Este trabalho apresenta uma sistemática para a otimização topológica em estruturas contínuas, com o objetivo de minimizar o volume do componente e sujeito a uma restrição de falha baseada em tensão (critério de von Mises ou critério de fadiga multiaxial). As variáveis de projeto para otimização topológica são as densidades de cada elemento. As restrições para os problemas apresentados são escritos na forma global, reduzindo desta maneira o número de restrições impostas à estrutura. Esta forma global é uma norma da violação do critério de falha, com expoente variando entre dois e quatro conforme condições de contorno impostas. Este trabalho apresenta inicialmente a restrição de tensão de von Mises com um caso de carregamento, seguido da restrição de von Mises para múltiplos casos de carregamento e finalmente a restrição de fadiga multiaxial. As formulações de otimização com restrições de tensão apresentam um problema conhecido como singularidade das tensões, impedindo-as de convergir para o mínimo global. Para contornar essa situação, a técnica matemática conhecida por relaxação é empregada neste trabalho. A análise de sensibilidade para restrição de tensão e de fadiga para otimização topológica é deduzida utilizando o método adjunto. Os resultados obtidos demonstram que a metodologia de otimização topológica apresentada permite a obtenção de estruturas que satisfazem as restrições impostas com grande redução de volume. Adicionalmente, deduz-se analiticamente o gradiente de forma em relação aos pontos de controle de uma B-spline para a restrição de fadiga, como exemplo para a implementação da otimização de forma. / This work presents an approach for the topology optimization of continuum structures, aiming to minimize its volume subject to a stress based failure constraint, in this case either the von Mises criterion or a multi-axial fatigue criterion. Design variables are the finite element densities. Instead of writing failure constraint as local quantities, a global function is derived. This function is a norm of the failure criteria violation, with exponent chosen between 2 and 4 according to the boundary conditions. Three different constraints are presented: the von Mises criterion for a single load case, von Mises criterion for multiple load cases, and a multi-axial fatigue criterion. Stress based constraints have a well known difficulty in topology optimization, the stress singularity. This work uses the mathematical technique known as -relaxation to avoid this problem. Failure criteria sensitivity analyses for the topology design variables are derived using adjoint methods. Results show that the approach can yield failure constrained structures with significantly lower volumes. Moreover, the analytical derivation of the failure constraint sensitivities for shape design variables (B-Spline control points) is presented as the first step to define a shape optimization methodology.

Este trabalho apresenta uma metodologia para a otimização de estruturas do tipo treliça ou pórtico. A função objetivo adotada neste trabalho é o volume, onde o problema pode apresentar restrições de estabilidade estrutural ou flexibilidade. A abordagem utilizada é a otimização topológica, na qual busca-se gerar uma estrutura ótima a partir de um universo de elementos. A malha inicial é gerada por um programa que permite decidir qual o tipo de vizinhança que será utilizado, gerando então a ótima conectividade entre todos os nós possíveis. Utilizam-se neste trabalho vizinhanças de primeira até quarta ordem; o número de elementos cresce com o aumento da ordem da vizinhança. Nas estruturas discretizadas utilizou-se elemento de barra e viga, onde a seção de cada um dos elementos foi adotado como variável de projeto. Restringiu-se a variação da área da seção de cada elemento dentro de um intervalo, com o limite máximo de 0,5 e o mínimo de 0,001. Três tipos de problemas são formulados neste trabalho: o primeiro minimização do volume com restrição de flexibilidade, o segundo com restrição de flambagem e por último a minimização de volume com ambas as restrições de flexibilidade e estabilidade estrutural. Na otimização topológica é utilizado a programação linear seqüencial (SLP), onde as funções objetivo e sensibilidade são linearizadas através da expansão em série de Taylor. Um ponto importante deste trabalho foi a obtenção da derivada de flambagem quando existirem autovalores repetidos, fazendo-se uso do método analítico direto. Os resultados obtidos demonstram que a metodologia implementada permitem a obtenção de estruturas que satisfazem as restrições impostas com grande redução no volume. / This work presents a methology for structural optimization of trusses and frames. The approach adopted is topology optimization; the optimal structure is searched from a ground struture. This initial ground structure is generated by a computer program where the structural elements conect all nodes within a given neighborhood. This work uses from the first to fourth order neighborhood; the number of elements increases with this order. Bar and beam elements are used, and the design variables are the cross sectional area of each element. Bound constraints are defined for the design variables, from a minimum of 0.001 to the maximum of 0.5. Three different problems are considered: minimizing volume with compliance constraint, minimizing volume with stability (buckling) constraint, and minimizing volume with both compliance and estability constraint. Sequencial Linear Programming (SLP) is used to optimize the structure, demanding a linearization of the objective function and sensitivities through Taylor series expansion. A highlight of this work is the derivation of analytical sensitivities for repeated eingenvalues (with many eigenvectors). Results show that the methodology developed in this work can successfuly obtain structural designs that comply with the constrains with large weight reduction.

Neste trabalho é resolvido o problema da minimização do volume de estruturas bidimensionais contínuas submetidas a restrições sobre a flexibilidade (trabalho das forças externas) e sobre as tensões, utilizando a técnica chamada otimização topológica, que visa encontrar a melhor distribuição de material dentro de um domínio de projeto pré-estabelecido. As equações de equilíbrio são resolvidas através do método dos elementos finitos, discretizando a geometria e aproximando o campo de deslocamentos. Dessa forma, essas equações diferenciais são transformadas em um sistema de equações lineares, obtendo como resposta os deslocamentos nodais de cada elemento. A distribuição de material é discretizada como uma densidade fictícia constante por elemento finito. Esta densidade define um material isotrópico poroso de uma seqüência pré-estabelecida (SIMP). A otimização é feita através da Programação Linear Seqüencial. Para tal, a função objetivo e as restrições são sucessivamente linearizadas por expansão em Série de Taylor. A análise de sensibilidade para a restrição de flexibilidade é resolvida utilizando o cálculo da sensibilidade analítico adaptado para elementos finitos de elasticidade plana. Quando as restrições consideradas são as tensões, o problema torna-se mais complexo. Diferente da flexibilidade, que é uma restrição global, cada elemento finito deve ter sua tensão controlada. A tensão de Von Mises é o critério de falha considerado, cuja sensibilidade foi calculada de acordo com a metodologia empregada por Duysinx e Bendsøe [Duysinx e Bendsøe, 1998] Problemas como a instabilidade de tabuleiro e dependência da malha sempre aparecem na otimização topológica de estruturas contínuas. A fim de minimizar seus efeitos, um filtro de vizinhança foi implementado, restringindo a variação da densidade entre elementos adjacentes. Restrições sobre as tensões causam um problema adicional, conhecido como singularidade das tensões, fazendo com que os algoritmos não convirjam para o mínimo global. Para contornar essa situação, é empregada uma técnica matemática de perturbação visando modificar o espaço onde se encontra a solução, de forma que o mínimo global possa ser encontrado. Esse método desenvolvido por Cheng e Guo [Cheng e Guo, 1997] é conhecido por relaxação-ε e foi implementado nesse trabalho.

Em áreas que demandam componentes de alto desempenho como a indústria automotiva, aeronáutica e aeroespacial, a otimização do desempenho dinâmico de estruturas é buscada através de diferentes abordagens, como o projeto de materiais específicos à aplicação, ou otimização estrutural topológica. Em particular, o método de otimização estrutural evolucionária bidirecional BESO (Bi-directional Evolutionary Structural Optimization) tem sido utilizado no projeto simultâneo de estruturas hierárquicas, o que significa que o domínio estrutural consiste não somente na estrutura como também na topologia microestrutural dos materiais empregados. O objetivo desse trabalho consiste em aplicar a metodologia BESO na resolução de problemas multiescala bidimensionais visando à maximização da frequência fundamental de estruturas, assim como a minimização de sua resposta quando sujeitas a excitações forçadas numa determinada faixa de frequências. O método da homogeneização é introduzido e aplicado na integração entre as diferentes escalas do problema. Em especial, o modelo de interpolação material é generalizado para o uso de dois materiais no caso de otimização da resposta no domínio da frequência. A metodologia BESO foi aplicada a casos de otimização tomando como domínio estrutural somente a macroescala (projeto estrutural), somente a microescala (projeto material), assim como ambas as escalas concomitantemente (projeto multiescala). Para os casos estudados, a redistribuição de material na macroescala levou a resultados melhores em relação à otimização que modifica a microestrutura. Para a maximização da frequência fundamental, a otimização multiescala obteve os melhores resultados, já para a minimização da resposta em frequência, a otimização somente na macroescala se mostrou mais eficiente. / In areas which demand high performance components, such as automotive, aeronautics and aerospace, the design of application deppendent materials and structural topology optimization are two approaches used in order to optimize structures‟ dynamic behaviour. In particular, the Bi-directional Evolutionary Structural Optimization (BESO) method has been applied to the simultaneous project of hierarchical structures, meaning that the project‟s domain consists not only on the structure on the macroscale, but also on the representative volume element (RVE) associated with the microstructure of the employed materials. The objective of this work is to apply the BESO method in order to solve multiscale bidimensional problems, more specifically, topology optimization problems for fundamental frequency maximization and minimization of the response in the frequency domain under harmonic excitation. The homogenization method is introduced and used to integrate the macro and microscales considered. Furthermore, the material interpolation model in generalized for two material domains in the response minimization problem. The BESO method was applied to optimizations problems where the structural domain was eiher the macrostructure (structural project), microstructure (material project), or both scales simultaneously (multiscale project). In general, material distribution at the macroscale lead to better results in comparison to optimization at the microscale. For fundamental frequency maximization, the multiscale approach obtained better results, while for minimization of the frequency response the results were optimal when the structural domain was restricted to the macrostructure.

O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma formulação para a otimização estrutural de treliças planas e espaciais submetidas a restrições de tensão e deslocamento, combinando técnicas que consideram o espaço de busca contínuo e discreto. É implementado um algoritmo cuja finalidade é incorporar a simplicidade, eficiência e velocidade dos métodos determinísticos com a capacidade de produzir resultados mais realísticos dos métodos estocásticos. O programa desenvolvido possui módulos de elementos finitos, análise de sensibilidade e otimização. Os problemas são resolvidos em duas etapas: A primeira etapa é baseada em Programação Linear Seqüencial (PLS). Este método de programação matemática necessita que a função objetivo e as restrições sejam sucessivamente linearizadas por expansão em séries de Taylor e a análise de sensibilidade é resolvida utilizando o método analítico. A segunda etapa usa Algoritmos Genéticos (AG) e emprega o método das funções penalizadas, no qual o problema restrito é transformado em irrestrito, associando uma penalidade às restrições violadas. Os resultados encontrados na primeira etapa são utilizados para melhorar a convergência da segunda etapa. Para ilustrar o desempenho do algoritmo proposto são apresentados exemplos numéricos de problemas clássicos comparando-os com outros métodos encontrados na literatura. / The present work has as objective the presentation a formulation for structural optimization of plane or space truss with local stress and displacement constraints, combining techniques that consider the search space continuous and discrete. An algorithm was implemented with the purpose to incorporate the simplicity, efficiency and rapidity of the deterministic methods with the ability to produce more realistic results of stochastic methods. The software developed has modules for finite element, sensitivity analysis and optimization. Problems are solved in two steps: The first is based on Sequential Linear Programming (SLP). This method of mathematical programming requires that the objective function and constraints are successively linearized applying a Taylor series expansion and sensitivity analysis is solved using the analytical method. The second step uses genetic algorithms (GA) and Penalty function methods for transform the constrained problem into an unconstrained problem, associating a penalty if a constraint is violated. The results in the first stage are used to improve the convergence of the second stage. Numerical examples are presented to illustrate the performance of the proposed algorithm comparing with other methods found in literature.

O uso de perfis de aço formados a frio tem como objetivo a obtenção de estruturas leves. O emprego de chapas de pequena espessura na fabricação desses perfis implica facilidade de obtenção de seções de diferentes geometrias, encorajando a otimização. Porém, isso resulta, muitas vezes, numa grande esbeltez dos elementos que compõem a seção, o que os torna suscetíveis ao fenômeno da flambagem local quando submetidos a esforços de compressão. No contexto dos perfis de aço formados a frio, esse trabalho tem como objetivo a avaliação do comportamento estrutural de telhas de aço formadas a frio de perfil trapezoidal, analisando-se vários aspectos, entre eles métodos de determinação de carga crítica de flambagem elástica e de carga de colapso, influência das condições de contorno na performance estrutural e a otimização da forma da seção transversal. A carga crítica e a carga de colapso de telhas trapezoidais de perfil comercial, com diferentes condições de vinculação das bordas longitudinais, foram obtidas experimentalmente e comparadas com resultados teóricos. Para a determinação da carga crítica teórica, foram utilizados modelos de elementos finitos e de faixas finitas e, para a obtenção da carga de colapso teórica, foram empregados o Método da Resistência Direta e o procedimento da Norma Brasileira NBR 14762:2001. A otimização de forma da seção transversal das telhas foi realizada utilizando-se Algoritmos Genéticos. Foram propostas diferentes funções objetivo, relacionadas com a minimização da flecha no meio do vão, a maximização da carga crítica de flambagem elástica e a maximização da área de cobertura. Em relação a todos os aspectos citados, os resultados obtidos pelos diversos métodos de análise foram discutidos, com as limitações de cada um devidamente destacadas. As principais conclusões tiradas ao longo desse estudo estão apresentadas no final do trabalho. / The cold-formed steel members application aims at the obtaining of light gauge structures. The use of thin sheets in these members fabrication implies the facility of obtaining different cross sections, encouraging the optimization. However, several times, it results in slender section elements. These elements, when submitted to compressive stresses, have a high tendency to undergo the local buckling phenomenon. The main aim of this work is to research the structural behavior of cold-formed trapezoidal steel roofing sheets, investigating different aspects: critical elastic buckling load and collapse load evaluation methods, boundary conditions influence on the structural performance and cross section optimization. The critical buckling load and the collapse load of trapezoidal sheets with a commercialshaped cross section, with different boundary conditions of the longitudinal edges, were experimentally determined and compared with theoretical results. In order to evaluate the theoretical critical buckling load, finite element and finite strip models were used. For the collapse load determination, the Direct Strength Method and the design specification from the Brazilian Code NBR 14762:2001 were employed. The cross section optimization of the trapezoidal sheets was carried out using Genetic Algorithms. Different fitness functions were proposed, being related to the midspan deflection minimization, the critical elastic buckling load maximization and the covering area maximization. Considering all the mentioned points, the results obtained by the different analysis methods were discussed, and the limitations of each one were appropriately highlighted. The main conclusions obtained along this study are presented at the end of the work.

O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma formulação para a otimização estrutural de treliças planas e espaciais submetidas a restrições de tensão e deslocamento, combinando técnicas que consideram o espaço de busca contínuo e discreto. É implementado um algoritmo cuja finalidade é incorporar a simplicidade, eficiência e velocidade dos métodos determinísticos com a capacidade de produzir resultados mais realísticos dos métodos estocásticos. O programa desenvolvido possui módulos de elementos finitos, análise de sensibilidade e otimização. Os problemas são resolvidos em duas etapas: A primeira etapa é baseada em Programação Linear Seqüencial (PLS). Este método de programação matemática necessita que a função objetivo e as restrições sejam sucessivamente linearizadas por expansão em séries de Taylor e a análise de sensibilidade é resolvida utilizando o método analítico. A segunda etapa usa Algoritmos Genéticos (AG) e emprega o método das funções penalizadas, no qual o problema restrito é transformado em irrestrito, associando uma penalidade às restrições violadas. Os resultados encontrados na primeira etapa são utilizados para melhorar a convergência da segunda etapa. Para ilustrar o desempenho do algoritmo proposto são apresentados exemplos numéricos de problemas clássicos comparando-os com outros métodos encontrados na literatura. / The present work has as objective the presentation a formulation for structural optimization of plane or space truss with local stress and displacement constraints, combining techniques that consider the search space continuous and discrete. An algorithm was implemented with the purpose to incorporate the simplicity, efficiency and rapidity of the deterministic methods with the ability to produce more realistic results of stochastic methods. The software developed has modules for finite element, sensitivity analysis and optimization. Problems are solved in two steps: The first is based on Sequential Linear Programming (SLP). This method of mathematical programming requires that the objective function and constraints are successively linearized applying a Taylor series expansion and sensitivity analysis is solved using the analytical method. The second step uses genetic algorithms (GA) and Penalty function methods for transform the constrained problem into an unconstrained problem, associating a penalty if a constraint is violated. The results in the first stage are used to improve the convergence of the second stage. Numerical examples are presented to illustrate the performance of the proposed algorithm comparing with other methods found in literature.

O uso de perfis de aço formados a frio tem como objetivo a obtenção de estruturas leves. O emprego de chapas de pequena espessura na fabricação desses perfis implica facilidade de obtenção de seções de diferentes geometrias, encorajando a otimização. Porém, isso resulta, muitas vezes, numa grande esbeltez dos elementos que compõem a seção, o que os torna suscetíveis ao fenômeno da flambagem local quando submetidos a esforços de compressão. No contexto dos perfis de aço formados a frio, esse trabalho tem como objetivo a avaliação do comportamento estrutural de telhas de aço formadas a frio de perfil trapezoidal, analisando-se vários aspectos, entre eles métodos de determinação de carga crítica de flambagem elástica e de carga de colapso, influência das condições de contorno na performance estrutural e a otimização da forma da seção transversal. A carga crítica e a carga de colapso de telhas trapezoidais de perfil comercial, com diferentes condições de vinculação das bordas longitudinais, foram obtidas experimentalmente e comparadas com resultados teóricos. Para a determinação da carga crítica teórica, foram utilizados modelos de elementos finitos e de faixas finitas e, para a obtenção da carga de colapso teórica, foram empregados o Método da Resistência Direta e o procedimento da Norma Brasileira NBR 14762:2001. A otimização de forma da seção transversal das telhas foi realizada utilizando-se Algoritmos Genéticos. Foram propostas diferentes funções objetivo, relacionadas com a minimização da flecha no meio do vão, a maximização da carga crítica de flambagem elástica e a maximização da área de cobertura. Em relação a todos os aspectos citados, os resultados obtidos pelos diversos métodos de análise foram discutidos, com as limitações de cada um devidamente destacadas. As principais conclusões tiradas ao longo desse estudo estão apresentadas no final do trabalho. / The cold-formed steel members application aims at the obtaining of light gauge structures. The use of thin sheets in these members fabrication implies the facility of obtaining different cross sections, encouraging the optimization. However, several times, it results in slender section elements. These elements, when submitted to compressive stresses, have a high tendency to undergo the local buckling phenomenon. The main aim of this work is to research the structural behavior of cold-formed trapezoidal steel roofing sheets, investigating different aspects: critical elastic buckling load and collapse load evaluation methods, boundary conditions influence on the structural performance and cross section optimization. The critical buckling load and the collapse load of trapezoidal sheets with a commercialshaped cross section, with different boundary conditions of the longitudinal edges, were experimentally determined and compared with theoretical results. In order to evaluate the theoretical critical buckling load, finite element and finite strip models were used. For the collapse load determination, the Direct Strength Method and the design specification from the Brazilian Code NBR 14762:2001 were employed. The cross section optimization of the trapezoidal sheets was carried out using Genetic Algorithms. Different fitness functions were proposed, being related to the midspan deflection minimization, the critical elastic buckling load maximization and the covering area maximization. Considering all the mentioned points, the results obtained by the different analysis methods were discussed, and the limitations of each one were appropriately highlighted. The main conclusions obtained along this study are presented at the end of the work.

O presente trabalho tem por objetivo apresentar uma formulação para a otimização estrutural de treliças planas e espaciais submetidas a restrições de tensão e deslocamento, combinando técnicas que consideram o espaço de busca contínuo e discreto. É implementado um algoritmo cuja finalidade é incorporar a simplicidade, eficiência e velocidade dos métodos determinísticos com a capacidade de produzir resultados mais realísticos dos métodos estocásticos. O programa desenvolvido possui módulos de elementos finitos, análise de sensibilidade e otimização. Os problemas são resolvidos em duas etapas: A primeira etapa é baseada em Programação Linear Seqüencial (PLS). Este método de programação matemática necessita que a função objetivo e as restrições sejam sucessivamente linearizadas por expansão em séries de Taylor e a análise de sensibilidade é resolvida utilizando o método analítico. A segunda etapa usa Algoritmos Genéticos (AG) e emprega o método das funções penalizadas, no qual o problema restrito é transformado em irrestrito, associando uma penalidade às restrições violadas. Os resultados encontrados na primeira etapa são utilizados para melhorar a convergência da segunda etapa. Para ilustrar o desempenho do algoritmo proposto são apresentados exemplos numéricos de problemas clássicos comparando-os com outros métodos encontrados na literatura. / The present work has as objective the presentation a formulation for structural optimization of plane or space truss with local stress and displacement constraints, combining techniques that consider the search space continuous and discrete. An algorithm was implemented with the purpose to incorporate the simplicity, efficiency and rapidity of the deterministic methods with the ability to produce more realistic results of stochastic methods. The software developed has modules for finite element, sensitivity analysis and optimization. Problems are solved in two steps: The first is based on Sequential Linear Programming (SLP). This method of mathematical programming requires that the objective function and constraints are successively linearized applying a Taylor series expansion and sensitivity analysis is solved using the analytical method. The second step uses genetic algorithms (GA) and Penalty function methods for transform the constrained problem into an unconstrained problem, associating a penalty if a constraint is violated. The results in the first stage are used to improve the convergence of the second stage. Numerical examples are presented to illustrate the performance of the proposed algorithm comparing with other methods found in literature.

O uso de perfis de aço formados a frio tem como objetivo a obtenção de estruturas leves. O emprego de chapas de pequena espessura na fabricação desses perfis implica facilidade de obtenção de seções de diferentes geometrias, encorajando a otimização. Porém, isso resulta, muitas vezes, numa grande esbeltez dos elementos que compõem a seção, o que os torna suscetíveis ao fenômeno da flambagem local quando submetidos a esforços de compressão. No contexto dos perfis de aço formados a frio, esse trabalho tem como objetivo a avaliação do comportamento estrutural de telhas de aço formadas a frio de perfil trapezoidal, analisando-se vários aspectos, entre eles métodos de determinação de carga crítica de flambagem elástica e de carga de colapso, influência das condições de contorno na performance estrutural e a otimização da forma da seção transversal. A carga crítica e a carga de colapso de telhas trapezoidais de perfil comercial, com diferentes condições de vinculação das bordas longitudinais, foram obtidas experimentalmente e comparadas com resultados teóricos. Para a determinação da carga crítica teórica, foram utilizados modelos de elementos finitos e de faixas finitas e, para a obtenção da carga de colapso teórica, foram empregados o Método da Resistência Direta e o procedimento da Norma Brasileira NBR 14762:2001. A otimização de forma da seção transversal das telhas foi realizada utilizando-se Algoritmos Genéticos. Foram propostas diferentes funções objetivo, relacionadas com a minimização da flecha no meio do vão, a maximização da carga crítica de flambagem elástica e a maximização da área de cobertura. Em relação a todos os aspectos citados, os resultados obtidos pelos diversos métodos de análise foram discutidos, com as limitações de cada um devidamente destacadas. As principais conclusões tiradas ao longo desse estudo estão apresentadas no final do trabalho. / The cold-formed steel members application aims at the obtaining of light gauge structures. The use of thin sheets in these members fabrication implies the facility of obtaining different cross sections, encouraging the optimization. However, several times, it results in slender section elements. These elements, when submitted to compressive stresses, have a high tendency to undergo the local buckling phenomenon. The main aim of this work is to research the structural behavior of cold-formed trapezoidal steel roofing sheets, investigating different aspects: critical elastic buckling load and collapse load evaluation methods, boundary conditions influence on the structural performance and cross section optimization. The critical buckling load and the collapse load of trapezoidal sheets with a commercialshaped cross section, with different boundary conditions of the longitudinal edges, were experimentally determined and compared with theoretical results. In order to evaluate the theoretical critical buckling load, finite element and finite strip models were used. For the collapse load determination, the Direct Strength Method and the design specification from the Brazilian Code NBR 14762:2001 were employed. The cross section optimization of the trapezoidal sheets was carried out using Genetic Algorithms. Different fitness functions were proposed, being related to the midspan deflection minimization, the critical elastic buckling load maximization and the covering area maximization. Considering all the mentioned points, the results obtained by the different analysis methods were discussed, and the limitations of each one were appropriately highlighted. The main conclusions obtained along this study are presented at the end of the work.