Nesta tese, apresenta-se o método dos elementos finitos posicional descrito em um referencial Lagrangiano total dedicado à análise de instabilidade de estruturas tridimensionais. Três tipos de elementos finitos são implementados e testados, a saber: os elementos de barra simples, casca e barra geral. A análise de instabilidade para o elemento de barra simples é efetuada determinando-se os pontos críticos ao longo da trajetória de equilíbrio em grandes deslocamentos. Para se determinar essas trajetórias são utilizados os algoritmos de Newton-Raphson e arc-length. Este tipo de análise é particularmente importante na definição de estruturas multi-estáveis de uso crescente na indústria mecânica e aeroespacial. Para o estudo da instabilidade empregando-se os elementos finitos de casca e barra geral realizam-se as análises para pequenos níveis de carga e deslocamentos por meio do cálculo dos autovalores e autovetores da matriz de rigidez da estrutura. Avaliam-se também as trajetórias de equilíbrio em grandes deslocamentos considerando-se pequenas imperfeições na geometria dos elementos estruturais. Quando os elementos de casca são utilizados na modelagem de perfis estruturais esbeltos surgem naturalmente modos de falha locais associados à mudança de forma da seção transversal. Com a finalidade de inserir essas mobilidades no elemento de barra geral propõem-se uma metodologia que considera os aprimoramentos na cinemática da barra. Esses aprimoramentos são tratados como parâmetros nodais generalizados e estão associadas a intensidade da mudança de forma de seção transversal, incluindo os modos de empenamento. Descreve-se originalmente uma metodologia de decomposição da matriz Hessiana usada para o cálculo dos valores e vetores próprios em pequenos deslocamentos. Essa metodologia possui importância adicional pois é utilizada na preparação e avaliação do parâmetro de carga em cinemáticas alternativas da formulação posicional. Utiliza-se o algoritmo de Lanczos na determinação das cargas e modos de falha realizando-se chamadas a biblioteca ARPACK. Os algoritmos são testados em exemplos modelados com os elementos finitos propostos. Próximo aos pontos críticos realiza-se a separação da matriz Hessiana procurando-se possíveis modos de colapso da estrutura. Além dos modos de falha globais é possível se identificar os modos de falha locais e distorcionais. O equilíbrio do sistema mecânico é garantido pelo princípio da estacionariedade da energia potencial total. Nas análises com os elementos de casca e barra geral, a solução do sistema não-linear é obtida empregando-se o método incremental iterativo de Newton-Raphson. Os aprimoramentos sugeridos nesta pesquisa são acoplados ao código computacional utilizado pelo grupo de mecânica computacional do departamento de engenharia de estruturas, onde diversas funcionalidades estão disponíveis, como análise dinâmica e não-linearidade material. Exemplos selecionados são apresentados ao longo da tese para demonstrar a eficiência dos elementos propostos e a aplicabilidade da técnica. Por fim, são realizadas comparações com estratégia de solução já consagradas, como por exemplo: o método das faixas finitas e a teoria generalizadas de vigas. Os resultados obtidos justificam as contribuições originais da presente pesquisa destacando-se a contribuição da formulação posicional ao estudo da instabilidade das estruturas. / This thesis presents the positional finite element method in a total Lagrangian framework dedicated to instability analysis of the three-dimensional structures. Three types of finite elements are implemented and tested, namely: truss, shells and frames. The instability analysis for truss element is computed using equilibrium path in large displacements. The critical points are computed using Newton-Raphson and arc-length algorithm. This analysis is particularly important in the definition of multi-stable and large displacements structures widely used in mechanical and aerospace industry. For shell and frame geometrically non-linear finite elements, the instability phenomenon is studied from the eigenvalues and eigenvectors analysis for small levels of loads and displacements. It is also evaluate the equilibrium trajectories for large displacements, considering small imperfections in the geometry of the structure. When using the shell elements to model the frames structures local failure modes associated with changing of the cross section shape arise. In order to consider the mobility in frame element new improvements are propose in the kinematic. These improvements are treated as generalized nodal parameters and are associated with the intensity of the cross-sectional change, including warping. The originally methodology of decomposition of the Hessian matrix are described and used for calculating eigenvalues and eigenvectors of the stiffness matrix. This methodology has additional importance because it is used in the preparation and evaluation of load parameter in kinematic alternatives of the positional formulation. The Lanczos algorithm is used to determining the loads and failure modes, through calls to ARPACK library for calculating eigenvalues and eigenvectors. The algorithms are tested on the examples modeled by proposed finite elements. Near the critical point takes place the separation of the Hessian matrix for possible identification of the failure modes. In addition to global failure methods, local and distortion failure are captured by this methodology. The balance of the mechanical system is guaranteed by the stationarity of the total potential energy principle. In the analysis using shells and frames elements the solution of the nonlinear system is calculated using the iterative incremental Newton-Raphson method. The improvements suggested in this research are coupled to the computer code used by computational mechanics group of the structures engineering department, where several features are available like dynamic and plasticity analysis. Selected examples are presented throughout the thesis to demonstrate the efficiency of the proposed elements and applicability of the technique. Finally, comparisons are carried out with already established solving strategy such as the finite strip methods and the generalized beam theory. The results justified the original contributions of this research to study of unstable structures.

The spans of precast prestressed concrete bridge girders have become longer to provide more economical and safer transportation structures. As the spans have increased, so has the depth of the girders which in turn have increased the slenderness of the girders. Slenderness in a beam or girder would increase the likelihood that a stability failure would occur. Stability failures could pose a danger to construction personnel due to the sudden nature in which a stability failure would occur. Furthermore, stability failures of prestressed concrete girders during construction would cause a detrimental economic impact due to the costs associated with the failure of the girder, the ensuing construction delays, damage to construction equipment and potential closures to highways over which the bridge was being constructed. An experimental and analytical study was performed to determine the stability behavior of prestressed concrete beams. Two stability phenomenons were investigated: (1) lateral-torsional buckling and (2) global stability. An emphasis was placed on the effects of initial imperfections on the stability behavior; the effect elastomeric bearing pads and support rotational stiffness was investigated. The experimental study involved testing six rectangular prestressed concrete beams for lateral-torsional buckling, a PCI BT-54 for thermal deformations and the same PCI BT-54 for global stability. The 32-ft. long rectangular beams were 4-in. wide and 40-in. deep. The PCI BT-54 had a 100-ft. long span. A material and geometric nonlinear, incremental load analysis was performed on the six rectangular beams. The nonlinear analyses matched the experimental load versus lateral displacement and load versus rotation behavior, and the analysis predicted the experimental maximum load within an error of 2%. The nonlinear analysis was extrapolated to several different initial imperfection conditions to parametrically study the effect of initial lateral displacement and initial rotation on the inelastic lateral-torsional buckling load. A simplified expression for lateral-torsional stability of beams with initial imperfections was developed. The data from the parametric study were used to develop reduction parameters for both initial sweep and initial rotation. The rollover stability behavior of the PCI BT-54 was investigated experimentally, and it was found that support end rotations and the elastomeric bearing pads had an adverse effect on the global stability. The nonlinear analysis was employed with the addition of a bearing pad model. It was found that the behavior was sensitive to the bearing pad stiffness properties and the assumption of uniform bearing. From the research, it was apparent that rollover stability was the controlling stability phenomenon for precast prestressed concrete bridge girders, not lateral-torsional buckling.

Nesta tese, apresenta-se o método dos elementos finitos posicional descrito em um referencial Lagrangiano total dedicado à análise de instabilidade de estruturas tridimensionais. Três tipos de elementos finitos são implementados e testados, a saber: os elementos de barra simples, casca e barra geral. A análise de instabilidade para o elemento de barra simples é efetuada determinando-se os pontos críticos ao longo da trajetória de equilíbrio em grandes deslocamentos. Para se determinar essas trajetórias são utilizados os algoritmos de Newton-Raphson e arc-length. Este tipo de análise é particularmente importante na definição de estruturas multi-estáveis de uso crescente na indústria mecânica e aeroespacial. Para o estudo da instabilidade empregando-se os elementos finitos de casca e barra geral realizam-se as análises para pequenos níveis de carga e deslocamentos por meio do cálculo dos autovalores e autovetores da matriz de rigidez da estrutura. Avaliam-se também as trajetórias de equilíbrio em grandes deslocamentos considerando-se pequenas imperfeições na geometria dos elementos estruturais. Quando os elementos de casca são utilizados na modelagem de perfis estruturais esbeltos surgem naturalmente modos de falha locais associados à mudança de forma da seção transversal. Com a finalidade de inserir essas mobilidades no elemento de barra geral propõem-se uma metodologia que considera os aprimoramentos na cinemática da barra. Esses aprimoramentos são tratados como parâmetros nodais generalizados e estão associadas a intensidade da mudança de forma de seção transversal, incluindo os modos de empenamento. Descreve-se originalmente uma metodologia de decomposição da matriz Hessiana usada para o cálculo dos valores e vetores próprios em pequenos deslocamentos. Essa metodologia possui importância adicional pois é utilizada na preparação e avaliação do parâmetro de carga em cinemáticas alternativas da formulação posicional. Utiliza-se o algoritmo de Lanczos na determinação das cargas e modos de falha realizando-se chamadas a biblioteca ARPACK. Os algoritmos são testados em exemplos modelados com os elementos finitos propostos. Próximo aos pontos críticos realiza-se a separação da matriz Hessiana procurando-se possíveis modos de colapso da estrutura. Além dos modos de falha globais é possível se identificar os modos de falha locais e distorcionais. O equilíbrio do sistema mecânico é garantido pelo princípio da estacionariedade da energia potencial total. Nas análises com os elementos de casca e barra geral, a solução do sistema não-linear é obtida empregando-se o método incremental iterativo de Newton-Raphson. Os aprimoramentos sugeridos nesta pesquisa são acoplados ao código computacional utilizado pelo grupo de mecânica computacional do departamento de engenharia de estruturas, onde diversas funcionalidades estão disponíveis, como análise dinâmica e não-linearidade material. Exemplos selecionados são apresentados ao longo da tese para demonstrar a eficiência dos elementos propostos e a aplicabilidade da técnica. Por fim, são realizadas comparações com estratégia de solução já consagradas, como por exemplo: o método das faixas finitas e a teoria generalizadas de vigas. Os resultados obtidos justificam as contribuições originais da presente pesquisa destacando-se a contribuição da formulação posicional ao estudo da instabilidade das estruturas. / This thesis presents the positional finite element method in a total Lagrangian framework dedicated to instability analysis of the three-dimensional structures. Three types of finite elements are implemented and tested, namely: truss, shells and frames. The instability analysis for truss element is computed using equilibrium path in large displacements. The critical points are computed using Newton-Raphson and arc-length algorithm. This analysis is particularly important in the definition of multi-stable and large displacements structures widely used in mechanical and aerospace industry. For shell and frame geometrically non-linear finite elements, the instability phenomenon is studied from the eigenvalues and eigenvectors analysis for small levels of loads and displacements. It is also evaluate the equilibrium trajectories for large displacements, considering small imperfections in the geometry of the structure. When using the shell elements to model the frames structures local failure modes associated with changing of the cross section shape arise. In order to consider the mobility in frame element new improvements are propose in the kinematic. These improvements are treated as generalized nodal parameters and are associated with the intensity of the cross-sectional change, including warping. The originally methodology of decomposition of the Hessian matrix are described and used for calculating eigenvalues and eigenvectors of the stiffness matrix. This methodology has additional importance because it is used in the preparation and evaluation of load parameter in kinematic alternatives of the positional formulation. The Lanczos algorithm is used to determining the loads and failure modes, through calls to ARPACK library for calculating eigenvalues and eigenvectors. The algorithms are tested on the examples modeled by proposed finite elements. Near the critical point takes place the separation of the Hessian matrix for possible identification of the failure modes. In addition to global failure methods, local and distortion failure are captured by this methodology. The balance of the mechanical system is guaranteed by the stationarity of the total potential energy principle. In the analysis using shells and frames elements the solution of the nonlinear system is calculated using the iterative incremental Newton-Raphson method. The improvements suggested in this research are coupled to the computer code used by computational mechanics group of the structures engineering department, where several features are available like dynamic and plasticity analysis. Selected examples are presented throughout the thesis to demonstrate the efficiency of the proposed elements and applicability of the technique. Finally, comparisons are carried out with already established solving strategy such as the finite strip methods and the generalized beam theory. The results justified the original contributions of this research to study of unstable structures.

As pontes estaiadas são exemplos de estruturas esbeltas e flexíveis onde a capacidade de utilização dos materiais tem grande importância. Neste sentido, para garantir a melhor utilização dos materiais envolvidos (aço e concreto, por exemplo), é preciso determinar as forças de protensão aplicadas aos cabos. A melhor distribuição dos momentos fletores no tabuleiro de ponte é aquela obtida com uma viga contínua. Pontes estaiadas fornecem apoios elásticos ao tabuleiro. O presente trabalho emprega o método da anulação dos deslocamentos, MAD, para obter as forças axiais a que os cabos estarão submetidos de modo a aproximar o comportamento do tabuleiro ao de uma viga contínua. O método MAD. proporciona uma estrutura economicamente mais viável. O código computacional desenvolvido realiza análises estática e modal por meio do método dos elementos finitos, MEF. A análise estática utilizada é a não linear geométrica, considerando as não linearidades do efeito de catenária do cabo, e dos elementos submetidos à compressão. O material é assumido no campo do regime elástico linear. A ponte é modelada por elementos de treliça plana com módulo de elasticidade de Dischinger, para simular os cabos, e elementos de pórtico plano para os elementos do tabuleiro e da torre. O carregamento da estrutura considera a atuação apenas do peso-próprio dos elementos estruturais. O código computacional desenvolvido permite, também, a análise modal da estrutura a fim de determinar suas frequências naturais e modos de vibração. A análise modal pode ser realizada com a matriz de massa concentrada, ou consistente. Em relação à matriz de rigidez, a análise modal da estrutura pode utilizar a matriz de rigidez linear, para uma análise de vibrações livres, ou a matriz de rigidez tangente para as análises de vibração sob tensões iniciais. Exemplos encontrados na literatura são resolvidos com o código computacional desenvolvido para verificação e validação. / The cable-stayed bridges are examples of slender and flexible where the usability of the materials is very important structures. In this sense, to ensure the best use of the materials involved (steel and concrete, for example), one must determine the forces applied to the prestressing cables. A better distribution of the bending moments in the bridge deck is obtained with a continuous beam. Cable-stayed bridges provide elastic support to the deck. This work employs the zero displacement method, ZDM, to determine the axial forces that the cables will be subjected to in order to approximate the behavior of the deck to the one as a continuous beam. The ZDM method provides an economically viable structure. The computational code performs static and modal analysis, which are performed by using the finite element method, FEM. The static analysis is a nonlinear geometric analysis which considers the nonlinearities of the cable sag, and the compression effects on the elements. The material is assumed in the field of linear elastic regime. The bridge is modeled by elements of plane truss with Dischingers elasticity module, to simulate cables and plane frame elements for the deck and the tower elements. The structure is subjected to self-weight of the elements. The computer code developed also performs the modal analysis of the structure to determine their natural frequencies and mode shapes. The modal analysis can be carried out with the concentrated or consistent mass matrix. In relation to the stiffness matrix, modal analysis of the structure may use a linear stiffness matrix for analysis of free vibration analysis or the tangent stiffness matrix for the analysis of vibration under initial stress. Examples in the literature are solved with the computational code developed for verification and validation.

As pontes estaiadas são exemplos de estruturas esbeltas e flexíveis onde a capacidade de utilização dos materiais tem grande importância. Neste sentido, para garantir a melhor utilização dos materiais envolvidos (aço e concreto, por exemplo), é preciso determinar as forças de protensão aplicadas aos cabos. A melhor distribuição dos momentos fletores no tabuleiro de ponte é aquela obtida com uma viga contínua. Pontes estaiadas fornecem apoios elásticos ao tabuleiro. O presente trabalho emprega o método da anulação dos deslocamentos, MAD, para obter as forças axiais a que os cabos estarão submetidos de modo a aproximar o comportamento do tabuleiro ao de uma viga contínua. O método MAD. proporciona uma estrutura economicamente mais viável. O código computacional desenvolvido realiza análises estática e modal por meio do método dos elementos finitos, MEF. A análise estática utilizada é a não linear geométrica, considerando as não linearidades do efeito de catenária do cabo, e dos elementos submetidos à compressão. O material é assumido no campo do regime elástico linear. A ponte é modelada por elementos de treliça plana com módulo de elasticidade de Dischinger, para simular os cabos, e elementos de pórtico plano para os elementos do tabuleiro e da torre. O carregamento da estrutura considera a atuação apenas do peso-próprio dos elementos estruturais. O código computacional desenvolvido permite, também, a análise modal da estrutura a fim de determinar suas frequências naturais e modos de vibração. A análise modal pode ser realizada com a matriz de massa concentrada, ou consistente. Em relação à matriz de rigidez, a análise modal da estrutura pode utilizar a matriz de rigidez linear, para uma análise de vibrações livres, ou a matriz de rigidez tangente para as análises de vibração sob tensões iniciais. Exemplos encontrados na literatura são resolvidos com o código computacional desenvolvido para verificação e validação. / The cable-stayed bridges are examples of slender and flexible where the usability of the materials is very important structures. In this sense, to ensure the best use of the materials involved (steel and concrete, for example), one must determine the forces applied to the prestressing cables. A better distribution of the bending moments in the bridge deck is obtained with a continuous beam. Cable-stayed bridges provide elastic support to the deck. This work employs the zero displacement method, ZDM, to determine the axial forces that the cables will be subjected to in order to approximate the behavior of the deck to the one as a continuous beam. The ZDM method provides an economically viable structure. The computational code performs static and modal analysis, which are performed by using the finite element method, FEM. The static analysis is a nonlinear geometric analysis which considers the nonlinearities of the cable sag, and the compression effects on the elements. The material is assumed in the field of linear elastic regime. The bridge is modeled by elements of plane truss with Dischingers elasticity module, to simulate cables and plane frame elements for the deck and the tower elements. The structure is subjected to self-weight of the elements. The computer code developed also performs the modal analysis of the structure to determine their natural frequencies and mode shapes. The modal analysis can be carried out with the concentrated or consistent mass matrix. In relation to the stiffness matrix, modal analysis of the structure may use a linear stiffness matrix for analysis of free vibration analysis or the tangent stiffness matrix for the analysis of vibration under initial stress. Examples in the literature are solved with the computational code developed for verification and validation.

[pt] Uma análise não linear geométrica de estruturas, utilizando o Método dos Elementos Finitos (MEF), depende de cinco aspectos: a teoria de flexão, da descrição cinemática, das relações entre deformações e deslocamentos, da metodologia de análise não linear e das funções de interpolação de deslocamentos. Como o MEF é uma solução numérica, a discretização da estrutura fornece grande influência na resposta dessa análise. Contudo, ao se empregar funções de interpolação correspondentes à solução homogênea da equação diferencial do problema, obtêm-se o comportamento exato da estrutura para uma discretização mínima, como ocorre em uma análise linear. Assim, este trabalho visa a integrar as soluções para o problema da não linearidade geométrica, de maneira a tentar reduzir essa influência e permitir uma discretização mínima da estrutura, considerando ainda grandes deslocamentos e rotações. Então, utilizando-se a formulação Lagrangeana atualizada, os termos de ordem elevada no tensor deformação, as teorias de flexão de Euler-Bernoulli e Timoshenko, os algoritmos para solução de problemas não lineares e funções de interpolação, que consideram a influência da carga axial, obtidas da solução da equação diferencial do equilíbrio de um elemento infinitesimal na condição deformada, desenvolve-se um elemento de pórtico espacial com uma formulação completa. O elemento é implementado no Framoop e sua resposta, utilizando-se uma discretização mínima da estrutura, é comparada com formulações usuais, soluções analíticas e com o programa Mastan2 v3.5. Os resultados evidenciam a eficiência da formulação desenvolvida para prever a carga crítica de estruturas planas e espaciais utilizando uma discretização mínima. / [en] A structural geometric nonlinear analysis, using the finite element method (FEM), depends on the consideration of five aspects: the bending theory, the kinematic description, the strain-displacement relations, the nonlinear solution scheme and the interpolation (shape) functions. As MEF is a numerical solution, the structure discretization provides great influence on the analysis response. However, applying shape functions calculated from the homogenous solution of the differential equation of the problem, the exact behavior of the structure is obtained for a minimum discretization, as for a linear analysis. Thus, this work aims to integrate the solutions for the formulations of the geometric nonlinearity problem, in order to reduce this influence and allow a minimum discretization of the structure, also considering, large displacements and rotations. Then, using an updated Lagrangian kinematic description, considering a higher-order Green strain tensor, The Euler-Bernoulli and Timoshenko beam theories, the nonlinear solutions schemes and the interpolation functions, that includes the influence of axial force, obtained directly from the solution of the equilibrium differential equation of an deformed infinitesimal element, a spatial bar frame element is developed using a complete formulation. The element was implemented in the Framoop, and their results, for a minimum discretization, were compared with conventional formulations, analytical solutions and with the software Mastan2 v3.5. Results clearly show the efficiency of the developed formulation to predict the critical load of plane and spatial structures using a minimum discretization.