Cette thèse est une contribution au problème de détection de fines structures tubulaires dans une image2-D ou 3-D. Nous avons plus précisément en vue le cas des images angiographiques. Celles-ci étant bruitées, les vaisseaux ne se détachent pas nettement du reste de l’image, la question est donc de segmenter avec précision le réseau sanguin. Le cadre théorique de ce travail est le calcul des variations eten particulier l'énergie de Mumford-Shah. Cependant, ce modèle n'est adapté qu'à la détection de structures volumiques étendues dans toutes les directions de l’image. Le but de ce travail est donc deconstruire une énergie qui favorise les ensembles qui ne sont étendus que dans une seule direction, cequi est le cas de fins tubes. Pour cela, une nouvelle inconnue est introduite, une métrique Riemannienne,qui a pour but la détection de la structure géométrique de l’image. Une nouvelle formulation de l’énergie de Mumford-Shah est donnée avec cette nouvelle métrique. La preuve de l'existence d'une solution au problème de la minimisation de l’énergie est apportée. De plus, une approximation par gamma-convergence est démontrée, ce qui permet ensuite de proposer et de mettre en oeuvre une implémentation numérique. / This thesis is a contribution to the fine tubular structures detection problem in a 2-D or 3-D image. We arespecifically interested in the case of angiographic images. The vessels are surrounded by noise and thenthe question is to segment precisely the blood network. The theoretical framework of our work is thecalculus of variations and we focus on the Mumford-Shah energy. Initially, this model is adapted to thedetection of volumetric structures extended in all directions of the image. The aim of this study is to buildan energy that favors sets which are extended in one direction, which is the case of fine tubes. Then, weintroduce a new unknown, a Riemannian metric, which captures the geometric structure at each point ofthe image and we give a new formulation of the Mumford-Shah energy adapted to this metric. Thecomplete analysis of this model is done: we prove that the associated problem of minimization is wellposed and we introduce an approximation by gamma-convergence more suitable for numerics. Eventually,we propose numerical experimentations adapted to this approximation.

L'objectif de cette thèse est d'apporter les outils nécessaires à l'exploitation et à la gestion durable de la ressource des aquifères karstiques côtiers à exutoires sous-marins. Dans un premier temps, à partir d'études anciennes, la nature des relations entre la mer et ces karsts a été précisée (phénomènes d'intrusion saline et de sorties sous-marines d'eau douce ou saumâtre). Toutefois, à cause du manque de mesures fiables, ces travaux se sont révélés insuffisants pour comprendre le fonctionnement de ces aquifères en relation avec la mer. Trois systèmes karstiques côtiers particuliers à exutoires sous-marins ont alors été étudiés, tous situés sur le littoral méditerranéen. Il s'agit du système de la Mortola situé en Italie et en France, de celui de Moraig-Toix en Espagne et du système de Thau en France. La démarche d'étude adoptée comprend d'abord une analyse du bassin d'alimentation de la source, de la structure interne et du caractère karstique de l'aquifère. Cette première partie permet de caractériser la nature des connexions mer-aquifère. Cette information est nécessaire pour comprendre les relations eau douce-eau de mer. Ensuite, une étude du fonctionnement hydrogéologique des trois aquifères a été conduite sur un cycle hydrologique. Elle a nécessité la mesure, à la source et dans les conduits principaux en connexion avec la mer, des débits ou de la charge hydraulique et de la température et conductivité électrique. Les données de précipitations sur le bassin d'alimentation ont également été collectées, ce qui a permis de construire, pour chaque système, un modèle hydrogéologique reliant débit et salinité aux précipitations. Les résultats de cette étude révèlent que le fonctionnement des aquifères diffère selon le karst en présence. Pour la Mortola, le karst est peu fonctionnel, les débits sont limités et l'eau est douce toute l'année. Le karst de Moraig-Toix est bien développé en profondeur ; ouvert en plusieurs endroits sur le milieu marin, il est caractérisé par une forte intrusion saline. Les débits sont importants et l'eau est saumâtre toute l'année. Enfin le système karstique de Thau est bien développé ; partiellement isolé du milieu marin, l'eau est relativement douce toute l'année et les débits sont importants. Ces exemples montrent que les karsts des régions méditerranéennes ont été pour l'essentiel mis en place à la faveur de la crise messinienne de salinité, responsable de la création d'un potentiel de karstification exceptionnel. Il ressort de ce travail que le fonctionnement des systèmes karstiques côtiers est induit par leur structure et par la nature de leurs connexions avec la mer. On propose une classification en trois catégories des aquifères karstiques côtiers. En fonction du type de système karstique en présence, différentes solutions techniques sont proposées soit pour recueillir l'eau douce de ces sources sans risquer de contaminer l'aquifère, soit pour rendre l'eau de l'aquifère potable en stoppant l'intrusion saline.