A necessary and sufficient condition is given for completeness of the set of eigenfunctions and generalized eigenfunctions associated to the non zero eigenvalues of a compact operator on a Hilbert Space.

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Doctor en Ciencias de la Ingeniería, Mención Modelación Matemática / En cotutela con la Universidad de Borgoña Franco-Condado / Esta tesis está dedicada al estudio de inclusiones diferenciales con conos normales de conjuntos no regulares en espacios de Hilbert. En particular, nos interesa el proceso de arrastre y sus variantes. El proceso de arrastre es una inclusión diferencial restringida con conos normales que aparece naturalmente en varias aplicaciones tales como elastoplasticidad, histéresis, circuitos eléctricos, movimiento de multitudes, etc. Este trabajo está dividido conceptualmente en tres partes: Estudio de los conjuntos "alpha-far'', existencia de soluciones para las inclusiones diferenciales con conos normales y caracterizaciones de los pares de Lyapunov para el proceso de arrastre en espacios de Hilbert separable. En la primera parte (Capítulo 2), investigamos la clase de conjuntos positivamente "alpha-far''. Esta clase de conjuntos no regulares es muy general e incluye los conjuntos convexos, uniformemente prox-regulares y uniformemente sub-lisos, entre otros. Esta clase de conjuntos es la mejor adaptada al estudio de inclusiones diferenciales con conos normales. En la segunda parte (Capítulo 3 hasta la primera parte del Capítulo 8), se entregan varios resultados de existencia para el proceso de arrastre y sus variantes. Para ello, consideramos tres enfoques: el algoritmo de rectificación (Catching-up algorithm), el método de tipo Galerkin y la regularización de Moreau-Yosida. El primer método es el más clásico en el estudio de inclusiones diferenciales gobernadas por conos normales. Aquí es utilizado en el caso donde el conjunto considerado es fijo. El segundo método (de tipo Galerkin) consiste en aproximar el problema original proyectando el estado sobre un espacio de Hilbert de dimensión finita, pero no la velocidad. Los problemas aproximados siempre tienen una solución y, bajo ciertas condiciones de compacidad, se demuestra que ellos convergen fuertemente (salvo subsucesión) a una solución de la inclusión diferencial original. Más aún, se muestra que este método está bien adaptado para tratar inclusiones diferenciales con conos normales, proporcionando resultados generales de existencia para el proceso de arrastre generalizado. En consecuencia, se obtiene la existencia de soluciones para el proceso de arrastre de primer y segundo orden. Adicionalmente, este método es utilizado para mostrar la existencia de soluciones del proceso de arrastre con condiciones iniciales no locales. El tercer método es la técnica de regularización de Moreau-Yosida que consiste en aproximar una inclusión diferencial por una penalizada, en función de un parámetro positivo, para luego pasar al límite cuando el parámetro tiende a cero. Este método es utilizado para tratar el proceso de arrastre dependiente del estado gobernado por conjuntos uniformemente sub-lisos. Finalmente, en la tercera parte (segunda parte del Capítulo 8 y Capítulo 9), se proporcionan algunas caracterizaciones de los pares de Lyapunov débiles y la invariancia débil para el proceso de arrastre perturbado con conjuntos uniformemente sub-lisos. / Este trabajo ha sido parcialmente financiado por CONICYT-Beca Doctorado Nacional 2013.

El entrelazamiento puede abordarse desde dos perspectivas diferentes: como un recurso esencial para las tecnologías cuánticas y como un fenómeno fundamental que está íntimamente relacionado con nuestra comprensión de la naturaleza misma. Por otro lado, la teoría cuántica se formula en el marco teórico de los espacios de Hilbert, para los que el entrelazamiento juega un papel importante en la determinación de su geometría y topología. Las características topológicas que puedan exhibirse al utilizar estados entrelazados son largamente independientes de la realización física particular del entrelazamiento: puede afectar a un solo grado de libertad poseído por dos partículas diferentes, o bien puede implicar dos grados diferentes de libertad que se cohesionan a una misma partícula o entidad física, por ejemplo, un campo electromagnético. Resulta que la manipulación de los grados de libertad de polarización y momentum (camino) ya sea de forma independiente el uno del otro o mediante la aplicación de evoluciones unitarias no separables es muy versátil. Con esto en mente, la presente tesis apunta hacia el diseño e implementación de arreglos experimentales que se pueden utilizar para estudiar fases geométricas y topológicas en sistemas de dos qubits mediante el uso de los grados de libertad de momentum (camino) y polarización de un solo fotón. Finalmente mostramos el diseño de un experimento, apuntado a exhibir la fase topológica, y los resultados obtenidos. / Tesis

La teoría de la credibilidad provee un conjunto de métodos que permiten a una compañía de seguros ajustar las primas futuras, sobre la base de la experiencia pasada individual e información de toda la cartera. En este trabajo presentaremos los principales modelos de credibilidad utilizados en la práctica, como lo son los modelos de Bühlmann (1967), Bühlmann-Straub (1970), Jewell (1975) y Hachemeister (1975), todos ellos analizados en sus propiedades desde un punto de vista geométrico a través de la teoría de espacios de Hilbert y en su estimación mediante el uso de los modelos lineales mixtos. Mediante un estudio de simulación se mostrará la ventaja de utilizar este último enfoque de estimación. / Tesis

This doctoral thesis is devoted to the analysis of orthogonal sequences in subspaces of spaces L2(m) of square integrable functions with respect to a Banach space valued countably additive measure m. The motivation of our work is to generalize the geometric arguments that provide the classical approximation procedures in Hilbert spaces. The notion of orthogonality lies in the center of the Hilbert space theory, and it allows to develop the theory of convergence of sequences in these spaces. Almost everywhere convergence, norm convergence and weak convergence are nowadays well known topics in the Hilbert space function theory. The Banach function spaces L2(m) of a vector measure m represent a broad class of Banach lattices: each 2-convex order continuous Banach lattice with a weak unit can be represented (by means of an order isomorphism) as a space L2(m) for an adequate vector measure m. The integral structure that the vector measure integration provides in these spaces allows to generalize the orthogonality arguments of the Hilbert space theory, although the spaces L2(m) are far from being Hilbert spaces. The first chapter of this memoir is devoted to introduce some fundamental concepts on Banach function spaces, vector measure integration and other topics that will be necessary in the rest of the work. Some results on convergence of sequences in Banach function spaces and Banach spaces are explained, and the general framework is established. Some orthogonality arguments are already introduced, both for sequences in L2(m) and for the integrals of these sequences when the vector measure m is Hilbert space valued. Unconditional convergence for sequences from the abstract point of view of the function spaces of integrable functions is analyzed, and a version of the Kadec and Pelczynsky method for finding disjoint sequences for the vector measure setting is given. In the second chapter three notions of orthogonality of a sequence with respect to a vector measure are formally introduced, and the main characterizations of these sequences are given. Weak m-orthogonal sequences, (natural) m-orthogonal sequences and strongly m-orthogonal sequences are de ned and studied, providing also examples that show the relation with some classical problems in analysis. The geometry of these sets of sequences are also studied. In Chapter 3 we analyze almost everywhere convergence of weakm-orthogonal sequences. Our main result is a general vector measure version of the Mencho - Rademacher Theorem. A particular case involving c0-sums of Hilbert spaces is also intensively studied in order to show the properties of the convergence. Finally, Chapter 4 is devoted to show a concrete application. We develop an approximation method with respect to a parametric measure based on our ideas. A Bochner integrable function and an weak m-orthonormal sequence are the main elements of our procedure, that allows to nd the Fourier coefficients -that are in this case measurable functions- for a given function in the space L2(m). Some applications for signal approximation for data coming from experimental acoustics are also shown. / Jiménez Fernández, E. (2011). Vector measure orthogonal sequences in spaces of square integrable functions [Tesis doctoral no publicada]. Universitat Politècnica de València. https://doi.org/10.4995/Thesis/10251/13832 / Palancia

Estudia las propiedades de controlabilidad para la ecuación Korteweg de Vries lineal e un intervalo limitado. Se establece un resultado, de controlabilidad nula para la ecuación lineal a través de la condijo de contorno tipo Durichlet. / Tesis

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Estudia la ecuación de onda no lineal que modela la actividad neuronal del cerebro. Busca estudiar la existencia de la solución débil global del sistema dado utilizando el método de Faedo - Galerkin y además establecer la unicidad y estabilidad de la soluci´on utilizando criterios de desigualdades integrales e inmersiones de Sobolev. Los términos a(u, p)ut y b(u, p, pt) son términos no lineales que caracterizan la actividad neuronal del modelo. El estudio del sistema es planteado por Mauhamad y Maitine, quienes prueban que el sistema tiene una única solución estable, bajo supuestos datos reales. De hecho, estos supuestos están motivados por el modelo de la actividad cerebral física subyacente, que conduce a una ecuación que es un caso particular de la ecuación que se va a desenvolver. / Tesis

La teoría de la credibilidad provee un conjunto de métodos que permiten a una compañía de seguros ajustar las primas futuras, sobre la base de la experiencia pasada individual e información de toda la cartera. En este trabajo presentaremos los principales modelos de credibilidad utilizados en la práctica, como lo son los modelos de Bühlmann (1967), Bühlmann-Straub (1970), Jewell (1975) y Hachemeister (1975), todos ellos analizados en sus propiedades desde un punto de vista geométrico a través de la teoría de espacios de Hilbert y en su estimación mediante el uso de los modelos lineales mixtos. Mediante un estudio de simulación se mostrará la ventaja de utilizar este último enfoque de estimación.