The one dimensional position dependent effective mass problem is studied by solving the Schr&ouml / dinger equation for some well known potentials, such as the deformed Hulthen, the Mie, the Kratzer, the pseudoharmonic, and the Morse potentials. Nikiforov-Uvarov method is used in the calculations to get energy eigenvalues and the corresponding wave functions exactly. By introducing a free parameter in the transformation of the wave function, the position dependent effective mass problem is reduced to the solution of the Schr&ouml / dinger equation for the constant mass case. At the same time, the deformed Hulthen potential is solved for the position dependent effective mass case by applying the method directly. The Morse potential is also solved for a mass distribution function, such that the solution can be reduced to the constant mass case.

Pour décrire les vibrations à l'intérieur des molécules diatomiques, le potentiel de Morse est une meilleure approximation que le système de l'oscillateur harmonique. Ainsi, en se basant sur la définition des états cohérents et comprimés donnée dans le cadre du problème de l'oscillateur harmonique, la première partie de ce travail suggère une construction des états cohérents et comprimés pour le potentiel de Morse. Deux types d’états seront construits et leurs différentes propriétés seront étudiées en portant une attention particulière aux trajectoires et aux dispersions afin de confirmer la quasi-classicité de ces états. La deuxième partie de ce travail propose d'insérer ces deux types d’états cohérents et comprimés de Morse dans un miroir semi-transparent afin d'introduire un nouveau moyen de créer de l'intrication. Cette intrication sera mesurée à l’aide de l’entropie linéaire et nous étudierons la dépendance par rapport aux paramètres de cohérence et de compression. / In order to describe the vibrations inside a diatomic molecule, the Morse potential is a better approximation than the harmonic oscillator system. Thus, based on the definition of the coherent states given in the context of the harmonic oscillator, the first part of this work suggests a construction for the squeezed coherent states of the Morse potential. Two types of states will be constructed and their diverse properties will be studied with special attention to the trajectories and dispersions in order to confirm their quasi-classicity. The second part of this work proposes to insert those two types of Morse squeezed coherent states in a beam splitter in order to introduce a new way of creating entanglement. This entanglement will be measured by the linear entropy and we will study the dependence with the coherence and squeezing parameters.

Le présent mémoire est dédié à l’étude du rôle de la mécanique quantique supersymétrique dans la construction d’opérateurs d’échelle et de leurs applications pour le système quantique de Rosen-Morse. L’aboutissement de ces travaux est contenu dans un article qui constitue le dernier chapitre du mémoire. Précisément, on motive l’échec de la réalisation des opérateurs d’échelle comme opérateurs différentiels pour le potentiel de Rosen-Morse avec les méthodes traditionnelles. On exploite la propriété d’invariance de forme dans le contexte de la mécanique quantique supersymétrique comme un outil alternatif pour offrir une première approche quantique à la réalisation des opérateurs d’échelle pour la version hyperbolique de ce potentiel. On utilise cette réalisation pour obtenir celle d’opérateurs d’échelle pour une classe particulière d’extensions rationnelles du potentiel de Rosen-Morse hyperbolique avec des techniques issues de la supersymétrie. Des états cohérents sont construits à partir des réalisations obtenues pour les différents systèmes. Certaines de leurs propriétés sont analysées et mises en comparaison. En parallèle, on utilise une transformation canonique ponctuelle pour déduire une première réalisation des opérateurs d’échelle comme opérateurs différentiels pour le système de Rosen-Morse trigonométrique. De cette réalisation sont construits des états cohérents pour lesquels des propriétés sont similairement analysées. / This master thesis is dedicated to the study of the role of supersymmetric quantum mechanics in the construction of ladder operators and of their applications for the quantum Rosen-Morse system. The results of this work are presented in an article that constitutes the last chapter of the thesis. Precisely, we motivate the failure of traditional methods in providing a realization for the Rosen-Morse ladder operators as differential operators. We provide a first quantum-based solution to this problem by using the shape invariance property in supersymmetric quantum mechanics as a tool in the construction of the ladder operators for the hyperbolic version of this potential. We use the latter realization to obtain that of a specific class of rational extensions of the hyperbolic Rosen-Morse system by means of supersymmetric techniques. Coherent states are constructed from the ladder operators obtained for the different systems. Some properties are analyzed and compared. In addition, we make use of a point canonical transformation in the derivation of the first realization of the ladder operators of the trigonometric Rosen-Morse system as differential operators. From this realization, we construct coherent states for which some properties are similarly analyzed.

Dans cette thèse, nous discutons de la dégénérescence et de la construction d’états cohérents généralisés dans les systèmes quantiques en deux dimensions d’espace. Nous développons un schéma pour obtenir des spectres non dégénérés et des combinaisons linéaires appropriées des états propres d’énergie correspondants. Lorsque la dégénérescence dans le spectre d’énergie est linéaire dans les nombres quantiques, nous définissons des opérateurs d’échelle général- isés qui conduisent à une chaîne d’états avec un ensemble naturel de coefficients. De plus, nous récupérons des relations de complétude pour les états généralisés. Lorsque le spectre d’énergie est quadratique dans les nombres quantiques, nous utilisons certains résultats de la théorie des nombres pour catégoriser la dégénérescence et, par conséquent, les combinaisons linéaires appropriées des états propres d’énergie associés. En particulier, nous étudions des oscillateurs harmoniques bidimensionnels isotropes et anisotropes ainsi que le potentiel Morse bidimensionnel et son partenaire supersymétrique non séparable. Dans tous les cas, nous construisons des états cohérents et discutons certains aspects de leur caractère non classique. On retrouve une certaine compression dans les quadratures conjuguées, une dépendance non triviale des variances des quadratures vis-à-vis des paramètres introduits lors de la définition des spectres non dégénérés, et un problème de localisation pour les fonctions d’onde. Comme application, nous étudions le problème de la quantification et de l’analyse semi-classique de l’espace des phases en deux dimensions en exploitant la complétude des familles généralisées d’états cohérents comprimés en deux dimensions. / In this thesis we discuss degeneracy and the construction of generalised coherent states in two-dimensional quantum systems. We develop a scheme for defining non-degenerate spectra and the corresponding averaged energy eigenstates. When the degeneracy in the spectrum is linear in the quantum numbers, we are able to define generalised ladder operators which lead to a chain of states with a natural set of coefficients. Additionally, we are able to recover completeness relations for the generalised states. On the other hand, when the spectrum is quadratic in the quantum numbers, we utilise some results from number theory to categorise the degeneracy and correspondingly the averaged energy eigenstates. In particular we study the two-dimensional isotropic and anisotropic oscillators as well the two-dimensional Morse potential and its non-separable supersymmetric partner. In all cases, we compute the coherent states and discuss certain aspects of their non-classicality. We find squeezing between conjugate quadratures, non-trivial dependence of the quadrature variances on the parameters introduced when defining the non-degenerate spectra, and non-localisation of wavefunctions. As an application, we study the problem of quantisation and semiclassical phase space analysis in two dimensions by exploiting the completeness of generalised families of two-dimensional squeezed coherent states.