This work details the development and implementation of a numerical model capable of solving strongly-coupled fluid-structure interaction problems involving long thin structures, which are common multi-physics problems encountered in many applications. In most fluid-structure interaction problems the deformation of the slender elastic bodies is significant and cannot be described by a purely linear analysis. We present a new formulation to model these larger displacements. By extending the standard modal decomposition technique for linear structural analysis, the governing equations and boundary conditions are updated to account for the leading-order non-linear terms and a new modal formulation with quadratic modes is derived. The quadratic modal approach is tested on standard benchmark problems of increasing complexity and compared with analytical and full non-linear numerical solutions. Two computational fluid-structure interaction approaches are then implemented in a partitioned manner: a finite volume method for discretisation of both the fluid and solid domains and the quadratic modal formulation for the structure coupled with a finite volume fluid solver. Strong-coupling is achieved by means of a fixed-point solver with dynamic relaxation. The fluid-structure interaction approaches are validated and compared on benchmark problems of increasing complexity and strength of coupling between the fluid and solid domains. Fluid-structure interaction systems may become unstable due to the interaction between the fluid-induced pressure and structural rigidity. A thorough stability analysis of finite elastic plates in uniform flow is conducted by varying the structural length and flow velocity showing that these are critical parameters. Validation of the results with those from analytical methods is done. An analysis of the dynamic interactions between multiple finite plates in various configurations is also conducted.

Multiphysics systems with interface coupling are used to model a variety of physical phenomena, such as arterial blood flow, air flow around aeroplane wings, or interactions between surface and ground water flows. Numerical methods enable the practical application of these models through computer simulations. Specifically a high level of detail and accuracy is achieved in finite element methods by discretisations which use extremely large numbers of degrees of freedom, rendering the solution process challenging from the computational perspective. In this thesis we address this challenge by developing a twofold strategy for improving the efficiency of standard finite element coupled solvers. First, we propose to solve a monolithic coupled problem using block-preconditioned GMRES with a new Schur complement approximation. This results in a modular and robust method which significantly reduces the computational cost of solving the system. In particular, numerical tests show mesh-independent convergence of the solver for all the considered problems, suggesting that the method is well-suited to solving large-scale coupled systems. Second, we derive an adjoint-based formula for goal-oriented a posteriori error estimation, which leads to a time-space mesh refinement strategy. The strategy produces a mesh tailored to a given problem and quantity of interest. The monolithic formulation of the coupled problem allows us to obtain expressions for the error in the Lagrange multiplier, which often represents a physically relevant quantity, such as the normal stress on the interface between the problem components. This adaptive refinement technique provides an effective tool for controlling the error in the quantity of interest and/or the size of the discrete system, which may be limited by the available computational resources. The solver and the mesh refinement strategy are both successfully employed to solve a coupled Stokes-Darcy-Stokes problem modelling flow through a cartridge filter.

Για την επίλυση προβλημάτων πολλαπλών πεδίων / πολλαπλών φυσικών έχουν προταθεί διάφορες τεχνικές στη βιβλιογραφία. Οι μέθοδοι χαλάρωσης στις διεπαφές είναι μια ενδιαφέρουσα προσέγγιση για την επίλυση αυτών των προβλημάτων. Υποθέτοντας κάποιες αρχικές τιμές στις διεπαφές του προβλήματος, οι μέθοδοι χαλάρωσης στις διεπαφές επιλύουν επαναληπτικά τα υποπροβλήματα και χαλαρώνουν τις τιμές στις διεπαφές έως ότου επιτευχθεί σύγκλιση. Τα κυριότερα πλεονεκτήματα των μεθόδων αυτών είναι ότι οι ρυθμοί σύγκλισής τους εξαρτώνται μόνο από τις παραμέτρους των ίδιων των προβλημάτων, τις παραμέτρους που σχετίζονται με την ανάλυση των προβλημάτων σε υποπροβλήματα και τις παραμέτρους που σχετίζονται με τον τελεστή που εφαρμόζεται στις διεπαφές. Στην παρούσα μεταπτυχιακή εργασία παρουσιάζεται μια νέα υλοποίηση μιας μεθόδου χαλάρωσης στις διεπαφές, της μεθόδου GEO. Η GEO βασίζεται σε έναν απλό μηχανισμό γεωμετρικής διόρθωσης και δρα επαναληπτικά, ώστε να χαλαρώσει τις τιμές στις διεπαφές. Πιο συγκεκριμένα, προσθέτει στις παλιές τιμές των διεπαφών έναν γεωμετρικά σταθμισμένο συνδυασμό των κανονικών παραγώγων των οριακών σημείων των γειτονικών πεδίων. Η υλοποίηση της μεθόδου GEO γίνεται στην πλατφόρμα FEniCS, η οποία είναι μια συλλογή ελεύθερου λογισμικού για την αυτοματοποιημένη, αποδοτική υλοποίηση διαφορικών εξισώσεων. Η υλοποίηση πραγματοποιείται με τρόπο τέτοιο που ο χρήστης να μπορεί εύκολα να ορίζει τις ιδιότητες των πεδίων του προβλήματος (όπως, γεωμετρία του προβλήματος, τελεστής μερικής διαφορικής εξίσωσης, οριακές συνθήκες, συνθήκες διεπαφών). Στο παρασκήνιο γίνεται η δημιουργία ή / και η βελτιστοποίηση των πλεγμάτων (τριγωνικά στοιχεία) για κάθε πεδίο του προβλήματος, η επίλυση των τοπικών προβλημάτων μερικών διαφορικών εξισώσεων και η εμφάνιση των υπολογισμένων τιμών για το πρόβλημα συνολικά και για τις διεπαφές. Η κυριότερη πρόκληση της υλοποίησης είναι η πρόσβαση στις τιμές των λύσεων στις διεπαφές και η εισαγωγή των χαλαρωμένων τιμών πίσω στα υποπροβλήματα για να αποτελέσουν τις οριακές συνθήκες των υποπροβλημάτων. Πραγματοποιούνται πειράματα σε προβλήματα-μοντέλα, ώστε να ελεγχθεί η εφαρμοσιμότητα και η σύγκλιση της μεθόδου. Στη συνέχεια, υλοποιείται μια παράλληλη έκδοση της μεθόδου και πραγματοποιούνται συγκριτικά πειράματα απόδοσης. Η παράλληλη υλοποίησή μας αποδεικνύεται πολύ χρήσιμη, ειδικά για μεγάλα προβλήματα. / Several approaches have been suggested in the literature for the solution of multiphysics / multidomain problems. Interface Relaxation (IR) methods are an interesting approach for the solution of these problems. Assuming initial guesses on the interfaces of the original problem, IR methods iteratively solve the subproblems and relax for new values on the interfaces until convergence is succeeded. Their main advantages are that their rates of convergence only depend on the parameters of the problem itself, the parameters related to its decomposition into subproblems and the parameters related to the operator imposed on the interfaces. In the present master thesis a new implementation of an IR method named GEO is presented. GEO is based on a simple geometric correction mechanism and acts iteratively so as to relax the values of the solution on the interfaces. In particular, it adds to the old interface values a geometrically weighted combination of the normal boundary derivatives of the adjacent subdomains. In this thesis GEO is implemented in FEniCS. The FEniCS project is a collection of free software for automated, efficient solution of differential equations. In order to evaluate the GEO implementation, it is applied on two different PDE problems with the same differential equation and boundary conditions and different domains. FEniCS methods are used to specify the problem's subdomains properties (i.e. geometry, PDE operator and boundary/interface conditions). They are also used to generate and/or refine meshes (triangular elements) for each subdomain, solve the local PDE problems and show the computed results in the global domain and on the interfaces. Getting values of the solutions on the interface (boundaries of the subproblems) and passing the new relaxed values back to the subproblems as updated values for the boundary conditions is the main challenge of the IR methodology implementation. Experiments are performed for 2-dimensional elliptic partial differential model problems with partitions in multiple subdomains and the results are examined in terms of the method's applicability and convergence. A parallel implementation of the GEO method using FEniCS is also presented, as well as its performance comparison to the serial implementation. The parallel implementation proves to be really useful, especially for large problems.

Compte tenu de l'importance de maintenir une qualité optimale des cordons de soudure et l'impossibilité d'assurer tout risque de manque de pénétration et de fusion par des contrôles non-destructifs, cette thèse permettra de développer une expertise et des outils numériques pour la simulation numérique tridimensionnelle des procédés de soudage par fusion afin de prédire la géométrie finale du cordon. Pour ce faire, on implémente une méthode de suivi d'interface afin d'améliorer la prise en compte des phénomènes thermophysiques au niveau des surfaces libres déformables. Cela permettra en outre de prendre en compte les forces agissant à la surface du bain métallique telles que la tension de surface, la gravité et la pression d'arc. Puis, il est envisagé d'améliorer l'estimation du transfert thermique entre l'arc et les pièces à assembler via un couplage instationnaire des modèles de plasma et de bain de fusion pour ainsi simuler de façon optimale la forme finale du cordon de soudure. Cette thèse permettra de traiter certaines applications industrielles spécifiques à EDF, en particulier les soudures d'étanchéité de faible épaisseur, permettant des études approfondies sur les opérations de réparations par soudage en corniche. / In order to ensure total safety during maintenance operations within nuclear power plants, it is mandatory to preserve the optimal quality of the internal weld beads. To this end, we use Computational Magnetohydrodynamics to simulate adjacent phenomena within the plasma and the weld pool in order to improve the knowledge of welding operating process. One of the difficulties is to take into account the effects induced by the thermal gradient and the variations of surfactant element concentrations on the weld pool surface known as the Marangoni effect. In order to take into account all the physical phenomena at the plasma / weld pool interface, we use an interface tracking method (Arbitrary Lagrangian-Eulerian) to improve the simulation of weld pool with free surfaces. Subsequently, it enables to capture more precisely the interfacial forces such as the Marangoni effect, the arc pressure and the gravity, and improve vertical welding simulation. Thus, this work is part of the development of a tridimensional unsteady two-way coupling in order to overcome the Gaussian boundary condition used to model the heat transfer from plasma torch towards the work piece surface. Ultimately, we could obtain an unified model for an optimal welding process simulation.