Nesse trabalho, estudamos o método do referencial móvel e sistemas diferenciais exteriores. Estabelecemos resultados de Geometria Riemanniana via referenciais móveis e com essa linguagem introduzimos o Teorema de Gauss-Bonnet-Chern e apresentamos uma adaptação da demonstração original de S.-S. Chern presente no artigo A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds. Ao abordar aspectos da teoria de Cartan-Kähler, codificamos as ideias oriundas dos referenciais móveis em sistemas diferenciais exteriores e mostramos algumas aplicações à Geometria Riemanniana. / In this work, we study the method of moving frame and exterior differential systems. We set up results of Riemannian Geometry via moving frames and with this language we introduce the Gauss-Bonnet-Chern Theorem and present an adaptation of the original proof of S.-S. Chern in the article A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifolds. In discussing aspects of Cartan-Kählers theory, we encode the ideas from moving frames into exterior differential systems and use this tool in Riemannian Geometry.

Orientador: Samuel da Silva / Resumo: Os métodos envolvendo simetria têm grande importância para o estudo das equações diferenciais decorrentes de áreas como a matemática, física, engenharia entre muitas outras. A existência de simetrias em equações diferenciais pode gerar transformações em variáveis dependentes e independentes que podem facilitar a integração. Em especial, Sophus Lie desenvolveu no século XIX uma forma de extração de simetrias que podem ser usadas efetivamente para revelar as integrais primeiras, ou seja, as constantes de movimento, que muitas vezes podem estar escondidas. Estes invariantes podem em algumas situações ser identificados pelo teorema de Noether ou a partir de manipulações das próprias equações com transformações de Lie. Assim, nesta tese foi proposto utilizar as simetrias de Lie para aplicação em problemas da dinâmica de sistemas mecânicos. As simetrias de Lie são aplicadas em dois problemas clássicos, primeiro em um pêndulo oscilando em um aro rotativo e em seguida em um pião simétrico com movimento de precessão estacionária com um ponto fixo. No primeiro problema foi realizada uma redução de ordem para solução por quadraturas da equação de movimento. Já no segundo foram mostradas as relações entre os invariantes e as leis de conservação extraídas das simetrias de Lie. Uma outra análise foi realizada através da teoria de referencial móvel, mostrando a possibilidade de outras aplicações das simetrias de Lie. Uma das aplicações desta teoria, também é a redução de ordem das equações ... (Resumo completo, clicar acesso eletrônico abaixo) / Abstract: The methods involving symmetry are of great importance for the study of the di erential equations arising from areas such as mathematics, physics, engineering among many others. The existence of symmetries in di erential equations can generate transformations in dependent and independent variables that may be easier to integrate. In particular, Sophus Lie developed in the nineteenth century a form of extraction of symmetries that can be used e ectively to reveal the rst integrals, that is, the motion constants, which can often be hidden. These invariants can in some situations be identi ed by the Noether theorem or from manipulations of the equations themselves with Lie transformations. Thus, in this thesis it was proposed to use the Lie symmetries for application in problems of the dynamics of mechanical systems. The Lie symmetries are applied in two classic problems, rst in a bead on a rotating wire hoop and then in a symmetric top with stationary precession with a xed point. In the rst problem, a reduction of order of the equation of motion was performed by quadratures. In the second one, the relations between the invariants and the conservation laws extracted from the Lie symmetries were shown. Another analysis was performed through the theory of moving frames, showing the possibility of other applications of Lie symmetries. One of the applications of this theory is also the order reduction of the resulting di erential equations. Thus, moving frames were calculated for th... (Complete abstract click electronic access below) / Doutor

Submitted by Claudio Henrique Cerqueira Costa Basquerotto (cbasquerotto@ymail.com) on 2018-05-25T15:27:47Z No. of bitstreams: 1 Tese_Basquerotto.pdf: 7598699 bytes, checksum: 5f0c350de78925517e7db6045e9c3749 (MD5) / Approved for entry into archive by Cristina Alexandra de Godoy null (cristina@adm.feis.unesp.br) on 2018-05-25T17:35:47Z (GMT) No. of bitstreams: 1 basquerotto_chc_dr_ilha.pdf: 7598699 bytes, checksum: 5f0c350de78925517e7db6045e9c3749 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-05-25T17:35:47Z (GMT). No. of bitstreams: 1 basquerotto_chc_dr_ilha.pdf: 7598699 bytes, checksum: 5f0c350de78925517e7db6045e9c3749 (MD5) Previous issue date: 2018-04-20 / Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) / Os métodos envolvendo simetria têm grande importância para o estudo das equações diferenciais decorrentes de áreas como a matemática, física, engenharia entre muitas outras. A existência de simetrias em equações diferenciais pode gerar transformações em variáveis dependentes e independentes que podem facilitar a integração. Em especial, Sophus Lie desenvolveu no século XIX uma forma de extração de simetrias que podem ser usadas efetivamente para revelar as integrais primeiras, ou seja, as constantes de movimento, que muitas vezes podem estar escondidas. Estes invariantes podem em algumas situações ser identificados pelo teorema de Noether ou a partir de manipulações das próprias equações com transformações de Lie. Assim, nesta tese foi proposto utilizar as simetrias de Lie para aplicação em problemas da dinâmica de sistemas mecânicos. As simetrias de Lie são aplicadas em dois problemas clássicos, primeiro em um pêndulo oscilando em um aro rotativo e em seguida em um pião simétrico com movimento de precessão estacionária com um ponto fixo. No primeiro problema foi realizada uma redução de ordem para solução por quadraturas da equação de movimento. Já no segundo foram mostradas as relações entre os invariantes e as leis de conservação extraídas das simetrias de Lie. Uma outra análise foi realizada através da teoria de referencial móvel, mostrando a possibilidade de outras aplicações das simetrias de Lie. Uma das aplicações desta teoria, também é a redução de ordem das equações diferenciais resultantes. Com isso os referenciais móveis foram calculados para os problemas do pêndulo oscilando em um aro rotativo, pião simétrico e apresentando uma aplicação em um problema de vínculo não-holonomo. A partir disto foi possível reduzir a ordem das equações e obter a solução analítica das mesmas. Com isto, esta tese buscou mostrar a aplicação das simetrias de Lie em problemas de dinâmica de sistemas mecânicos através de uma linguagem acessível e que motive a outros engenheiros a se interessarem pelo tema. / The methods involving symmetry are of great importance for the study of the di erential equations arising from areas such as mathematics, physics, engineering among many others. The existence of symmetries in di erential equations can generate transformations in dependent and independent variables that may be easier to integrate. In particular, Sophus Lie developed in the nineteenth century a form of extraction of symmetries that can be used e ectively to reveal the rst integrals, that is, the motion constants, which can often be hidden. These invariants can in some situations be identi ed by the Noether theorem or from manipulations of the equations themselves with Lie transformations. Thus, in this thesis it was proposed to use the Lie symmetries for application in problems of the dynamics of mechanical systems. The Lie symmetries are applied in two classic problems, rst in a bead on a rotating wire hoop and then in a symmetric top with stationary precession with a xed point. In the rst problem, a reduction of order of the equation of motion was performed by quadratures. In the second one, the relations between the invariants and the conservation laws extracted from the Lie symmetries were shown. Another analysis was performed through the theory of moving frames, showing the possibility of other applications of Lie symmetries. One of the applications of this theory is also the order reduction of the resulting di erential equations. Thus, moving frames were calculated for the bead on a rotating wire hoop, symmetric top and showing an application in a nonholonomic problem. From this it was possible to reduce the order of the equations and to obtain the analytical solution of the same ones. So, this thesis sought to show the application of Lie symmetries in problems of dynamics of mechanical systems through an accessible language and that motivate other engineers to take an interest in the subject.