This thesis is concerned with methodologies for the accurate quantitative modelling of molecular biological systems. The first part is devoted to the chemical Langevin equation (CLE), a stochastic differential equation driven by a multidimensional Wiener process. The CLE is an approximation to the standard discrete Markov jump process model of chemical reaction kinetics. It is valid in the regime where molecular populations are abundant enough to assume their concentrations change continuously, but stochastic fluctuations still play a major role. We observe that the CLE is not a single equation, but a family of equations with shared finite-dimensional distributions. On the theoretical side, we prove that as many Wiener processes are sufficient to formulate the CLE as there are independent variables in the equation, which is just the rank of the stoichiometric matrix. On the practical side, we show that in the case where there are m_1 pairs of reversible reactions and m_2 irreversible reactions, there is another, simple formulation of the CLE with only m_1+m_2 Wiener processes, whereas the standard approach uses 2m_1+m_2. Considerable computational savings are achieved with this latter formulation. A flaw of the CLE model is identified: trajectories may leave the nonnegative orthant with positive probability. The second part addresses the challenge when alternative, structurally different ordinary differential equation models of similar complexity fit the available experimental data equally well. We review optimal experiment design methods for choosing the initial state and structural changes on the biological system to maximally discriminate between the outputs of rival models in terms of L_2-distance. We determine the optimal stimulus (input) profile for externally excitable systems. The numerical implementation relies on sum of squares decompositions and is demonstrated on two rival models of signal processing in starving Dictyostelium amoebae. Such experiments accelerate the perfection of our understanding of biochemical mechanisms.

Traditionally, differential-equation models for population dynamics have considered organisms as "fixed" entities in terms of their behaviour and characteristics. However, there have been many observations of adaptivity in organisms, both at the level of behaviour and as an evolutionary change of traits, in response to the environmental conditions. Taking such adaptiveness into account alters the qualitative dynamics of traditional models and is an important factor to be included, for example, when developing reliable model predictions under changing environmental conditions. In this thesis, we consider piecewise-smooth and smooth dynamical systems to represent adaptive change in a 1 predator-2 prey system. First, we derive a novel piecewise-smooth dynamical system for a predator switching between its preferred and alternative prey type in response to prey abundance. We consider a linear ecological trade-off and discover a novel bifurcation as we change the slope of the trade-off. Second, we reformulate the piecewise-smooth system as two novel 1 predator-2 prey smooth dynamical systems. As opposed to the piecewise-smooth system that includes a discontinuity in the vector fields and assumes that a predator switches its feeding strategy instantaneously, we relax this assumption in these systems and consider continuous change in a predator trait. We use plankton as our reference organism because they serve as an important model system. We compare the model simulations with data from Lake Constance on the German-Swiss-Austrian border and suggest possible mechanistic explanations for cycles in plankton concentrations in spring.

Many complexity measures are defined as the size of a minimal representation in a specific model class. One such complexity measure, which is important because it is widely applied, is statistical complexity. It is defined for discrete-time, stationary stochastic processes within a theory called computational mechanics. Here, a mathematically rigorous, more general version of this theory is presented, and abstract properties of statistical complexity as a function on the space of processes are investigated. In particular, weak-* lower semi-continuity and concavity are shown, and it is argued that these properties should be shared by all sensible complexity measures. Furthermore, a formula for the ergodic decomposition is obtained. The same results are also proven for two other complexity measures that are defined by different model classes, namely process dimension and generative complexity. These two quantities, and also the information theoretic complexity measure called excess entropy, are related to statistical complexity, and this relation is discussed here. It is also shown that computational mechanics can be reformulated in terms of Frank Knight's prediction process, which is of both conceptual and technical interest. In particular, it allows for a unified treatment of different processes and facilitates topological considerations. Continuity of the Markov transition kernel of a discrete version of the prediction process is obtained as a new result.

Τα ασύρματα συστήματα τέταρτης γενιάς (4G) στοχεύουν σε πολύ υψηλές ταχύτητες μετάδοσης δεδομένων, 100 Mbps (Mega bits per second) για ταχέως κινούμενους πομποδέκτες και έως 1 Gbps για ακίνητους. Αυτός ο στόχος μπορεί να επιτευχθεί με τα συστήματα Πολλαπλής Εισόδου-Πολλαπλής Εξόδου (Multiple Input-Multiple Output, MIMO) τα οποία χρησιμοποιούν πολλές κεραίες στον πομπό και στο δέκτη. Ο στόχος της παρούσας διδακτορικής διατριβής (ΔΔ) εστιάζεται στην ανάλυση και βελτιστοποίηση αυτών των συστημάτων, υπό το πρίσμα των φαινομένων της σκέδασης και των διαλείψεων μικρής κλίμακας. Το αντικείμενο μελέτης συνοψίζεται στις ακόλουθες θεματικές ενότητες: α) μοντελοποίηση των ασυρμάτων καναλιών με διαλείψεις, β) απόδοση ακριβών και εύχρηστων μαθηματικών εκφράσεων της εργοδικής (μέσου όρου) χωρητικότητας των ασύρματων συστημάτων που χρησιμοποιούν πολλές κεραίες στο δέκτη, γ) αύξηση της εργοδικής χωρητικότητας του συστήματος ΜΙΜΟ χρησιμοποιώντας πληροφορία από το μέσο διάδοσης. Αρχικά περιγράφεται η γενική μοντελοποίηση του ασύρματου καναλιού που είναι αναγκαία για την κατανόηση βασικών εννοιών για την ανάλυση που θα ακολουθήσει. Αυτό έχει ως στόχο μία σύντομη περιγραφή των βασικών χαρακτηριστικών ενός οποιουδήποτε ασύρματου καναλιού και να γίνουν κατανοητές κάποιες σημαντικές έννοιες που προκύπτουν και χρησιμοποιούνται κατά κόρον στις ασύρματες επικοινωνίες. Πιο συγκεκριμένα, παρατίθενται βασικές θεωρητικές γνώσεις όπου περιγράφονται τα διάφορα προβλήματα διάδοσης, δίνοντας μια σύντομη περιγραφή των φυσικών φαινομένων που εμπλέκονται, χωρίς να εμβαθύνουμε σε πολύπλοκες μαθηματικές σχέσεις. Στη συνέχεια, γίνεται προσπάθεια ακριβέστερης μοντελοποίησης, με χρήση στοχαστικών διαδικασιών, των ασύρματων μη επιλεκτικών στη συχνότητα καναλιών με διαλείψεις (frequency non-selective fading channels) σε περιβάλλον τρισδιάστατης ανισοτροπικής σκέδασης καναλιού Rice. Με τον όρο ανισοτροπική εννοείται ότι η λήψη των διαφόρων συνιστωσών για το αζιμούθιο επίπεδο γίνεται από κάποιους τομείς γωνιών και όχι από όλες τις κατευθύνσεις, ενώ στο επίπεδο της ανύψωσης θεωρούμε την ύπαρξη ενός τομέα άφιξης των συνιστωσών στον οποίο η ισχύς δεν κατανέμεται ομοιόμορφα αλλά βάσει μιας κατανομής. Επιπλέον λόγω της θεώρησης καναλιού Rice, συμπεριλαμβάνεται η ύπαρξη μιας δεσπόζουσας συνιστώσας με σταθερό πλάτος η οποία συνήθως προέρχεται από οπτική επαφή του πομπού με το δέκτη. Θεωρώντας συγκεκριμένες κατανομές για την άφιξη των συνιστωσών σε αυτούς τους τομείς από τη διεθνή βιβλιογραφία, εξάγεται αναλυτικά η συνάρτηση της αυτοσυσχέτισης και το φάσμα της ολίσθησης των συχνοτήτων σε αναλυτική μορφή και υπολογίζονται σημαντικά μεγέθη που εκφράζουν την ταχύτητα αυξομείωσης του σήματος και τη διάρκεια των διαλείψεων. Επιπλέον με αυτό τον τρόπο είναι δυνατόν να καθοριστεί η απόσταση μεταξύ των κεραιών που πρέπει να τηρείται ώστε να εξασφαλίζονται οι υψηλές επιδόσεις. Σε αστικό περιβάλλον, αποδεικνύεται ότι η ελάχιστη απόσταση μεταξύ των κεραιών ενός πομποδέκτη θα πρέπει να είναι μεγαλύτερη από ότι σε ένα υπαίθριο περιβάλλον. Στην επόμενη ενότητα επιτυγχάνεται η απόδοση ακριβών και εύχρηστων μαθηματικών εκφράσεων της εργοδικής (μέσου όρου) χωρητικότητας των ασύρματων συστημάτων που χρησιμοποιούν πολλές κεραίες στο δέκτη σε περιβάλλον Nakagami (που θεωρείται από τα πιο αντιπροσωπευτικά για την περιγραφή της ασύρματης διάδοσης σε κλειστούς χώρους) με όσο το δυνατό απλούστερες μαθηματικές συναρτήσεις. Με αυτό τον τρόπο, η ταχύτητα μετάδοσης δεδομένων εκφράζεται συναρτήσει των φυσικών παραμέτρων του συστήματος, δηλαδή το κανάλι, τον αριθμό των κεραιών κτλ. Ήδη έχουν γίνει πολλές δημοσιεύεις σε αυτό τον τομέα για διάφορες περιπτώσεις μοντελοποίησης των καναλιών (Rayleigh, Rice κτλ) και για διάφορες τεχνικές λήψης. Όμως υπάρχουν αρκετές περιπτώσεις όπου υπάρχουν κενά στη διεθνή βιβλιογραφία ή η έκφραση της χωρητικότητας δεν γίνεται με κλειστές μαθηματικές μορφές. Έτσι παρουσιάζονται αναλυτικές μαθηματικές εκφράσεις της εργοδικής χωρητικότητας των συστημάτων SIMO που δεν υπήρχαν έως τώρα στη διεθνή βιβλιογραφία, για διάφορες περιπτώσεις γνώσης του καναλιού. Αυτό γίνεται κάνοντας τον άμεσο παραλληλισμό των συστημάτων SIMO με τις διάφορες τεχνικές διαφορισμού. Εξετάζεται η εργοδική χωρητικότητα ενός συστήματος SIMO το οποίο λειτουργεί σε κανάλι διαλείψεων Nakagami-m στο οποίο όλες οι ζεύξεις είναι ανεξάρτητες αλλά δεν είναι κατά ανάγκη όμοιες. Συγκεκριμένα εξάγονται μαθηματικές εκφράσεις κλειστού τύπου για την εργοδική χωρητικότητα συστημάτων Equal Gain Combining και Selection Combining και Switch and Stay Combining δύο κλάδων. Επιπλέον, παρουσιάζεται για πρώτη φορά, η εργοδική χωρητικότητα ενός συστήματος SIMO στο οποίο δεν εφαρμόζεται καμία τεχνική διαφορικής λήψης και εξάγονται πολύ διδακτικά συμπεράσματα. Αυτό σημαίνει ότι ο δέκτης δεν έχει καμία πληροφορία για το κανάλι (no channel state information CSI) και απλά προσθέτει τα λαμβανόμενα σήματα από κάθε κλάδο-ζεύξη. Επιπλέον γίνεται προσπάθεια οι μαθηματικοί τύποι να είναι εύχρηστοι και υλοποιήσιμοι χωρίς την χρήση ιδιαίτερων μαθηματικών λογισμικών. Ουσιαστικά η μαθηματική έκφραση της χωρητικότητας των συστημάτων SIMO σε κανάλι διαλείψεων Nakagami-m, ανάγεται στην επίλυση ενός είδους ολοκληρώματος που περιέχει ταυτόχρονα τη λογαριθμική συνάρτηση, την εκθετική συνάρτηση και πολυώνυμα νιοστής δύναμης. Αυτός ο τύπος ολοκληρωμάτων είναι δυσεπίλυτος και προκύπτει συχνά στις ασύρματες επικοινωνίες. Στην τελευταία ενότητα, γίνεται προσπάθεια αύξησης του μέσου όρου της χωρητικότητας του συστήματος ΜΙΜΟ χρησιμοποιώντας πληροφορία από το μέσο διάδοσης. Πιο συγκεκριμένα μελετάται η πολιτική εκπομπής, αν ο πομπός γνωρίζει τις παραμέτρους του καναλιού οι οποίες είναι δυνατό να γνωστοποιηθούν στον πομπό σε ρεαλιστικό επίπεδο. Ως παράμετροι του καναλιού οι οποίες είναι απαραίτητο να είναι γνωστές, θεωρούνται ο μέσος όρος και η διασπορά του καναλιού που είναι δυνατό να μετρηθούν στην πράξη ιδιαίτερα για κανάλια που δε μεταβάλλονται πάρα πολύ γρήγορα στο χρόνο. Το πρόβλημα της μεγιστοποίησης της εργοδικής χωρητικότητας, στην γενική του μορφή έως τώρα αντιμετωπίζεται μόνο με χρονοβόρες υπολογιστικές μεθόδους που απαιτούν αρκετή υπολογιστική ισχύ, καθιστώντας τη λύση μη εφαρμόσιμη σε πραγματικό χρόνο και επομένως μη ρεαλιστική. Το πρόβλημα είναι δυσεπίλυτο και οι μόνες αναλυτικές λύσεις που υπάρχουν αναφέρονται σε ιδιαίτερες περιπτώσεις. Η παρούσα ΔΔ ασχολείται με τη μεγιστοποίηση της εργοδικής χωρητικότητας του συστήματος MISO (Multiple Input-Single Output) το οποίο χρησιμοποιεί την τεχνική beamforming στην εκπομπή. Το πρόβλημα επιλύεται και η λύση του ανάγεται στη λύση ενός συστήματος δύο εξισώσεων το οποίο λύνεται αριθμητικά. Έτσι είναι δυνατή η μεγιστοποίηση της χωρητικότητας σε πραγματικό χρόνο χωρίς ιδιαίτερη υπολογιστική ισχύ. Έως τώρα η προσέγγιση αυτού του προβλήματος γίνεται αποκλειστικά με αλγορίθμους μεγιστοποίησης μη γραμμικού προγραμματισμού. Επιπλέον εξετάζοντας τη λύση του απλού συστήματος , εξάγονται καθολικά συμπεράσματα που εκφράζουν το γενικό πρόβλημα. Για τη μεγιστοποίηση του συστήματος MISO beamforming, απαιτήθηκε η διανυσματική ανάλυση του μέσου όρου του καναλιού και του διανύσματος beamforming του πομπού σε μία κατάλληλη ορθοκανονική βάση. Έτσι το πρόβλημα ανάγεται στην εύρεση των γωνιών που σχηματίζει το διάνυσμα beamforming με την ορθοκανονική βάση ώστε να μεγιστοποιείται η χωρητικότητα για δεδομένες παραμέτρους του καναλιού. Με αυτή τη μέθοδο το πρόβλημα επιλύεται πολύ εύκολα με αριθμητικές μεθόδους. Αυτό δίνει, πέρα από την ίδια τη λύση, τη δυνατότητα να γίνει σύγκριση και με υπάρχουσες μεθόδους που προσέγγιζαν τη λύση, όπως η μεγιστοποίηση του σηματοθορυβικού λόγου (Signal to Noise Ratio, SNR). Επίσης αποδεικνύεται ότι το λαμβανόμενο SNR στο δέκτη επηρεάζει το διάνυσμα beamforming που μεγιστοποιεί την χωρητικότητα. Λαμβάνοντας υπόψη όλα αυτά, προτείνεται ένας κανόνας για την πολιτική εκπομπής του πομπού. Η μεθοδολογία που αναπτύχθηκε μπορεί να βοηθήσει σημαντικά στην επίλυση του γενικότερου προβλήματος της μεγιστοποίησης της χωρητικότητας σε συστήματα ΜΙΜΟ. / 4G Wireless Communication Systems aim at high data rates, 100 Mbps (Mega bits per second) for high speed transceivers and up to 1 Gbps for stationary transceivers. This target can be accomplished with Multiple Input Multiple Output (MIMO) Systems which use multiple antennas at both the transmitter and the receiver. The subject of this Philosophy Diploma (PhD) dissertation focuses on analysis and optimization of these systems, taking into account the effects of small scale fading and scattering which occur in a wireless channel. The subject of this study is summarized in the following thematic units: a) Fading channel modelling b) Closed-form mathematical expressions for the ergodic capacity of wireless systems which use multiple antennas at the receiver c) increase MISO ergodic capacity through channel state information. Initially, the general wireless fading channel model is described which is necessary for the better understanding of the analysis used in this dissertation. This aims at a brief description of the basic characteristics of the wireless channel. Specifically, general theoretical knowledge of propagation channel is presented, giving a description of the phenomena occurring in the channel without presenting complex mathematical expressions. Next, using stochastic procedures, an accurate model of frequency non-selective Rician fading channel with 3 dimensional anisotropic scattering is presented. The term anisotropic means that the arrival of the multipath components comes from some specific sectors and not from any direction. In the elevation plane, we assume a sector for the arrival of the multipath components in which power does not arrive uniformly but follows a specific distribution. In addition, assuming a communication system operating in a Rice fading channel, a dominant component is included which usually represents the Line of Sight (LOS) component between the transmitter and the receiver. Taking into account international literature and assuming specific probability density functions for the angle of arrivals in these sectors, analytical mathematical expressions of the auto-correlation function and the power spectral density of the received signal are derived. Moreover important measures of the level crossing rate and the average duration of fades are calculated. By this analysis, the system designer is able to estimate the optimal distance between antennas in order to assure high performance of the communication system. It is proved that the distance between antennas should be greater in rural than in urban environments. In the next section, accurate closed-form mathematical expressions for the ergodic capacity of SIMO (Single Input Multiple Output) systems in Nakagami fading channel are derived with the help of known and easy to use mathematical functions (Nakagami fading is appropriate for indoor channel modelling). Thus channel capacity is expressed with respect to the physical system parameters such as: amount of fading, number of antennas etc. Many studies have been published for different cases of fading channel models (Rayleigh, Rice, etc) and diversity techniques. But for some cases there are no mathematical expressions for the ergodic capacity or it is expressed in a no closed form way. Thus in this study, new analytical mathematical expressions for the ergodic capacity of SIMO systems with different channel knowledge cases are derived. Also the relation between diversity techniques and SIMO systems is taken into account. We assume that the SIMO system operates in a Nakagami fading channel where each branch is statistically independent but not identically distributed. More precisely, new ergodic capacity formulas for dual Equal Gain Combining, Selection Combining and Switch and Stay Combining techniques are presented. In addition, a new mathematical formula for the ergodic capacity of a SIMO system with no channel knowledge is presented, resulting in useful conclusions. All these mathematical expressions are calculated with mathematical functions that are included in any mathematical software. Essentially, the calculation of the ergodic capacity of SIMO systems in Nakagami fading channels entails the calculation of an integral which contains the logarithmic function, the exponential function and n power polynomials. This type of integral is intractable and arises frequently in wireless communications. In the last section, the ergodic capacity of a MIMO channel using channel state information is studied. In particular, this dissertation studies the transmit strategy if the transmitter knows the statistical parameters of the channel which is feasible in a realistic scenario. The statistical parameters of the channel that have to be transferred to the transmitter are channel mean and covariance. These parameters can be measured in practice especially for low time variant channels. Transmitter optimization problem, in its general form, is tackled only with hard optimization methods which are not feasible for real time applications due to large processing time. The problem is intractable and the only analytical solutions in literature are referred to special cases. The current dissertation studies the ergodic capacity optimization problem of a MISO (Multiple Input-Single Output) system which uses beamforming as its transmit strategy. The problem is solved through a system of two equations which is solved numerically. Thus the problem is extremely simplified and beamforming capacity optimization is feasible even for real time applications. So far this problem was tackled with non linear programming optimization methods. Also examining the solution for the MISO system, it is provided intuition into the problem. Also general results are presented which express the general problem. Beamforming capacity optimization solution was achieved by following an analytical approach that projects the beamforming vector on an appropriate orthonormal basis defined by the eigenvectors of the channel covariance matrix. Thus the problem reduces to calculation of the angles between the beamforming vector and the orthonormal basis which maximize capacity for given channel parameters. Following this method, the problem is solved very easily through numerical root finding algorithms. Besides the solution itself, a comparison against existing approximate solutions is possible, e.g. SNR (Signal to Noise Ratio) maximization solution. It is proved that the optimal beamforming vector is dependent on the received SNR. Taking into account all the arising results, a rule of thumb for the transmit policy is proposed. In addition, the used method can help significantly towards the solution of the MIMO transmitter optimization problem.

La dynamique des systèmes hyperboliques est considérée bien comprise du point de vue topologique aussi bien que du point de vue stochastique. S. Smale et R. Abraham ont donné un exemple montrant que, en général, les systèmes hyperboliques ne sont pas denses parmi tous les systèmes diffélrentiables. Dans les années 1970, M. Brin et Y. Pesin ont proposé une nouvelle notion: hyperbolicité partielle pour affaiblir la notion d’hyperbolicité. Un but de cette thèse est de comprendre la dynamique de certains systèmes partiellement hyperboliques du point de vue stochastique aussi bien que du point de vue topologique. Du point de vue stochastique, nous démontrons les résultats suivants: — Il existe un sous-ensemble U ouvert et dense de difféomorphismes non hyperboliques robustement transitifs loin de tangences homocliniques, tels que pour tout f ∈ U, il existe des mesures ergodiques non hyperboliques qui sont limite faible des mesures périodiques, avec un seul exposant de Lyapunov nul, et dont les supports sont la variété entière; — Il existe un sous-ensemble ouvert et dense de l’ensemble des difféomorphismes partiellement hyperboliques (mais non hyperboliques) de dimension centrale un dont les feuilletages forts sont robustement minimaux, de sorte que la fermeture de l’ensemble des mesures ergodiques est l’union de deux convexes qui sont la fermeture des ensembles de mesures ergodiques hyperboliques de deux s-indices différents respectivement; ces deux ensembles convexes se coupent le long de la fermeture de l’ensemble des mesures ergodiques non hyperboliques. Par conséquent, toute mesure ergodique non hyperbolique est approchée par des mesures périodiques. C’est le cas pour une perturbation robustement transitive du temps un d’un flot d’Anosov transitif, ou du produit fibré d’un difféomorphisme d’Anosov sur le tore par une rotation du cercle. Ces résultats sont basés sur des résultats locaux dont les démonstrations impliquent beaucoup de définitions techniques. Du point de vue topologique, pour tout flot d’Anosov non transitif sur des variétés de dimension 3 orientables, nous construisons de nouveaux difféomorphismes partiellement hyperboliques en composant le temps t des flots d’Anosov (pour t > 0 large) avec des twists de Dehn le long des tores transversaux. Ces nouveaux difféomorphismes partiellement hyperboliques sont robustement dynamiquement cohérents. Cela généralise dans un cas général le processus spécial dans [BPP] pour construire de nouveaux difféomorphismes partiellement hyperboliques. De plus, nous démontrons que pour les nouveaux difféomorphismes partiellement hyperboliques que nous avons construits, leurs feuilletages centraux sont topologiquement équivalentes aux flots d’Anosov utilisés pour les construire. En conséquence, la structure des feuilles centrales des nouveaux difféomorphismes partiellement hyperboliques est la même que la structure des orbites d’un flot d’Anosov. La présence de mesures ergodiques non hyperboliques montre la non hyperbolicité des systémes. Dans cette thése, nous cherchons également à comprendre: dans quelle mesure la présence de mesures ergodiques non hyperboliques peut-elle caractériser le degré de non-hyperbolicité des systèmes? Nous démontrons que, pour les difféomorphismes génériques, si une classe homoclinique contient des orbites périodiques d’indices différents et sans certaines dominations, il existe une mesure ergodique non hyperbolique avec plus d’un exposant de Lyapunov qui s’annule et dont le support est la classe homoclinique entière. Le nombre d’exposants de Lyapunov nuls montre combien d’hyperbolicité a été perdue dans un tel type de systèmes. / The dynamics of hyperbolic systems is considered well understood from topological point of view as well as from stochastic point of view. S. Smale and R. Abraham gave an example showing that, in general, the hyperbolic systems are not dense among all differentiable systems. In 1970s, M. Brin and Y. Pesin proposed a new notion: partial hyperbolicity to release the notion of hyperbolicity. One aim of this thesis is to understand the dynamics of certain partially hyperbolic systems from stochastic point of view as well as from topological point of view. From stochastic point of view, we prove the following results: — There exists an open and dense subset U of robustly transitive nonhyperbolic diffeomorphisms far from homoclinic tangency, such that forany f ∈ U, there exist non-hyperbolic ergodic measures as the weak*- limit of periodic measures, with only one vanishing Lyapunov exponent, and whose supports are the whole manifold; — There exists an open and dense subset of partially hyperbolic (but nonhyperbolic) diffeomorphisms with center dimension one whose strong foliations are robustly minimal, such that the closure of the set of ergodic measures is the union of two convex sets which are the closure of the sets of hyperbolic ergodic measures of two different s-indices respectively; these two convex sets intersect along the closure of the set of nonhyperbolic ergodic measures. As a consequence, every non-hyperbolic ergodic measure is approximated by periodic measures. That is the case for robustly transitive perturbation of the time one map of a transitive Anosov flow, or of the skew product of an Anosov torus diffeomorphism by a rotation of the circle. These results are based on some local results whose statements involve in lots of technical definitions. From topological point of view, for any non-transitive Anosov flow on orientable 3-manifolds, we build new partially hyperbolic diffeomorphisms by composing the time t-map of the Anosov flow (for t > 0 large) with Dehn twists along transverse tori. These new partially hyperbolic diffeomorphisms are robustly dynamically coherent. This generalizes the special process in [BPP] for constructing new partially hyperbolic diffeomorphisms to a general case. Furthermore, we prove that for the new partially hyperbolic diffeomorphisms we built, their center foliations are topologically equivalent to the Anosov flows used for building them. As a consequence, one has that the structure of the center leaves of the new partially hyperbolic diffeomorphisms is the same asthe structure of the orbits of an Anosov flow. The presence of non-hyperbolic ergodic measures shows the non-hyperbolicity of the systems. In this thesis, we also attempt to understand: to what extent, can the presence of non-hyperbolic ergodic measures character how far from hyperbolicity the systems are? We prove that, for generic diffeomorphisms, if a homoclinic class contains periodic orbits of different indices and without certain dominations, then there exists a non-hyperbolic ergodic measure with more than one vanishing Lyapunov exponents and whose support is the whole homoclinic class. The number of vanishing Lyapunov exponents shows how much hyperbolicity has been lost in such kind of systems.

Made available in DSpace on 2014-07-29T16:02:20Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Dissertacao Jose Carlos Rubianes Silva.pdf: 825326 bytes, checksum: f8797d1d8d333606ebad1d9941d5d26d (MD5) Previous issue date: 2011-02-18 / In this dissertation we consider a primal convex optimization problem and we study variants of subgradient method applied to the dual problem obtained via a Lagrangian function. We analyze the conditional subgradient method developed by Larsson et al, which is a variant of the usual subgradient method. In this variant, the subgradients are conditioned to a constraint set, more specifically, the behavior of the objective function outside of the constraint set is not taken into account. One motivation for studying such methods is primarily its simplicity, in particular, these methods are widely used in large-scale problems. The subgradient method, when applied to a dual problem, is relatively effective to obtain a good approximation of a dual solution and the optimal value, but it is not efficient to obtain primal solutions. We study a strategy to obtain good approximations of primal solutions via conditional subgradient method, under suitable additional computational costs. This strategy consists of constructing an ergodic sequence of solutions of the Lagrangian subproblems.We show that the limit points of this ergodic sequence are primal solutions. We consider different step sizes rule, in particular, following the ideas of Nedic and Ozdaglar, using the constant step size rule, we present estimates of the ergodic sequence and primal solutions and / or the feasible set. / Nesta dissertação consideramos um problema de otimização convexo e estudamos variações do método subgradiente aplicado ao problema dual obtido via uma função Lagrangiana. Estudamos o método subgradiente condicional desenvolvido por Larsson et al, o qual é uma simples variação do método subgradiente usual . A principal diferença é que os subgradientes são condicionados a um conjunto restrição, mais especificamente, o comportamento da função fora do conjunto restrição não é levado em conta. Uma motivação para estudar tais métodos consiste principalmente na sua simplicidade, em especial, estes métodos são bastante usados em problemas de grande porte. O método subgradiente, quando aplicado a um problema dual, é relativamente eficaz para obter boas aproximações de soluções duais e do valor ótimo, no entanto, não possue a mesma eficiência para obter soluções primais. Analisamos uma estratégia para obter boas aproximações de soluções primais via método subgradiente condicional, com pouco custo computacional adicional. Esta estratégia consiste em construir uma sequência ergódica das soluções obtidas durante a resolução dos subproblemas Lagrangianos. Mostraremos que os pontos limites desta sequência ergódica são soluções primais. Consideramos diferentes regras para o tamanho do passo, em particular, seguindo as idéias de Nedic e Ozdaglar, apresentamos estimativas da sequência ergódica com o conjunto de soluções primais e/ou o conjunto viável quando usamos a regra de passos constantes.

Submitted by Geandra Rodrigues (geandrar@gmail.com) on 2018-04-18T18:31:55Z No. of bitstreams: 1 mateusdelimafilomeno.pdf: 952346 bytes, checksum: 0eb883e1ceabb6c297f58be445761d84 (MD5) / Approved for entry into archive by Adriana Oliveira (adriana.oliveira@ufjf.edu.br) on 2018-04-19T13:28:21Z (GMT) No. of bitstreams: 1 mateusdelimafilomeno.pdf: 952346 bytes, checksum: 0eb883e1ceabb6c297f58be445761d84 (MD5) / Made available in DSpace on 2018-04-19T13:28:21Z (GMT). No. of bitstreams: 1 mateusdelimafilomeno.pdf: 952346 bytes, checksum: 0eb883e1ceabb6c297f58be445761d84 (MD5) Previous issue date: 2018 / Esta dissertação tem como objetivo discutir as comunicações cooperativas híbrida e não híbrida aplicadas a sistemas de comunicação de dados em banda larga e em ambientes residenciais. Nesse sentido, o modelo de canal com retransmissor único em dois estágios é investigado para sistemas de comunicação em banda larga através da rede de energia elétrica. Este modelo de canal cooperativo é formado pela concatenação de dois canais com retransmissor único, cobrindo enlaces de comunicação de dados com até dois saltos. Além disso, um modelo de canal híbrido com retransmissor único, utilizando rede elétrica e ar, é analisado para sistemas de comunicação de dados em banda larga em que enlaces de até um salto são considerados. Expressões de taxas de dados alcançáveis ergódicas são derivadas para os modelos de canais cooperativos híbridos e não híbridos, a fim de compará-los. Devido às características de canais e ruído das redes de energia elétrica, os resultados numéricos são baseados em um conjunto de dados constituído por estimativas de canais e medições de ruído cobrindo a faixa de frequência de 1, 7 a 100 MHz e diferentes posições do nó retransmissor. Para os canais sem fio, o modelo HIPERLAN/2 com a mesma largura de banda é utilizado, considerando uma freqüência central de 5 GHz, enquanto o ruído aditivo é considerado branco gaussiano. Com relação aos sistemas de comunicação através da rede energia elétrica, mostra-se que o modelo de canal com retransmissor único em dois estágios é a melhor opção quando o enlace da fonte ao destino encontra-se severamente degradado (por exemplo, alta atenuação de sinal devido à longa distância entre nós fonte e destino e/ou presença de ruído de alta potência). Quando a degradação do canal não é acentuada, o modelo de canal de dois saltos é mais apropriado. Acerca dos sistemas híbridos, constata-se que, quando o retransmissor está no meio do caminho entre fonte e destino, o modelo de canal híbrido com retransmissor único apresenta o melhor desempenho em termos de taxa de dados alcançável ergódica, enquanto o modelo de canal híbrido de um salto oferece os melhores resultados para outros casos. / This dissertation aims to discuss hybrid and non-hybrid cooperative communications applied to in-home broadband data communication systems. In this sense, the two-stage single-relay channel model is investigated for in-home broadband power line communication systems. This cooperative channel model consists of the concatenation of two single-relay channels, covering data communication links with up to two hops. Moreover, a hybrid power line/wireless single-relay channel model is analyzed for broadband data communication systems, considering one-hop links. Ergodic achievable data rate expressions are derived for both hybrid and non-hybrid cooperative channel models in order to compare them. Due to channel and noise characteristics of electric power grids, numerical results are based on a data set constituted by power line channel estimates and additive noise measurements covering the frequency band from 1.7 up to 100 MHz and different relay positions. For wireless channels, the HIPERLAN/2 model with the same bandwidth is used, but at a central frequency of 5 GHz, while the additive noise is considered to be Gaussian white. Regarding only power line communication systems, it is shown that the two-stage single-relay channel model is the best option when the source-to-destination link is severely degraded (e.g., high signal attenuation due to the long distance between source and destination nodes and/or high-power noise presence). When the channel degradation is not severe, the two-hop channel model is more appropriate. Concerning hybrid systems, it is observed that, when the relay is halfway between source and destination nodes, the hybrid single-relay channel model presents the best performance in terms of ergodic achievable data rate, while the hybrid one-hop channel model yields the best results for other cases.

M.H.A. Davis a introduit les processus markoviens déterministes par morceaux (PDMP) comme une classe générale de modèles stochastiques non diffusifs, donnant lieu à des trajectoires déterministes ponctuées, à des instants aléatoires, par des sauts aléatoires. Dans cette thèse, nous présentons et analysons des estimateurs non paramétriques des lois conditionnelles des deux aléas intervenant dans la dynamique de tels processus. Plus précisément, dans le cadre d'une observation en temps long de la trajectoire d'un PDMP, nous présentons des estimateurs de la densité conditionnelle des temps inter-sauts et du noyau de Markov qui gouverne la loi des sauts. Nous établissons des résultats de convergence pour nos estimateurs. Des simulations numériques pour différentes applications illustrent nos résultats. Nous proposons également un estimateur du taux de saut pour des processus de renouvellement, ainsi qu'une méthode d'approximation numérique pour un modèle de régression semi-paramétrique. / Piecewise-deterministic Markov processes (PDMP’s) have been introduced by M.H.A. Davis as a general family of non-diffusion stochastic models, involving deterministic motion punctuated by random jumps at random times. In this thesis, we propose and analyze nonparametric estimation methods for both the features governing the randomness of such a process. More precisely, we present estimators of the conditional density of the inter-jumping times and of the transition kernel for a PDMP observed within a long time interval. We establish some convergence results for both the proposed estimators. In addition, numerical simulations illustrate our theoretical results. Furthermore, we propose an estimator for the jump rate of a nonhomogeneous renewal process and a numerical approximation method based on optimal quantization for a semiparametric regression model.

La motivation principale de cette thèse est l'étude du comportement en temps grand des solutions non-bornées d'équations de Hamilton-Jacobi visqueuses dans RN en présence d'un terme d'Ornstein-Uhlenbeck. Nous considérons la même question dans le cas d'une équation de Hamilton-Jacobi du premier ordre. Dans le premier cas, qui constitue le cœur de la thèse, nous généralisons les résultats de Fujita, Ishii et Loreti (2006) dans plusieurs directions. La première est de considérer des opérateurs de diffusion plus généraux en remplaçant le Laplacien par une matrice de diffusion quelconque. Nous considérons ensuite des opérateurs non-locaux intégro-différentiels de type Laplacien fractionnaire. Le second type d'extension concerne le Hamiltonien qui peut dépendre de x et est seulement supposé sous-linéaire par rapport au gradient. / The main aim of this thesis is to study large time behavior of unbounded solutions of viscous Hamilton-Jacobi equations in RN in presence of an Ornstein-Uhlenbeck drift. We also consider the same issue for a first order Hamilton-Jacobi equation. In the first case, which is the core of the thesis, we generalize the results obtained by Fujita, Ishii and Loreti (2006) in several directions. The first one is to consider more general operators. We first replace the Laplacian by a general diffusion matrix and then consider a non-local integro-differential operator of fractional Laplacian type. The second kind of extension is to deal with more general Hamiltonians which are merely sublinear.

No description available.