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[en] A NUMERICAL METHOD FOR SOLVING FLOWS USING COVARIANT COMPONENTS IN NON-ORTHOGONAL COORDINATES / [pt] UM MÉTODO NUMÉRICO PARA SOLUÇÃO DE ESCOAMENTOS UTILIZANDO COMPONENTES CONTRAVARIANTES EM COORDENADAS NÃO ORTOGONAISLUIS FERNANDO GONCALVES PIRES 03 November 2011 (has links)
[pt] O trabalho desenvolveu uma metodologia de solução numérica de escoamentos em
geometrias complexas, numa formulação incompressível e bi-dimensional. As equações
de conservação são discretizas com o emprego da técnica de volumes finitos em
coordenadas não ortogonais. Esta técnica mapeia o espaço real num espaço transformado,
no qual as fronteiras do domínio de cálculo coincidem com as fronteiras do domínio físico.
Os componentes contravariantes da velocidade foram empregados como variáveis
dependentes nas equações de conservação de quantidade de movimento. Estas equações foram
obtidas em coordenadas não ortogonais pela manipulação algébrica das equações
discretizadas para os componentes cartesianos. Este procedimento, que emprega um sistema
de coordenadas auxiliar fixo localmente, evita o surgimento dos diversos
termos oriundos da curvutura e da não ortogonalidade da malha, que seriam obtidos caso
fosse empregada a análise tensorial para a derivação destas equações.
O ocoplamento pressão-velocidade é feito utilizando SIMPLEC. O
conjunto de equações algébricas resultante é resolvido por um
esquema de solução segregado, no qual é empregado um esquema de solução
linha-a-a linha(TDMA), com um processo de correção por blocos para acelerar
a convergência.
A metodologia desenvolvida foi utilizada para solução de diversos
problemas visando analisar o seu desempenho. Foram estudados
os seguintes casos-escoamento laminar entre dois cilindros, convecção natural entre dois cilidros
excêntricos, escoamento induzido numa cavidade trapezoidal pelo
movimento de suas bases, escoamento laminar num canal, escoamento axi-simétrico
num duto com estrangulamento.Tendo em vista os bons resultados obtidos
para testes, pode-se concluir que as opções realizadas para a confeção do esquema
desenvolvido foram corretas, pois geraram um algoritimo efeciente
e versátil. / [en] A solution method for bi-dimensional incompressibible fluid flow
problems in complex geometrics is developed in this work. The method
solves the conservation equations in nonorthogonal coordinate system
using the finite volumes technique.
The contravariant velocities are kept as dependent variables in the
momentum equations. These equations are obtained by an algebric
manipulation of the discretization equations written in locally fixed
coordinate system. This producedure avoids the treatment of the extra terms
if the discretization equations for the curvilinear velocities are obtained
in the conventional manner. The coupling of pressure and velocities are performed
by the SIMPLEC algorithm. The set of algebric equations are solved
using an iterative method in conjunction with coefficient update
for linerization. In the computer implementation of the proposed scheme
a line-by-line algorithm (TDMA) has been employed with a block
corretion procedure to enhance the convergence.
The method is tested by solving a variety of problems. The problems
include-flow between two concentric rotating cylinders, natural convection
in an eccentric annuli, driven flow in a trapezoidal cavity
with moving lids, laminar flow in a channel, exismetric flow in
duct with reduced cross section and laminar and turbulent flow
through a tube with an axisimetric constriction. The objetive of these tests
is to establish the validity of the proposed scheme and demonstrate
its applicability to a wide variety of problems.
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THE EQUIVALENCE PROBLEM FOR ORTHOGONALLY SEPARABLE WEBS ON SPACES OF CONSTANT CURVATURECochran, Caroline 09 June 2011 (has links)
This thesis is devoted to creating a systematic way of determining all inequivalent
orthogonal coordinate systems which separate the Hamilton-Jacobi equation for a
given natural Hamiltonian defined on three-dimensional spaces of constant, non-zero
curvature. To achieve this, we represent the problem with Killing tensors and employ
the recently developed invariant theory of Killing tensors.
Killing tensors on the model spaces of spherical and hyperbolic space enjoy a
remarkably simple form; even more striking is the fact that their parameter tensors
admit the same symmetries as the Riemann curvature tensor, and thus can be
considered algebraic curvature tensors. Using this property to obtain invariants and
covariants of Killing tensors, together with the web symmetries of the associated orthogonal
coordinate webs, we establish an equivalence criterion for each space. In
the case of three-dimensional spherical space, we demonstrate the surprising result
that these webs can be distinguished purely by the symmetries of the web. In the
case of three-dimensional hyperbolic space, we use a combination of web symmetries,
invariants and covariants to achieve an equivalence criterion. To completely solve the
equivalence problem in each case, we develop a method for determining the moving
frame map for an arbitrary Killing tensor of the space. This is achieved by defining
an algebraic Ricci tensor.
Solutions to equivalence problems of Killing tensors are particularly useful in the
areas of multiseparability and superintegrability. This is evidenced by our analysis
of symmetric potentials defined on three-dimensional spherical and hyperbolic space.
Using the most general Killing tensor of a symmetry subspace, we derive the most
general potential “compatible” with this Killing tensor. As a further example, we
introduce the notion of a joint invariant in the vector space of Killing tensors and use
them to characterize a well-known superintegrable potential in the plane.
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