In this paper, finite element discretizations of the degenerated operator -ω²(y) u_xx-ω²(x)u_yy=g in the unit square are investigated, where the weight function satisfies ω(ξ)=ξ^α with α ≥ 0. We propose two multi-level methods in order to solve the resulting system of linear algebraic equations. The first method is a multi-grid algorithm with line-smoother. A proof of the smoothing property is given. The second method is a BPX-like preconditioner which we call MTS-BPX preconditioner. We show that the upper eigenvalue bound of the MTS-BPX preconditioned system matrix grows proportionally to the level number.

In this paper, finite element discretizations of the degenerated operator -ω²(y) u_xx-ω²(x)u_yy=g in the unit square are investigated, where the weight function satisfies ω(ξ)=ξ^α with α ≥ 0. We propose two multi-level methods in order to solve the resulting system of linear algebraic equations. The first method is a multi-grid algorithm with line-smoother. A proof of the smoothing property is given. The second method is a BPX-like preconditioner which we call MTS-BPX preconditioner. We show that the upper eigenvalue bound of the MTS-BPX preconditioned system matrix grows proportionally to the level number.

À l’heure actuelle, les modèles photochimiques utilisés dans la correction des effets de proximitéoptique (OPC) en photolithographie sont devenus complexes et moins physiques afin de permettre decapturer rapidement le maximum d’effets optiques et chimiques. La question de la stabilité de tels modèlespurement empiriques est devenue d’actualité. Dans ce mémoire, nous avons étudié la stabilité desmodèles photochimiques actuels en examinant les différentes causes d’instabilité vis-à-vis des paramètresdu procédé. Dans la suite, nous avons développé une méthode perturbative permettant d’évaluer le critèrede la stabilité. L’obtention de modèles simples et stables nous conduit à séparer les effets optiques desautres effets chimiques. De plus, les approximations utilisées dans la modélisation des systèmes optiquesopérant à grande ouverture numérique entraînent des erreurs résiduelles pouvant dégrader la précisionet la stabilité des modèles OPC. Ainsi, nous nous sommes intéressés à étudier les limites de validitéde l’approximation de Kirchhoff, méthode qui, jusqu’à présent, est la plus utilisée dans la modélisationdu champ proche d’un masque. D’autres méthodes semi-rigoureuses, permettant de modéliser les effetstopographiques, ont été également évaluées. Ces méthodes approchées permettent de gagner en précisionmais dégradent le temps de calcul. Nous avons ainsi proposé différentes façons de corriger les effetstopographiques du masque, tout en gardant l’approximation de Kirchhoff dans la modélisation de la partieoptique. Parmi les méthodes proposées, nous exploitons celle permettant de réduire les erreurs liéesaux effets topographiques du masque par l’intermédiaire d’un second modèle empirique. Nous montronsque pour garantir une précision adéquate, il est nécessaire d’augmenter la complexité du modèle en rajoutantdes termes additionnels. Enfin, pour garantir la stabilité numérique du modèle empirique, nousintroduirons une nouvelle méthode approchée hybride rapide et précise, la méthode des multi-niveaux,permettant d’inclure les effets topographiques par décomposition multi-niveaux du masque fin et discuteronsses avantages et ses limites. / At present, common resist models utilized in photolithography to correct for optical proximity effects(OPC) became complex and less physical in order to capture the maximum of optical and chemical effectsin shorter times. The question on the stability of such models, purely empirical, become topical. In thisthesis, we study the stability of existing OPC models by examining the origins of model instability towardsprocess parameters. Thus, we have developed a perturbative method in order to evaluate the stabilitycriterion. However, achieving stable and simple models needs a separation between optical and otherchemical effects. Besides, multiple approximations, widely utilized in the modeling of optical systemsoperating at high numerical aperture, lead to residual errors which can degrade OPC model accuracyand stability. Thus, we were interested to study the limits of validity of the Kirchhoff approximation,a method which, so far, is the most commonly used in mask near-field modeling. Other semi-rigorousmethods for mask topography effect modeling were also evaluated. These approximate methods canimprove the accuracy but degrades the run time. We then suggested different techniques to correct formask topography effects, while keeping the Kirchhoff approximation in the modeling of the optical part.Among them, we showed that errors due to mask topography effects can be partially captured by asecond empirical model. However, in order to ensure a good accuracy, it is necessary to increase themodel complexity by using more additional empirical terms. Finally, in order to achieve a numericalstability of the empirical model, we introduced a new hybrid fast and accurate method, the multi-levelmethod, which allows us to correct for mask topography effects through a multi-level decomposition ofthe thin mask and discussed its advantages and drawbacks.