Soient g une algèbre de Lie simple complexe et e un élément nilpotent de g. Nous nous intéressons dans ce mémoire à la question (soulevée par Premet) d'isomorphisme entre les W-algèbres finies construites à partir de certaines sous-algèbres nilpotentes de g dites e-admissibles. Nous introduisons les notions de paire et graduation e-admissibles. Nous montrons ensuite que la W-algèbre associée à une paire e-admissible possède des propriétés similaires à celle introduite par Gan et Ginzburg. De plus, nous définissons une relation d'équivalence sur l'ensemble des paires admissibles. Nous montrons alors que si deux paires sont équivalentes, alors les W-algèbres associées sont isomorphes. Nous introduisons enfin les notions de graduation et paire admissibles b-maximales et nous montrons que les paires admissibles b-maximales sont équivalentes entre elles. Comme conséquence de ce résultat, nous retrouvons un résultat de Brundan et Goodwin sur les bonnes graduations. Dans une dernière partie, nous considérons des cas particuliers pour lesquels nous pouvons apporter une réponse complète à la question d'isomorphisme. / Let g be a complex simple Lie algebra and e a nilpotent element of g. We are interested to answer the isomorphism question (raised by Premet) between the finite W-algebras constructed from some nilpotent subalgebras of g called e-admissible. We introduce the concept of e-admissible pair and e-admissible grading. We show then that the W-algebra associated to an e-admissible pair admits similar properties to that introduced by Gan and Ginzburg. Moreover, we define an equivalence relation on the set of admissible pairs and we show that if two admissible pairs are equivalent, it follows that the associated W-algebras are isomorphic. We introduce later the concepts of b-maximal admissible pair and b-maximal admissible grading and show that b-maximal admissible pairs are equivalent. As a consequence to this result, we recover a result of Brundan and Goodwin on the good gradings. In a final part, we consider some particular cases where we may find a complete answer to the isomorphism question.

Dans la première partie de cette thèse, on définit de déformations des $L_\infty$-algèbres de telle façon que les bases de déformation sont aussi des $L_\infty$-algèbres. Pour les $L_\infty$-algèbres dont le complexe tangent est scindé on construit une déformation universelle et une déformation semi-universelle. Ensuite, on construit explicitement une $L_\infty$-structure minimale sur la cohomologie $H$ d'une algèbre differentielle graduée de Lie $L$ et un $L_\infty$-quasi-isomorphisme entre $H$ et $L$. Comme application, on montre que les singularités peuvent être décrites par les $L_\infty$-algèbres et on donne une nouvelle preuve pour l'existence des espaces formels de module pour les singularités isolées. La deuxième partie contient une approche abstraite de la (co)homologie de Hochschild en utilisant de ``bonnes paires de catégories''. On généralise le théorème HKR classique (qui donne un isomorphisme entre la $n$-ième homologie de Hochschild d'une algèbre lisse et la $n$-ième puissance extérieure de son module de differentielles de Kähler) pour des algèbres simpliciales, graduées commutatives dans de bonnes paires de catégories. On applique cette généralisation aux espaces complexes et aux schémas Noetheriens et on déduit plusieurs théorèmes de décomposition de leurs (co)homologies de Hochschild relatives.

Soit K/F une extension quadratique modérément ramifiée de corps locaux non archimédiens. Soit GLm (D) une forme intérieure de GLn (F) et GLμ (∆) = (Mm (D) ⊗ K)× . Alors GLμ (∆) est une forme intérieure de GLn (K), les quotients GLμ (∆)/GLm (D) et GLn (K)/GLn (F) sont des espaces symétriques. En utilisant la paramétrisation de Silberger et Zink, nous déterminons des critères de GLm (D)-distinction pour les cuspidales de niveau 0 de GLμ (∆), puis nous prouvons qu’une cuspidale de niveau 0 de GLn (K) est GLn (F)-distinguée si et seulement si son image par la correspondance de Jacquet-Langlands est GLm (D)-distinguée. Puis, dans le cas particulier où μ = 2 et m = 1, nous regardons le cas des séries discrètes de niveau 0 non cuspidales, en utilisant le système de coefficients sur l’immeuble associé à la représentation, donné par Schneider et Stuhler. / Let K/F be a tamely ramified quadratic extension of non-archimedean locally compact fields. Let GLm (D) be an inner form of GLn (F) and GLμ (∆) = (Mm (D)⊗K)× . Then GLμ (∆) is an inner form of GLn (K), the quotients GLμ (∆)/GLm (D) and GLn (K)/GLn (F) are symmetric spaces. Using the parametrization of Silberger and Zink, we determine conditions of GLm (D)-distinction for level zero cuspidal representations of GLμ (∆). We also show that a level zero cuspidal representation of GLn (K) is GLn (F)-distinguished if and only if its image by the Jacquet-Langlands correspondence is GLm (D)-distinguished. Then, we treat the case of level zero non supercuspidal representations when μ = 2 and m = 1 using the coefficient system of the Bruhat-Tits building associated to the representation by Schneider and Stuhler.