L'étude didactique interroge les rapports que le Collège et le Lycée, en tant qu'institutions d'enseignement des mathématiques, forgent entre un calcul numérique et une calculatrice. Le questionnement est bâti autour de la place et du rôle de l'approximation décimale dans cette mise en relations d'un objet mathématique et d'un objet technique, tant au niveau pratique que théorique.<br />Le cadre de la théorie anthropologique du didactique permet d'abord à l'étude de mettre en évidence comment des organisations, dites praxéologies de décimalisation, conjuguent techniques instrumentées et éléments théoriques dans les pratiques calculatoires. Le travail est mené sur l'exemple des calculs trigonométriques. L'évolution historique en France des choix transpositifs relatifs aux assises théoriques et aux réalisations numériques de ces calculs (comme le recours aux tables et au calcul algébrique) montre que, dans les techniques instrumentées institutionnalisées, la prise en charge de l'approximation décimale bute sur des contraintes qui tendent à éviter les exigences théoriques majeures de l'approximation numérique. Autrement dit, l'institution d'enseignement peine à articuler l'instrument de calcul et l'approximation décimale. Ici l'articulation est définie comme la présence active, au cours de la réalisation du calcul numérique, de contrôles qui intègrent des savoirs mathématiques sur la précision des résultats décimaux produits avec l'instrument. Une analyse plus détaillée, dans le Collège et le Lycée actuels, de l'écologie et de l'économie des techniques liées à l'utilisation de la calculatrice, cerne les raisons de cette difficile articulation entre deux genèses, l'une instrumentale, l'autre mathématique. <br />L'étude entreprend ensuite de travailler l'articulation calculatrice-approximation au niveau Lycée, en l'inscrivant dans l'enseignement de l'Analyse. Elle s'appuie alors sur la théorie des situations didactiques pour organiser, en plusieurs séances, une rencontre avec les deux problèmes fondamentaux de l'approximation numérique. C'est la construction d'une table trigonométrique qui sert d'enjeu épistémologique et didactique à cette ingénierie.

Le but de ce travail de recherche est, en premier lieu, de définir les fonctionnalités externes et internes aux mathématiques du théorème de Thalès pour savoir, dans un second temps, si elles sont transmises au cours de l'histoire, dans l'enseignement actuel et si elles sont transmissibles dans le cadre d'une ingénierie au niveau collège. Après une étude épistémologique visant à étudier l'évolution du rapport à cet énoncé et des démonstrations associées dans l'histoire depuis l'Antiquité grecque, ont été cernées des difficultés rencontrées par les élèves dans la reconnaissance de configurations géométriques associées à ce théorème et dans son application. Ceci a notamment permis de montrer le rôle joué par les figures archétypes et les figures prototypes liées au théorème de Thalès et les erreurs qui se produisent dès que les figures proposées aux élèves s'en éloignent. En particulier, ces erreurs ont permis de définir des figures pathogènes. Les figures non reconnues, à tort, comme pouvant faire l'objet d'une application du théorème étant qualifiées de pathologiques. L'enseignement actuel de ce théorème a également été analysé et un certain nombre d'insuffisances ont été mises en évidence comme en particulier le faible niveau de problématisation des activités qui sont censées introduire le théorème et l'approche ostensive qui les caractérise. A partir de cet ensemble d'études, une ingénierie didactique a été conçue visant d'une part à motiver l'introduction de ce théorème par des problèmes de calcul de mesures de distances inaccessibles dans le méso-espace et d'autre part à organiser les rapports nécessaires entre le méso-espace et le micro-espace. Cette construction didactique, qui a tenu compte également d'une difficulté essentielle que constitue le passage à des rapports irrationnels, a été expérimentée et progressivement raffinée.