L'amélioration de la visualisation in vivo des lésions précancéreuse (dysplasies) du col utérin est essentielle pour mieux identifier les zones à biopsier et pour optimiser la définition des limites d'exérèse chirurgicale. Dans ce but nous étudions une nouvelle technique d'imagerie polarimétrique en rétrodiffusion, que nous avons mise en oeuvre sur des échantillons ex vivo dans des configurations expérimentales variées afin d'optimiser le diagnostic in vivo. Comme cette optimisation passe par la compréhension des contrastes polarimétriques observés, nous avons réalisé de nombreuses simulations de la propagation de lumière polarisée dans des structures multicouche représentatives des tissus. Ces structures comprennent typiquement une couche comportant des diffuseurs dans une matrice homogène et représentant l'épithélium ou le tissu conjonctif superficiel, et un substrat lambertien totalement dépolarisant pour les couches plus profondes. Ces simulations ont été effectuées au moyen d'un code Monte Carlo que nous avons adapté à notre problématique. Nous avons ainsi montré que la contribution des noyaux cellulaires est très faible en rétrodiffusion. Pour le tissu conjonctif, les fibres de collagène, modélisées par des diffuseurs sphériques de 200 nm de rayon, donnent une contribution plus importante que les noyaux, mais ne reproduisent pas la réponse polarimétrique de type Rayleigh observée dans tous les tissus étudiés, qu'ils soient sains ou pathologiques. En revanche, l'inclusion de diffuseurs de taille nettement inférieure à la longueur d'onde, modélisés par des sphères de 50 nm, permet de reproduire cette réponse de manière très stable. Ces diffuseurs correspondent a priori aux protéines intracellulaires. Dans le cadre de ce modèle, les contrastes observés entre tissus sains et cancéreux s'expliquent essentiellement par une variation de la concentration de ces petits diffuseurs. Ce résultat, encore préliminaire, suggère que l'imagerie polarimétrique en rétrodiffusion peut être sensible non seulement à la morphologie, mais également à l'état physiologique du tissu, ce qui peut s'avérer important pour la détection sélective des dysplasies.

Le but de cette thèse est de définir une méthode d'optimisation de formes qui conjugue l'utilisation de la dérivée seconde de forme et la méthode des lignes de niveaux pour la représentation d'une forme.On considèrera d'abord deux cas plus simples : un cas d'optimisation paramétrique et un cas d'optimisation discrète.Ce travail est divisé en quatre parties.La première contient le matériel nécessaire à la compréhension de l'ensemble de la thèse.Le premier chapitre rappelle des résultats généraux d'optimisation, et notamment le fait que les méthodes d'ordre deux ont une convergence quadratique sous certaines hypothèses.Le deuxième chapitre répertorie différentes modélisations pour l'optimisation de formes, et le troisième se concentre sur l'optimisation paramétrique puis l'optimisation géométrique.Les quatrième et cinquième chapitres introduisent respectivement la méthode des lignes de niveaux (level-set) et la méthode des éléments-finis.La deuxième partie commence par les chapitres 6 et 7 qui détaillent des calculs de dérivée seconde dans le cas de l'optimisation paramétrique puis géométrique.Ces chapitres précisent aussi la structure et certaines propriétés de la dérivée seconde de forme.Le huitième chapitre traite du cas de l'optimisation discrète.Dans le neuvième chapitre on introduit différentes méthodes pour un calcul approché de la dérivée seconde, puis on définit un algorithme de second ordre dans un cadre général.Cela donne la possibilité de faire quelques premières simulations numériques dans le cas de l'optimisation paramétrique (Chapitre 6) et dans le cas de l'optimisation discrète (Chapitre 7).La troisième partie est consacrée à l'optimisation géométrique.Le dixième chapitre définit une nouvelle notion de dérivée de forme qui prend en compte le fait que l'évolution des formes par la méthode des lignes de niveaux, grâce à la résolution d'une équation eikonale, se fait toujours selon la normale.Cela permet de définir aussi une méthode d'ordre deux pour l'optimisation.Le onzième chapitre détaille l'approximation d'intégrales de surface et le douzième chapitre est consacré à des exemples numériques.La dernière partie concerne l'analyse numérique d'algorithmes d'optimisation de formes par la méthode des lignes de niveaux.Le Chapitre 13 détaille la version discrète d'un algorithme d'optimisation de formes.Le Chapitre 14 analyse les schémas numériques relatifs à la méthodes des lignes de niveaux.Enfin le dernier chapitre fait l'analyse numérique complète d'un exemple d'optimisation de formes en dimension un, avec une étude des vitesses de convergence / The main purpose of this thesis is the definition of a shape optimization method which combines second-order differentiationwith the representation of a shape by a level-set function. A second-order method is first designed for simple shape optimization problems : a thickness parametrization and a discrete optimization problem. This work is divided in four parts.The first one is bibliographical and contains different necessary backgrounds for the rest of the work. Chapter 1 presents the classical results for general optimization and notably the quadratic rate of convergence of second-order methods in well-suited cases. Chapter 2 is a review of the different modelings for shape optimization while Chapter 3 details two particular modelings : the thickness parametrization and the geometric modeling. The level-set method is presented in Chapter 4 and Chapter 5 recalls the basics of the finite element method.The second part opens with Chapter 6 and Chapter 7 which detail the calculation of second-order derivatives for the thickness parametrization and the geometric shape modeling. These chapters also focus on the particular structures of the second-order derivative. Then Chapter 8 is concerned with the computation of discrete derivatives for shape optimization. Finally Chapter 9 deals with different methods for approximating a second-order derivative and the definition of a second-order algorithm in a general modeling. It is also the occasion to make a few numerical experiments for the thickness (defined in Chapter 6) and the discrete (defined in Chapter 8) modelings.Then, the third part is devoted to the geometric modeling for shape optimization. It starts with the definition of a new framework for shape differentiation in Chapter 10 and a resulting second-order method. This new framework for shape derivatives deals with normal evolutions of a shape given by an eikonal equation like in the level-set method. Chapter 11 is dedicated to the numerical computation of shape derivatives and Chapter 12 contains different numerical experiments.Finally the last part of this work is about the numerical analysis of shape optimization algorithms based on the level-set method. Chapter 13 is concerned with a complete discretization of a shape optimization algorithm. Chapter 14 then analyses the numerical schemes for the level-set method, and the numerical error they may introduce. Finally Chapter 15 details completely a one-dimensional shape optimization example, with an error analysis on the rates of convergence

Dans ce travail, on étudie l'homogénéisation de quelques problèmes de propagations de fronts dans des milieux stationnaires et ergodiques. Dans la première partie, on étudie l'homogénéisation stochastique de quelques problèmes de propagations de fronts non-locaux. En particulier, on donne une version non-locale de la méthode de la fonction test perturbée d'Evans. La deuxième partie est consacrée à l'approximation numérique du Hamiltonien effectif qui découle de l'homogénéisation stochastique des équations de Hamilton-Jacobi. On établit des estimations d'erreurs entre les solutions numériques et l'Hamiltonien effectif. Dans la troisième partie, on s'intéresse à l'homogénéisation stochastique de problèmes de propagations de fronts qui évoluent dans la direction normale avec une vitesse qui peut être non bornée. On montre des résultats d'homogénéisation dans le cas des milieux i.i.d. / In this work, we study the homogenization of some front propagation problems in stationary ergodic media. In the first part, we study the stochastic homogenization of non-local front propagation problems. In particular, we give a non-local variation of the perturbed test function method of Evans. The second part is devoted to numerical approximations of the effective Hamiltonian arising in stochastic homogenization of Hamilton-Jacobi equations. We establish error estimates between numerical solutions and the effective Hamiltonian. In the third part, we are interested in the stochastic homogenization of front propagation problems moving in the normal direction with possible unbounded velocity. Assuming that the media satisfies a finite range of dependence condition, we prove homogenization results.

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