Pour cette recherche en didactique des mathématiques, les observations se sont déroulées dans un centre d'animation scientifique et technique qui reçoit des scolaires du cycle 3 du primaire. Dans ce centre, l'enjeu est de fabriquer et d'étudier des objets scientifiques. Pour étudier le cas des mathématiques – c'est-à-dire la fabrication et l'étude d'objets mathématiques – notre choix s'est porté sur les instruments à calculer (le boulier chinois, les bâtons à multiplier de Néper et de Genaille-Lucas, et la règle à calcul). Nous montrons que la fabrication des instruments avec les animateurs du centre est une phase importante où chaque enfant produit une œuvre matérielle. Aussi, nous proposons l'étude des instruments avec les professeurs en posant directement aux enfants la question de leur fonctionnement. Nous analysons ce type d'activité comme situation de recherche qui nécessite la mobilisation de savoirs notionnels et de savoirs transversaux en mathématiques. Ainsi, l'étude des instruments permet de créer des œuvres du savoir. C'est de cette manière – en créant des œuvres – que nous avons construit le partenariat entre l'animation socioculturelle et l'institution scolaire. Les savoirs notionnels concernés ici sont la numération positionnelle, les algorithmes de calcul et en particulier la notion de retenue qui est indissociable de la numération positionnelle. En effet, la compréhension mathématique de la retenue a été une condition nécessaire pour mécaniser les instruments à calculer. Enfin, nous montrons que définir la retenue est une question mathématique, riche de sens autant pour les élèves que pour la formation des enseignants.

Étudier l'émergence de savoirs lors de situations didactiques non finalisées par un savoir préfabriqué et pré-pensé nécessite un bouleversement des points de vue, aussi bien épistémologique que didactique. C'est pourquoi, pour l'étude de situations didactiques pour lesquelles le problème est l'essence, nous développons une nouvelle approche historique et repensons des outils pour les analyses didactiques. Nous proposons alors, pour un problème particulier, l'exploration des pavages archimédiens du plan, une enquête historique centrée sur l'activité du savant cherchant et sur l'influence de la relation aux objets dans la recherche. De ce point de vue, l'étude des travaux de Johannes Kepler à la recherche d'une harmonie du monde est particulièrement instructive. Nous proposons également, pour l'analyse des savoirs émergents en situation didactique, une utilisation d'outils liés à la sémiotique qui permet de mettre en évidence la dynamique de l'évolution des objets mathématiques. Nous pouvons finalement conclure quant à la possibilité de construire et mettre en œuvre des ≪ Situations Didactiques de Recherche de Problème ≫ assurant l'engagement du sujet dans la recherche, l'émergence et le développement d'objets mathématiques, la genèse de savoirs. L'étude nous conforte dans la nécessité d'une approche pragmatique des situations et la pertinence d'un regard différent sur les savoirs à l'école / The study of the emergence of knowledges in teaching situations not finalized by a prefabricated and pre-thought knowledge requires an upheaval of point of view, epistemological as well as didactic. For the study of learning situations in which the problem is the essence, we develop a new historical approach and we rethink the tools for didactic analyzes. We propose, then, for a particular problem, exploration of Archimedean tilings of the plane, a historical inquiry centered on the activity of the scientist in the process of research and on the influence of the relationship with objects. From this perspective, the study of Johannes Kepler’s work in search of a world harmony is particularly instructive. We also propose, for the analysis of the emerging knowledge in teaching situations, to use tools related to semiotics, which allows to highlight the dynamic of evolution of mathematical objects. We can finally conclude on the opportunity to build and implement “Didactic Situations of Problem Solving”, which ensure the commitment of the subject in the research, the emergence and development of mathematical objects, the genesis of knowledges. The study reinforces the necessity of a pragmatic approach of situations and the relevance of a different look at the knowledge at school