Submitted by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-02-13T19:45:10Z No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Raphael da Costa Silva.pdf: 289061 bytes, checksum: 3b5a883040e36a07a3da5fc6a355f5cd (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-02-13T19:45:31Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Raphael da Costa Silva.pdf: 289061 bytes, checksum: 3b5a883040e36a07a3da5fc6a355f5cd (MD5) / Approved for entry into archive by Divisão de Documentação/BC Biblioteca Central (ddbc@ufam.edu.br) on 2017-02-13T19:45:50Z (GMT) No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Raphael da Costa Silva.pdf: 289061 bytes, checksum: 3b5a883040e36a07a3da5fc6a355f5cd (MD5) / Made available in DSpace on 2017-02-13T19:45:50Z (GMT). No. of bitstreams: 2 license_rdf: 0 bytes, checksum: d41d8cd98f00b204e9800998ecf8427e (MD5) Dissertação - Raphael da Costa Silva.pdf: 289061 bytes, checksum: 3b5a883040e36a07a3da5fc6a355f5cd (MD5) Previous issue date: 2015-12-15 / CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico / Considering that A(q) is a di erentiable family of self-adjoint operators and that M(q0) is the eigenspace associated with a certain 0 eigenvalue of A(q), with multiplicity n. We will discuss in the following project about which results we can obtain about the space of parameters the eigenvalue that are close to 0 and keep the xed multiplicity. In order to achieve the main objective of this project, we will de ne and use the transversality idea. It is an extension for higher dimensions, in which the inverse image of a regular value forms a surface. So, with the transversality idea, we can de ne when an eigenvalue is stable. Including the idea of stability, we can nd a very important and \elegant" result for the space of parameters that maintain eigenvalues close to 0 with xed multiplicity, where it will be the main theorem of this project. / Sendo A(q) uma família de operadores diferenciáveis auto-adjuntos e M(q0) o auto-espaço associado a um certo autovalor 0 de A(q), com multiplicidade n. Dissertaremos neste trabalho quais resultados podemos obter sobre o conjunto dos parâmetros de autovalores que estão próximos de 0 e mantém a multiplicidade fixa. Para alcançarmos o objetivo principal deste trabalho iremos definir e usar a ideia de transversalidade, onde não deixa de ser uma extensão, para dimensões maiores, em que a imagem inversa de um valor regular forma uma superfície. Com o conceito de transversalidade podemos então definir quando um auto-valor é estável. Incluindo assim a ideia de estabilidade, será suficiente para encontrarmos um resultado muito importante e até "elegante" para o conjunto dos parâmetros que mantém autovalores próximos de 0 com multiplicidade fixa, onde será o teorema principal deste trabalho.

Neste trabalho, são apresentados os aspectos essenciais da teoria de espalhamento inverso e suas aplicações ao estudo de equações de evolução não lineares. A teoria de espalhamento do operador de Schrõdinger para potenciais decaindo a limites definidos ao x + ± oo e considerada primeira com aplicações ao problema de valor inicial para a equação de Korteweg- de Vries. Segue uma discussão da teoria de espalhamento para sistemas AKNS, uma classe de problemas de autovalores direta ou indiretamente relacionada com a maior parte das equações de evolução não lineares solúveis pelo método de espalhamento inverso de interesse na prática . Uma equação não linear recentemente encontrada solúvel por esse método é discutida no Último capítulo em conexão com o problema de espalhamento de Shimizu- Wadati. Muitos tópicos importantes não são tratados aqui, incluindo o caso periódico da equação de Korteweg- de Vries, leis de conservação, formalismos Hamiltonianos, transformações de Bäcklund, comportamento assintótico das soluções ao t + co e teoria de perturbação. / In this work, it is presented the essential aspects of the theory of the inverse scattering transform and its applications to the study of nonlinear evolution equations. The scattering theory of the Schródinger operator for either bump- or steplike potencials is considered first, and applications to the initial value problem for the Korteweg- de Vries equation are given. There follows a discussion of the scattering theory for AKNS systems, a class of spectral problems which is ultimately related to most of the interesting nonlinear evolution equations solvable by the inverse scattering method. A recently found integrable equation is discussed in the last chapter in' connection with the scattering problem of Shimizu- Wadati. Many important topics are not considered here, such as the periodic case for the Korteweg- de Vries equation, conservation lav/S, Hamiltonian formalisms, Bäcklund transforrnations, long-time asymptotic behavior of solutions , and perturbation theory.

Neste trabalho, são apresentados os aspectos essenciais da teoria de espalhamento inverso e suas aplicações ao estudo de equações de evolução não lineares. A teoria de espalhamento do operador de Schrõdinger para potenciais decaindo a limites definidos ao x + ± oo e considerada primeira com aplicações ao problema de valor inicial para a equação de Korteweg- de Vries. Segue uma discussão da teoria de espalhamento para sistemas AKNS, uma classe de problemas de autovalores direta ou indiretamente relacionada com a maior parte das equações de evolução não lineares solúveis pelo método de espalhamento inverso de interesse na prática . Uma equação não linear recentemente encontrada solúvel por esse método é discutida no Último capítulo em conexão com o problema de espalhamento de Shimizu- Wadati. Muitos tópicos importantes não são tratados aqui, incluindo o caso periódico da equação de Korteweg- de Vries, leis de conservação, formalismos Hamiltonianos, transformações de Bäcklund, comportamento assintótico das soluções ao t + co e teoria de perturbação. / In this work, it is presented the essential aspects of the theory of the inverse scattering transform and its applications to the study of nonlinear evolution equations. The scattering theory of the Schródinger operator for either bump- or steplike potencials is considered first, and applications to the initial value problem for the Korteweg- de Vries equation are given. There follows a discussion of the scattering theory for AKNS systems, a class of spectral problems which is ultimately related to most of the interesting nonlinear evolution equations solvable by the inverse scattering method. A recently found integrable equation is discussed in the last chapter in' connection with the scattering problem of Shimizu- Wadati. Many important topics are not considered here, such as the periodic case for the Korteweg- de Vries equation, conservation lav/S, Hamiltonian formalisms, Bäcklund transforrnations, long-time asymptotic behavior of solutions , and perturbation theory.

Neste trabalho, são apresentados os aspectos essenciais da teoria de espalhamento inverso e suas aplicações ao estudo de equações de evolução não lineares. A teoria de espalhamento do operador de Schrõdinger para potenciais decaindo a limites definidos ao x + ± oo e considerada primeira com aplicações ao problema de valor inicial para a equação de Korteweg- de Vries. Segue uma discussão da teoria de espalhamento para sistemas AKNS, uma classe de problemas de autovalores direta ou indiretamente relacionada com a maior parte das equações de evolução não lineares solúveis pelo método de espalhamento inverso de interesse na prática . Uma equação não linear recentemente encontrada solúvel por esse método é discutida no Último capítulo em conexão com o problema de espalhamento de Shimizu- Wadati. Muitos tópicos importantes não são tratados aqui, incluindo o caso periódico da equação de Korteweg- de Vries, leis de conservação, formalismos Hamiltonianos, transformações de Bäcklund, comportamento assintótico das soluções ao t + co e teoria de perturbação. / In this work, it is presented the essential aspects of the theory of the inverse scattering transform and its applications to the study of nonlinear evolution equations. The scattering theory of the Schródinger operator for either bump- or steplike potencials is considered first, and applications to the initial value problem for the Korteweg- de Vries equation are given. There follows a discussion of the scattering theory for AKNS systems, a class of spectral problems which is ultimately related to most of the interesting nonlinear evolution equations solvable by the inverse scattering method. A recently found integrable equation is discussed in the last chapter in' connection with the scattering problem of Shimizu- Wadati. Many important topics are not considered here, such as the periodic case for the Korteweg- de Vries equation, conservation lav/S, Hamiltonian formalisms, Bäcklund transforrnations, long-time asymptotic behavior of solutions , and perturbation theory.