Après avoir fait un rappel sur les généralités concernant les familles exponentielles naturelles et  les lois Tweedie univariées qui en sont un exemple particulier, nous montrerons comment étendre ces lois au cas multivarié. Une première construction permettra de définir des vecteurs aléatoires Tweedie paramétrés pas un vecteur de moyenne et une matrice de dispersion. Nous montrerons que les corrélations entre les lois marginales peuvent être contrôlées et varient entre -1 et 1. Nous verrons aussi que ces vecteurs ont quelques propriétés communes avec les vecteurs gaussiens. Nous en donnerons une représentation matricielle qui permettra d'en simuler des observations. La seconde construction permettra d'introduire les modèles Tweedie multiples constitués d'une variable Tweedie dont l'observation sera la dispersion des autres marges, toutes de lois Tweedie elles aussi. Nous donnerons la variance généralisée de ces lois et montrerons que cette dernière peut-être estimée efficacement. Enfin, nous verrons que, modulo certaines restrictions, nous pourrons donner une caractérisation par la fonction de variance généralisée des familles exponentielles naturelles générées par ces lois. / After a reminder of the natural exponential families framework and the univariate Tweedie distributions, we build two multivariate extension of the latter. A first construction, called Tweedie random vector, gives a multivariate Tweedie distribution parametrized by a mean vector and a dispersion matrix. We show that the correlations between the margins can be controlled and vary between -1 and 1. Some properties shared with the well-known Gaussian vector are given. By giving a matrix representation, we can simulate observations of Tweedie random vectors. The second construction establishes the multiple stable Tweedie models. They are vectors of which the first component is Tweedie and the others are independant Tweedie, given the first one, and with dispersion parameter given by an observation of the first component. We give the generalized variance and show that it is a product of powered component of the mean and give an efficient estimator of this parameter. Finally, we can show, with some restrictions, that the generalized variance is a tool which can be used for characterizing the natural exponential families generated by multiple stable Tweedie models.

Cette thèse est consacrée à l'évaluation des familles exponentielles pour les problèmes de la modélisation des bruits et de la segmentation des images couleurs. Dans un premier temps, nous avons développé une nouvelle caractérisation des familles exponentielles naturelles infiniment divisible basée sur la fonction trace de la matrice de variance covariance associée. Au niveau application, cette nouvelle caractérisation a permis de détecter la nature de la loi d'un bruit additif associé à un signal où à une image couleur. Dans un deuxième temps, nous avons proposé un nouveau modèle statistique paramétrique mulltivarié basé sur la loi de Riesz. La loi de ce nouveau modèle est appelée loi de la diagonale modifiée de Riesz. Ensuite, nous avons généralisé ce modèle au cas de mélange fini de lois. Enfin, nous avons introduit un algorithme de segmentation statistique d'image ouleur, à travers l'intégration de la méthode des centres mobiles (K-means) au niveau de l'initialisation pour une meilleure définition des classes de l'image et l'algorithme EM pour l'estimation des différents paramètres de chaque classe qui suit la loi de la diagonale modifiée de la loi de Riesz. / This thesis is dedicated to the evaluation of the exponential families for the problems of the noise modeling and the color images segmentation. First, we developed a new characterization of the infinitely divisible natural exponential families based on the trace function of the associated variance-covariance matrix. At the application level, this new characterization allowed to detect the nature of the law of an additive noise associated with a signal or with a color image. Second, we proposed a new parametric multivariate statistical model based on Riesz's distribution. The law of this new model is called the modified diagonal Riesz distribution. Then we generalized this model in the case of a finished mixture of distibution. Finally we introduced an algorithm of statistical segmentation of color images through the integration of the k-means method at the level of the initialization for a better definition of the image classes and the algorithm EM for the estimation of the different parameters of every class which follows the modified diagonal Riesz distribution.

Cette thèse contient deux parties différentes. Dans la première partie, nous nous sommes intéressés aux familles exponentielles naturelles cubiques dont la fonction variance est un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Nous donnons trois caractérisations de ces familles en se basant sur une approche Bayesienne. L’une de ces caractérisations repose sur le fait que la fonction cumulante vérifie une équation différentielle. La deuxième partie de notre travail est consacrée aux conséquences de la propriété d’indépendance de type « Matsumoto-Yor » qui a été développée par Koudou et Vallois. Cette propriété fait intervenir la famille de lois de Kummer de type 2 et les lois Beta généralisées. En se basant sur la méthode de conditionnement et sur la méthode de rejet, nous donnons des réalisations presque sûre de ces distributions de probabilités. D’autre part, nous caractérisons la famille de lois de Kummer de type 2 (resp. les lois Beta généralisées) par une équation algébrique impliquant des lois gamma (resp. les lois Beta) / This thesis has two different parts. In the first part we are interested in the real cubic natural exponential families such that their variance function is a polynomial of degree less than or equal to 3. We give three characterizations of such families using a Bayesian approach. One of these characterizations is based on a differential equation verified by the cumulant function. In a second part we study in depth the independence property of the type “Matsumoto-Yor” that was developed by Koudou and Vallois. This property involves the Kummer distribution of type 2 and the generalized beta ones. Using the conditioning and the rejection method, we give almost sure realization of these distributions. We characterize the family of Kummer distribution of type 2 with an algebraic equation involving the gamma ones. We proceed similarly with the generalized beta distributions

Cette thèse a pour objet d'étude les méthodes numériques d'approximation de la densité de probabilité associée à des variables aléatoires admettant des distributions composées. Ces variables aléatoires sont couramment utilisées en actuariat pour modéliser le risque supporté par un portefeuille de contrats. En théorie de la ruine, la probabilité de ruine ultime dans le modèle de Poisson composé est égale à la fonction de survie d'une distribution géométrique composée. La méthode numérique proposée consiste en une projection orthogonale de la densité sur une base de polynômes orthogonaux. Ces polynômes sont orthogonaux par rapport à une mesure de probabilité de référence appartenant aux Familles Exponentielles Naturelles Quadratiques. La méthode d'approximation polynomiale est comparée à d'autres méthodes d'approximation de la densité basées sur les moments et la transformée de Laplace de la distribution. L'extension de la méthode en dimension supérieure à $1$ est présentée, ainsi que l'obtention d'un estimateur de la densité à partir de la formule d'approximation. Cette thèse comprend aussi la description d'une méthode d'agrégation adaptée aux portefeuilles de contrats d'assurance vie de type épargne individuelle. La procédure d'agrégation conduit à la construction de model points pour permettre l'évaluation des provisions best estimate dans des temps raisonnables et conformément à la directive européenne Solvabilité II. / This PhD thesis studies numerical methods to approximate the probability density function of random variables governed by compound distributions. These random variables are useful in actuarial science to model the risk of a portfolio of contracts. In ruin theory, the probability of ultimate ruin within the compound Poisson ruin model is the survival function of a geometric compound distribution. The proposed method consists in a projection of the probability density function onto an orthogonal polynomial system. These polynomials are orthogonal with respect to a probability measure that belongs to Natural Exponential Families with Quadratic Variance Function. The polynomiam approximation is compared to other numerical methods that recover the probability density function from the knowledge of the moments or the Laplace transform of the distribution. The polynomial method is then extended in a multidimensional setting, along with the probability density estimator derived from the approximation formula. An aggregation procedure adapted to life insurance portfolios is also described. The method aims at building a portfolio of model points in order to compute the best estimate liabilities in a timely manner and in a way that is compliant with the European directive Solvency II.