques. En particulier, l'interaction entre la dynamique des maladies et l'évolution dans le temps des structures de contact influence la façon dont les agents pathogènes se propagent, en changeant les conditions qui mènent à une flambée épidémique (seuil épidémique). Jusqu'à maintenant, les chercheurs n'ont caractérisé le seuil épidémique sur des structures de contact qui évoluent dans le temps que dans des contextes spécifiques. En utilisant un formalisme multi-couches, nous calculons analytiquement le seuil épidémique sur un réseau temporel générique. Nous utilisons cette méthode pour évaluer l'impact de la résolution temporelle et la durée du réseau sur l'estimation du seuil. De plus, grâce à cette méthode, nous évaluons la vulnérabilité globale de différents systèmes à l'introduction d'agents pathogènes, et en particulier nous analysons les réseaux de mouvements des bovins. Les données de contact souvent ne sont pas disponible en temps réel, et cela limite notre capacité de prévision. Pour répondre à ça, nous développons une méthodologie numérique pour prédire le risque épidémique ciblé, qui repose uniquement sur les données de contact passées. Notre travail fournit de nouvelles méthodologies pour évaluer et prédire le risque associé à un agent pathogène émergent, à la fois à l'échelle de la population et en ciblant des hôtes spécifiques. / Infectious disease modeling represents a powerful tool for assessing the vulnerability of a population to the introduction of a new infectious pathogen. The increased availability of highly resolved data tracking host interactions is making epidemic models potentially increasingly accurate. Integrating into them all the features emerging from these data, however, still represents a challenge. In particular, the interaction between disease dynamics and the time evolution of contact structures has been shown to impact the way pathogens spread, changing the conditions that lead to the wide-spreading regime, as encoded in epidemic threshold. Up to now researchers have characterized the epidemic threshold on time evolving contact structures only in specific settings. Using a multilayer formalism, we analytically compute the epidemic threshold on a generic temporal network, accounting for several different disease features. We use this methodology to assess the impact of time resolution and network duration on the estimation of the threshold. Then, thanks to it, we assess the global vulnerability of different systems to pathogen introduction, and in particular we analyze the networks of cattle trade movements Data collection strategies often inform us only about past network configurations, and that limits our prediction capabilities. We face this by developing a data-driven methodology for predicting targeted epidemic that relies only past contact data. Our work provides new methodologies for assessing and predicting the risk associated to an emerging pathogen, both at the population scale and targeting specific hosts.