A escala diaria, el viento es el principal agente externo que entrega la energía suficiente a un lago estratificado para generar el movimiento del fluido y mezclar la columna de agua. Bajo este escenario, la dinámica tridimensional del flujo puede ser correctamente representada mediante dos o más capas verticalmente acopladas, simplificación que ha permitido identificar una serie de fenómenos propios de flujos estratificados. Sin embargo, la característica multiescala de estos flujos limita su apropiada representación numérica o abstracción teórica, existiendo pocos trabajos científicos que abarquen toda la gama de escalas involucradas: desde las ondas de gran escala excitadas por el viento, hasta las pequeñas escalas dominadas por fenómenos nohidrostáticos. El objetivo de esta tesis es investigar la evolución nolineal y nohidrostática de las ondas internas en lagos estratificados cuya dinámica está afectada por la rotación terrestre. El trabajo se centró en estudiar el flujo en dos capas de lagos estratificados, combinando resultados de modelos numéricos específicamente diseñados para esta tesis, con un enfoque pseudo-espectral y mediciones en terreno. Como primera medida se estudió el caso simplificado de una cubeta circular de fondo plano, para posteriormente estudiar la dinámica de un lago real, el Lago Constance ubicado en la frontera entre Suiza y Alemania, para el que se cuenta con una base de datos proveniente de cadenas de termistores y estaciones meteorológicas. El análisis de la cubeta circular permitió identificar que la dinámica de cada una de las ondas continuamente forzadas por el viento puede asemejarse a un sistema oscilatorio de primer orden. La incorporación de los términos nolineales y nohidrostáticos eventualmente modifica esta dinámica oscilatoria, cuando la escala de tiempo de éstos es inferior a la escala de tiempo característica a la cual ocurren los intercambios de energía entre el cuerpo de agua y el viento. Adicionalmente, la manera en que evolucionan libremente las ondas de gran escala es dependiente de la onda en cuestión. Las ondas Kelvin evolucionan de igual forma a seiches en lagos pequeños, formándose un frente vertical donde las aceleraciones verticales dominan el flujo y excitan ondas tipo solitones pseudo-permanentes. Por el contrario, la evolución de la onda Poincaré está caracterizada por la radiación periódica de su energía hacia otros modos y su posterior restitución al modo original. Finalmente, la dinámica conjunta de las ondas Kelvin y Poincaré explica además, la excitación de ondas de menor escala. Estas características generales fueron también identificadas en el estudio del Lago Constance, cuya dinámica está gobernada por la rotación terrestre y los fenómenos nolineales y nohidrostáticos. Se mostró que la principal onda excitada por el viento es la onda Kelvin, que evoluciona de igual forma a la descrita para la cubeta circular. Adicionalmente, se identificó que la interacción entre ondas Kelvin y Poincaré excita trenes de ondas que atraviesan todo el cuerpo de agua, y que la interacción entre ondas excitadas por el viento permite energizar las ondas topográficas o geostróficas, que no necesariamente son excitadas directamente por el viento. Se concluye que la principal consecuencia de la dinámica nolineal y nohidrostática en lagos estratificados es que rompe con la coherencia espacial en toda la cubeta dada por procesos lineales, de manera que el flujo se caracteriza por la existencia de una serie de fenómenos locales de, por ejemplo, frentes verticales y alta velocidad del flujo. Consecuentemente, los fenómenos nolineales y nohidrostáticos fomentan localmente los procesos de mezcla vertical de la columna de agua, tales como: inestabilidades interfaciales dadas por altas velocidades del flujo y excitación de ondas nohidrostáticas de carácter permanente o cuasi-permanente que rompen al llegar a la orilla. Sin embargo, en términos de disipación de la energía, se postula a raíz de los resultados obtenidos en el lago Constance, que ésta se explica principalmente en la fricción con el fondo, la que responde también a aumentos localizados en la velocidad del flujo.

Los lagos en Chile central, como la mayoría de los cuerpos lacustres a latitudes medias, se estratifican durante la temporada estival. La transición entre la zona superficial cálida denominada epilimnion y la zona profunda fría denominada hipolimnion, es usualmente brusca, lo que permite tener un modelo conceptual de dos capas de densidad homogénea, separados por una interfaz de densidad en la zona, denominada termoclina, que se ubica en la profundidad a la cual se registran los máximos gradientes verticales de densidad. A escala diaria, la principal fuente de energía de un lago es el viento que actúa en la superficie. El trabajo mecánico realizado por el viento se transfiere a la columna de agua como energía cinética turbulenta, teniendo capacidad suficiente para mezclar las aguas someras y excitar ondas en un amplio rango de escalas, desde seiches internos de baja frecuencia hasta ondas de alta frecuencia con características no-lineales y no-hidrostáticas, como las ondas tipo solitarias. Estas ondas se ven afectadas por la aceleración de Coriolis si la frecuencia inercial de la Tierra a la latitud del lago es mayor a la frecuencia de las ondas internas excitadas, trayendo como consecuencia la modificación de las ondas internas de gran escala, que pueden transformarse en ondas tipo Kelvin y Poincaré, principalmente. La dinámica de las ondas internas excitadas por el viento y afectadas por la rotación terrestre puede ser alteradas por fenómenos no-lineales cuando la escala de empinamiento, la cual está relacionada con la razón de aspecto de la estratificación, es menor que el periodo de las ondas internas. Considerando estas variables, o sea la acción del viento sobre la superficie, la acción de la rotación terrestre y la razón de aspecto de la estratificación, se llevó a cabo un estudio experimental de laboratorio, con el objetivo pricipal de estudiar la respuesta de ondas internas de gran escala en un cuerpo de agua estratificado afectado por la rotación del medio. Las experiencias fueron caracterizadas a partir de los números adimensionales Wedderburn, Burger y la razón de aspecto. El estudio experimental se desarrolló en el laboratorio de Hidráulica del Departamento de Ingeniería Civil, de la Universidad de Chile. Los principales resultados de esta investigación fueron la construcción de una mesa rotatoria experimental, la modelación y metodología experimental y los registros experimentales, con su posterior análisis. El montaje experimental permite modelar un variado rango de frecuencias de rotación, crear diferentes condiciones de estratificación utilizando mezclas salinas, generar inclinaciones de la interfaz de densidad hasta condiciones extremas, pudiendo simular la ausencia súbita de viento, que permite analizar el comportamiento de la interfaz de densidad luego que se pierde el estado forzado. La dinámica vertical de la picnoclina se registró con dos cámaras que rotan solidarias al estanque. Usando este sistema, se realizaron tres set de experimentos, con un total de 24 experimentos, los cuales buscaron capturar el comportamiento de las ondas internas variando cada uno de los parámetros analizados, con especial interés en las condiciones adimensionales existentes en el lago Villarrica, IX Región de Chile. Las observaciones permiten concluir que la relajación de la condición forzada inicial genera un seiche que evoluciona en el tiempo en respuesta a efectos de rotación, como ondas Kelvin y Poincaré, que, debido a sus interacciones no-lineales y no-hidrostáticos, degenera en ondas tipo solitones. A través del uso de un filtro Pasa-Banda se reconstituyeron sintéticamente los modos dominantes de oscilación observados en el espectro de densidad potencial de las series de tiempo, con los cuales se estudió y caracterizó: (1) Ondas no-lineales, tipo solitarias, las cuales fueron observadas para razones de aspecto menores a 0.5; (2) Interacción no-lineal y no-hidrostática de las ondas fundamentales Kelvin y Poincaré, la que fue observada principalmente para números de Wedderburn 0.5 (condición de upwelling); (3) Distribución de energía entre los modos dominantes, lo que arrojó que los modos fundamentales de las ondas Kelvin y Poincaré, contienen gran parte de la energía potencial del sistema; (4) Disipación de energía de la onda Kelvin debido a cambios en los números de Wedderburn, Burger y razón de aspecto, con lo que se obtuvo que tanto el efecto de la rotación, como los fenómenos no-lineales gatillados por la razón de aspecto y el número de Wedderburn son relevantes parámetros en la escala temporal de disipación de energía. Los resultados obtenidos permiten entender de forma más acabada el comportamiento no-lineal y no-hidrostático de las ondas internas en función de los forzantes externos, de la estratificación y la rotación del medio.

Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Fluiodinámica / Con el fin de mejorar la comprensión de la dinámica no-lineal de las oscilaciones internas de gran escala observadas en lagos estratificados afectados por la rotación terrestre, se investigó la degeneración de 'ondas internas gravitacionales' (OIG) en un dominio idealizado, estratificado en dos capas separadas por una zona de transición continua de espesor dado. Para obtener soluciones teóricas y construir condiciones iniciales de OIG, tales como ondas de Kelvin y Poincaré, se utilizó la teoría lineal de modos normales en un dominio cilíndrico rotatorio estratificado en dos capas. Estas soluciones fueron utilizadas para analizar experimentos de laboratorio y realizar simulaciones numéricas directas, que permitieron estudiar la degeneración de las OIG. En primer lugar, se analizaron resultados de laboratorio obtenidos de experimentos desarrollados en una mesa rotatoria. A partir de estos resultados, se estudió la evolución temporal de las OIG de gran escala en un flujo estratificado en dos capas bajo diferentes escenarios de estratificación y rotación. El flujo inducido mediante la relajación de una inclinación inicial lineal de la interfaz de densidad, generó ondas gravitacionales de tipo Kelvin y Poincaré, en respuesta al efecto de la rotación. Los resultados mostraron experimentalmente que la onda interna Kelvin fundamental degenera en un paquete de ondas tipo solitarias, producto del empinamiento y dispersión no-hidrostática. La rotación del medio determina la forma y estructura de estas ondas tipo solitarias. En particular, a medida que la rotación se incrementaba, las escalas de longitud de la onda tipo solitaria líder fueron muy similares a ondas no-lineales tipo KdV. Además, los resultados experimentales mostraron que existe una interacción no-lineal entre las ondas Kelvin y Poincaré, que podría inducir un estado pseudo-resonante entre ambas ondas y la transferencia de energía desde las modos fundamentales a sub-modos. En general, se observó que las condiciones de estratificación/rotación tienen un efecto importante en la intensidad de los procesos no lineales, los que a su vez mostraron un impacto directo en la tasa de decaimiento de la onda Kelvin. Esta tasa de decaimiento mostró concordancia con el decaimiento de Ekman y un incremento del decaimiento a medida que las no-linealidades se intensificaban. En segundo lugar, se estudió la evolución de la onda interna Kelvin fundamental a través de simulaciones numéricas directas, con un enfoque híper-viscoso/difusivo, para condiciones de rotación y estratificación similares a las utilizadas en los experimentos de laboratorio. La dinámica de la onda fue controlada mediante el incremento de la amplitud inicial, forzando así la tendencia al empinamiento y el flujo de corte en la vecindad de la interfaz de densidad. Los resultados mostraron la existencia de diferentes regímenes, desde un régimen laminar amortiguado, en el que la onda Kelvin retuvo su carácter lineal, hasta un régimen no-lineal de transición a la turbulencia, en el que la dinámica no-lineal y no-hidrostática de la onda Kelvin indujo inestabilidades hidrodinámicas intermitentes en la interfaz de densidad. En el régimen de transición, se observaron parches de turbulencia producidos por quiebres parciales de la onda Kelvin en el interior de un radio interno de Rossby medido desde el borde horizontal hacia el interior. Estos parches se asociaron al crecimiento y colapso tanto de inestabilidades inducidas por corte, como de inestabilidades convectivas en la región del frente y cola de las ondas más energéticas. El estudio permitió concluir que la amplitud de onda, la estratificación y la rotación del medio juegan roles importantes en la degeneración de las OIG de gran escala en lagos. Tanto la estructura de la estratificación como la amplitud de la onda tienen un efecto directo en el empinamiento de la onda, y en consecuencia un efecto en la concentración de energía en su dirección de propagación; mientras que la rotación tiene un efecto directo en la concentración de energía en la escala transversal de la propagación de la onda, la que es proporcional al radio interno de Rossby. Ambos mecanismos de concentración de energía generan una intensificación local de los procesos no-lineales, los cuales, a su vez, intensifican la actividad turbulenta y la mezcla en el medio fluido.

Estudia la ecuación de onda no lineal que modela la actividad neuronal del cerebro. Busca estudiar la existencia de la solución débil global del sistema dado utilizando el método de Faedo - Galerkin y además establecer la unicidad y estabilidad de la soluci´on utilizando criterios de desigualdades integrales e inmersiones de Sobolev. Los términos a(u, p)ut y b(u, p, pt) son términos no lineales que caracterizan la actividad neuronal del modelo. El estudio del sistema es planteado por Mauhamad y Maitine, quienes prueban que el sistema tiene una única solución estable, bajo supuestos datos reales. De hecho, estos supuestos están motivados por el modelo de la actividad cerebral física subyacente, que conduce a una ecuación que es un caso particular de la ecuación que se va a desenvolver. / Tesis

Estudia la regularidad, existencia, unicidad y dependencia continua de la solución de la eucación lineal homogénea KdV-Kuramoto-Sivashinsky (P) ut + uxxx + β(uxxxx + uxx) = 0 en Hs−4 per con u(0) = φ ∈ Hs per considerando β una constante positiva, s un número real y denotando por Hs per al espacio de Sobolev periódico de orden s, siguiendo las ideas de [14]. Además, siguiendo estas ideas, incluimos el estudio de la buena colocación del problema de Cauchy asociado a la ecuación del calor y de la onda. Para esto usamos la teoría de Fourier, análisis armónico y la teoría de semigrupos de operadores lineales. / Tesis

Utiliza el software Freefem++ para resolver numericamente la ecuación de ondas con término disipativo no lineal que describe la vibración de una membrana. Primeramente, estudiamos la teor´ıa de semigrupos con la finalidad de garantizar la existencia y unicidad de soluciones fuertes para este problema. La implementacion computacional es realizada en FreeFem++ que es un software libre escrito en C++ y basado en el Método de Elementos Finitos (MEF). Finalmente, mostramos los resultados de las simulaciones donde se considero el término de disipación igual al arcotangente y se obtuvieron las graficas de las soluciones numéricas del problema mediante Gnuplot. / Tesis