Im Mittelpunkt der 3. Tagung des Sonderforschungsbereichs Transregio 96 am 29. und 30.Oktober 2013 am Werkzeugmaschinenlabor der RWTH Aachen standen die verschiedenen Lösungsansätze der einzelnen Teilprojekte bei der Durchführung der experimentellen Untersuchungen zur Verifizierung von Simulationsergebnissen bzw. zur Ableitung von Modellparametern. Es wurden vier Themenblöcke behandelt: • Ermittlung von thermisch relevanten Prozessparametern • Experimentelle Methodik zur Analyse von Teilsystemen in Werkzeugmaschinen • Methodische Rahmenbedingungen bei der Ermittlung von thermisch relevanten Parametern • Verfahren zur Verformungs- und Verlagerungsmessung

Im Mittelpunkt der 2. Tagung des Sonderforschungsbereichs Transregio 96 „Thermo-energetische Gestaltung von Werkzeugmaschinen standen erste Ergebnisse zur Modellierung und Simulation von Komponenten und Baugruppen von Werkzeugmaschinen im Mittelpunkt. An den drei Standorten Aachen, Chemnitz und Dresden werden unterschiedliche Lösungsansätze für die steuerungsintegrierte Korrektur thermischer bedingter Strukturverformungen in spanenden Werkzeugmaschinen verfolgt. Von diesen wird eine unterschiedliche Wirksamkeit bzw. Eignung für verschiedene Einsatzfälle erwartet. Bevor diese in der Praxis umgesetzt werden können, müssen Fragen zur Beschreibung der Wärmequellen und zur Wärmeübertragung beantwortet werden. Außerdem bedarf die Umsetzung der Konzepte in den CNC-Steuerungen effizienter Verfahren zur Modellierung und Simulation der thermisch bedingten Strukturverformung. Für die Entwicklung und Bewertung der Korrekturverfahren sowie zur Berechnung der notwendigen Achs-Korrekturen ist die Systemsimulation u. a. an einem prozessaktuelle Werkzeugmaschinenabbild erforderlich. Für die Bewertung ihrer Praxisrelevanz werden die Einzellösungen nach und nach in ein betriebswirtschaftlich orientiertes Gesamtmodell integriert.:Programm Mittwoch, 24.10.2012 13:00 Uhr Bedeutung und Konzepte von Modellierung und Simulation für den SFB/TR-96 K. Großmann, Sprecher des SFB/TR-96 13:30 Uhr Fachkonzeptionelle Modelle als Basis der Integration und Bewertung (C05) R. Braun, M. Burwitz, W. Esswein; TU Dresden, Lehrstuhl für Wirtschaftsinformatik, insb. Systementwicklung Session 1: Grundmodelle zur Beschreibung der Wärmequellen 14:00 Uhr Grundlagenuntersuchungen der Temperaturverteilung beim kontinuierlichen Schnitt mittels Thermografie (A02) M. Brockmann, F. Klocke, D. Veselovac; RWTH Aachen, Lehrstuhl für Technologie der Fertigungsverfahren 14:30 Uhr Modellierung der Verlustquellen in Antriebsmotoren (C04) R. Werner, St. Winkler; TU Chemnitz, Professur Elektrische Energiewandlungssysteme und Antriebe 15:00 Uhr Simulation der Erwärmung von Spindellagern auf der Basis eines lokalen Reibmodells (B03, B04) St. Bäumler, C. Brecher, D. Haber, J. Rossaint; RWTH Aachen, Lehrstuhl für Werkzeugmaschinen K. Großmann, B. Kauschinger, St. Rehn; TU Dresden, Institut für Werkzeugmaschinen und Steuerungstechnik Session 2: Wärmeübertragung 16:00 Uhr Wärmeübertragung in Aluminium-Leichtbaustrukturen (B04, C06) K. Großmann, B. Kauschinger, St. Schroeder, Ch. Städel; TU Dresden, Institut für Werkzeugmaschinen und Steuerungstechnik 16:30 Uhr Wärmeübertragung an Fugenkontakten am Beispiel spanender Werkzeuge (B02, A01) R. Kneer, S. Vieler; RWTH Aachen, Lehrstuhl für Wärme- und Stoffübertragung U. Semmler; Fraunhofer IWU Chemnitz M. Bräunig; TU Chemnitz, Institut für Werkzeugmaschinen und Produktionsprozesse 17:00 Uhr Identifikation relevanter Parameter und Strukturbereiche für den Wärmeübergang zwischen Maschine und Umgebung (B01, B05) St. Ihlenfeldt, C. Zwingenberger; Fraunhofer IWU Chemnitz R. Herzog, I. Riedel; TU Chemnitz, Professur Numerische Mathematik 17:30 Uhr Analyse und Modellierung der fluidischen Kühlung von Motorspindeln (A04) J. Weber, Jul. Weber; TU Dresden, Institut für Fluidtechnik Donnerstag, 25.10.2012 Session 3: Beiträge zur Effizienzsteigerung von Modellierung und Simulation 9:00 Uhr Optimale Versuchsplanung für die experimentelle Ermittlung von Kennwerten der Wärmeübertragung an Fugenkontakten (B02, B05) T. Etling, R. Herzog; TU Chemnitz, Professur Numerische Mathematik R. Kneer, S. Vieler; RWTH Aachen, Lehrstuhl für Wärme- und Stoffübertragung 9:30 Uhr Moderne Techniken zur schnellen und hochauflösenden Simulation (A07) A. Naumann, J. Wensch; TU Dresden, Institut für wissenschaftliches Rechnen 10:00 Uhr Parametererhaltende Modellordnungsreduktion für die Simulation thermo-elastischer Probleme an Werkzeugmaschinen (A06) P. Benner, N. Lang, J. Saak; TU Chemnitz, Professur Mathematik in Industrie und Technik Session 4: Voraussetzungen zur Systemsimulation des prozessaktuellen Werkzeugmaschinenabbildes für Berechnung und Korrektur 11:00 Uhr Effiziente Simulation thermo-elastischer Verformungen an Werkzeugmaschinen mit ordnungsreduzierten Modellen bei Berücksichtigung großer Relativbewegungen (A05) A. Galant, K. Großmann, A. Mühl; TU Dresden, Institut für Werkzeugmaschinen und Steuerungstechnik 11:45 Uhr Thermische Analyse bewegter Baugruppen mittels FEM am Beispiel der Führungswagen (A05) M. Beitelschmidt, M. Partzsch; TU Dresden, Institut für Festkörpermechanik 12: 15 Uhr Voraussetzungen und Grenzen einer eigenschaftsmodellbasierten Korrektur (B06) St. Bäumler, C. Brecher, M. Wennemer; RWTH Aachen, Lehrstuhl für Werkzeugmaschinen 12:45 Uhr Modularisierung der Datenflüsse und Algorithmen für die steuerungsintegrierte Korrektur thermisch bedingter Verlagerungen in Werkzeugmaschinen (B07) K. Großmann, A. Mühl, Ch. Städel; TU Dresden, Institut für Werkzeugmaschinen und Steuerungstechnik

In der vorliegenden Arbeit werden der Entwurf, die Technologie und die Parameteridentifikation von Silizium basierten mikroelektromechanischen Systemen (MEMS) mit piezoelektrischen Dünnschicht-Aluminiumnitrid (AlN) vorgestellt. Auf Basis des AlNs als elektromechanischer Wandler erfolgt die Fertigung eines MEMS Technologiedemonstrators für energiearme Inertialsensoren. Das AlN wird über einen reaktiven Sputterprozess auf einer Wachstumsschicht abgeschieden. Durch Parametervariation des reaktiven Sputterprozesses und der Wachstumsschicht werden die piezoelektrischen Eigenschaften des AlNs optimiert. Die Entwicklung einer Gesamttechnologie führt zu einer Integration des Dünnschicht-AlNs in Silizium-Mikromechaniken. Die Röntgenbeugung (XRD) ermöglicht die Kristallstruktur des AlNs zu qualifizieren. Darüber hinaus werden weitere Analysemethoden vorgestellt, die eine hoch genaue und reproduzierbare messtechnische Bestimmung der piezoelektrischen Koeffizienten aus mikromechanischen Messstrukturen ermöglichen. Die Determination der piezoelektrischen Koeffizienten des Dünnschicht-AlNs aus den Messstrukturen erfolgt mittels analytischen und FE Modellen sowie der Laser-Doppler-Vibrometrie (LDV). Der Fokus der Arbeit liegt hierbei auf der Identifikation der longitudinalen und transversalen piezoelektrischen Ladungskoeffizienten des AlNs. Als Technologiedemonstrator wird ein einachsiger Inertialsensor mit integriertem piezoelektrischen Dünnschicht-AlN vorgestellt. Das MEMS generiert aufgrund des piezoelektrischen Wandlers intrinsisch elektrische Ladungen bei Einwirkung einer mechanischen Energie. Dadurch ist keine elektrische Energiezufuhr für die Messung eines inertialen Ereignisses notwendig. Der vorgestellte Demonstrator wird hinsichtlich seiner Ladungs- und Spannungssensitivität optimiert. Zur theoretischen Beschreibung der Funktionsweise werden analytische, sowie FE und SPICE Modelle genutzt. Eine Charakterisierung des MEMS Bauelements erfolgt hinsichtlich der mechanischen und elektrischen Eigenschaften. / The thesis includes the design, the technology and the parameter identification of silicon-based microelectromechanical systems (MEMS) with piezoelectric thin film of aluminum nitride (AlN). A low-energy inertial sensor as technology demonstrator based on AlN as an electromechanical transducer a MEMS manufacturing process is shown. The AlN is deposited via a reactive sputtering on a growth layer. By varying parameters of the reactive sputtering and the growth layer of AlN, the piezoelectric properties can be optimized. The development of an overall technology results to an integration of the thin film AlNs in silicon micromechanics. X-ray diffraction (XRD) allows to qualify the crystal structure of AlN. Further methods are developed that enable a highly accurate and repeatable metrological determination of piezoelectric coefficients measurement structures. The determination of piezoelectric coefficients of the thin film AlN from the measurement structures is resulting from analytical methods and FE models and the laser Doppler vibrometry (LDV). The identification of the longitudinal and transverse piezoelectric charge coefficient of AlN is one main focus of this work. A uniaxial inertial sensor with an integrated piezoelectric thin film of AlN is presented as technology demonstrator. The piezoelectric transducer of the MEMS is generating electric charges intrinsically as reaction of mechanical stress. Thus, no electric power supply for the measurement of an inertial event is necessary. The presented demonstrator has been optimized with respect to its charge and voltage sensitivity. For a theoretical description analytical and FE and SPICE models are used. A characterization of the MEMS device is carried out with regard to the mechanical and electrical properties.

In der Photovoltaikindustrie wird der Diamantdrahtsägeprozess für die Fertigung kristalliner Siliziumwafer eingesetzt. In dieser Arbeit wird ein dynamisches Modell des Drahtsägeprozesses entwickelt, das die Simulation relevanter Prozessvariablen über die Prozesszeit und über die Ausdehnung des Drahtfeldes zulässt. Den Kern der Modellierung bildet ein parametrisches Abtragmodell, das die Abtragrate in Funktion verschiedener Prozessvariablen beschreibt. Die Parameter dieses Modells werden anhand von Messdaten identifiziert. Basierend auf dem validierten Modell werden Ansätze zur Rezeptoptimierung untersucht mit dem Ziel, die Produktivität zu steigern. Abschliessend wird ein ausgewählter Ansatz aus der Rezeptoptimierung experimentell validiert. Aus der Versuchsreihe geht hervor, dass mit den entwickelten Ansätzen eine wesentliche Reduktion der Prozesszeit möglich ist.:1. Einleitung 1.1. Einordnung der Arbeit 1.2. Beschreibung des Drahtsägeprozesses mit Diamantdraht 1.3. Technisch-wissenschaftliche Zielsetzungen 1.4. Stand der Technik 1.5. Gliederung der Arbeit 2. Modellierung des Drahtsägeprozesses 2.1. Überblick und Notation 2.2. Modell für den Kontakt zwischen Draht und Siliziumbrick 2.3. Parametrisches Abtragmodell 2.4. Drahttransformationsmodelle 2.5. Rezeptmodell 2.6. Überblick über das Gesamtmodell 2.7. Implementierung in der Simulationsumgebung 3. Identifikation der Modellparameter und Modellvalidierung 3.1. Messdaten und Experimente 3.2. Methodik der Parameteridentifikation 3.3. Ergebnisse und Diskussion 4. Ansätze zur Rezeptoptimierung 4.1. Zielsetzungen und Grundlagen 4.2. Analyse der Prozessvariablen im quasistationären Zustand 4.3. Beschreibung verschiedener Methoden zur Erhöhung des Abtrages 4.4. Simulationsbasierter Vergleich verschiedener Rezepte 5. Experimentelle Validierung der Rezeptoptimierung 5.1. Überlegungen zur Planung und Durchführung der Versuche 5.2. Abgleich mit dem Simulationsmodell 5.3. Auswertung und Diskussion der Versuchsergebnisse 6. Zusammenfassung und Ausblick / In the photovoltaic industry, the diamond wire sawing process is used for the production of crystalline silicon wafers. In this thesis, a dynamic model of the wire sawing process is presented, which enables the simulation of relevant process variables over the process time and the extension of the wire web. The model comprises a parametric material removal model, which describes the removal rate as a function of different process variables. The parameters of this model are identified using experimental data. Based on the validated model, different approaches to the optimization of the recipe are analyzed with the aim of increasing the productivity of the process. Finally, a selected approach is experimentally validated. The series of experiments reveals that a substantial reduction of the process time is achievable using the developed approaches.:1. Einleitung 1.1. Einordnung der Arbeit 1.2. Beschreibung des Drahtsägeprozesses mit Diamantdraht 1.3. Technisch-wissenschaftliche Zielsetzungen 1.4. Stand der Technik 1.5. Gliederung der Arbeit 2. Modellierung des Drahtsägeprozesses 2.1. Überblick und Notation 2.2. Modell für den Kontakt zwischen Draht und Siliziumbrick 2.3. Parametrisches Abtragmodell 2.4. Drahttransformationsmodelle 2.5. Rezeptmodell 2.6. Überblick über das Gesamtmodell 2.7. Implementierung in der Simulationsumgebung 3. Identifikation der Modellparameter und Modellvalidierung 3.1. Messdaten und Experimente 3.2. Methodik der Parameteridentifikation 3.3. Ergebnisse und Diskussion 4. Ansätze zur Rezeptoptimierung 4.1. Zielsetzungen und Grundlagen 4.2. Analyse der Prozessvariablen im quasistationären Zustand 4.3. Beschreibung verschiedener Methoden zur Erhöhung des Abtrages 4.4. Simulationsbasierter Vergleich verschiedener Rezepte 5. Experimentelle Validierung der Rezeptoptimierung 5.1. Überlegungen zur Planung und Durchführung der Versuche 5.2. Abgleich mit dem Simulationsmodell 5.3. Auswertung und Diskussion der Versuchsergebnisse 6. Zusammenfassung und Ausblick

Zur Simulation technischer Prozesse ist eine hinreichend genaue Beschreibung des Materialverhaltens notwendig. Die hierfür häufig verwendeten phänomenologischen Ansätze, wie im vorliegenden Fall die HILLsche Fließbedingung, enthalten materialspezifische Parameter, welche nicht direkt messbar sind. Die Identifikation dieser Materialparameter erfolgt in der Regel durch Minimierung eines Fehlerquadratfunktionals, welches Differenzen von Messwerten und zugehörigen numerisch berechneten Vergleichswerten enthält. In diesem Zusammenhang haben sich zur Lösung dieser Minimierungsaufgabe die Trust-Region Verfahren als gut geeignet herausgestellt. Die Aufgabe besteht darin, die verschiedenen Möglichkeiten zur Steuerung eines Trust-Region Verfahrens, im Hinblick auf die Eignung für das vorliegende Identifikationsproblem, zu untersuchen. Dazu werden die Quadratmittelprobleme und deren Lösungsverfahren überblicksmäßig betrachtet. Danach wird näher auf die Trust-Region Verfahren eingegangen, wobei sich im Weiteren auf Verfahren mit positiv definiten Ansätzen für die Hesse-Matrix, den Levenberg-Marquardt Verfahren, beschränkt wird. Danach wird ein solcher Levenberg-Marquardt Algorithmus in verschiedenen Ausführungen implementiert und an dem vorliegenden Identifikationsproblem getestet. Als Ergebnis stellt sich eine gute Kombination aus verschiedenen Teilalgorithmen des Levenberg-Marquardt Algorithmus mit einer hohen Konvergenzgeschwindigkeit heraus, welche für das vorliegende Problem gut geeignet ist.:1 Einleitung 8 2 Nichtlineare Quadratmittelprobleme 9 2.1 Herkunft der Residuen: Das Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate 10 2.2 Auftretende Differentialmatrizen 11 2.2.1 Lipschitzbedingung für die Unterscheidung der Aufgabenklasse im Hinblick auf die Residuen 12 2.3 Aufgabenklassen 13 2.3.1 Kleine und Null-Residuen 13 2.3.2 Große Residuen 13 2.3.3 Große Probleme 14 2.4 Modellstufen für f(x) um eine lokale Konstellation xk 15 2.5 Eigenschaften der Gauß-Newton Approximation der Hesse-Matrix 16 3 Identifikation der Materialparameter der HILLschen Fließbedingung für die plastische Verformung anisotroper Werkstoffe 17 4 ¨Ubersicht über monoton fallende Optimierungsverfahren für nichtlineare Funktionen 19 4.1 Die Idee der Line-Search Verfahren 19 4.2 Die Idee der Trust-Region Verfahren 20 4.3 Übersichtstabelle Über die Verfahren zur unrestringierten Optimierung 21 4.4 Ermittlungsmethoden fÜr die Suchrichtung sk bei Line-Search Methoden 22 4.4.1 Gradientenverfahren 22 4.4.2 Das Newton Verfahren 22 4.4.3 Quasi-Newton Verfahren 23 4.4.4 Gauß-Newton Verfahren 24 4.4.5 Methode der konjugierten Gradienten 25 4.4.6 Koordinatenabstiegsmethode nach Ahlers,Schwartz,Waldmann [1] 25 4.5 Modelle für die Trust-Region Verfahren 26 4.5.1 Der Cauchy Punkt 26 4.5.2 Das Newton Trust-Region Verfahren 27 4.5.3 Quasi-Newton Trust-Region Verfahren 27 4.5.4 Gauß-Newton Trust-Region: Levenberg-Marquardt Verfahren 27 4.6 Vergleich der Hauptstrategien 27 5 Die Trust-Region Verfahren 29 5.1 Die Konvergenz des Trust-Region Algorithmus zu stationären Punkten 34 5.2 Die Berechnung des Trust-Region Schrittes 35 5.3 Der Cauchy Punkt 37 5.4 Die Lösungsverfahren 38 5.5 Nahezu exakte Lösung des Trust-Region Problems, Regularisierung . 38 5.6 Struktur und Lösung der nahezu exakten Methode für den Normalfall 42 5.6.1 Ermitteln des Minimums s( lambda) des aktuellen Modells 46 5.6.1.1 Lösung mittels Cholesky Faktorisierung 47 5.6.1.2 Lösung mittels QR-Faktorisierung 47 5.6.1.3 Lösung mittels Singulärwertzerlegung 47 5.6.2 Das Ermitteln des Regularisierungsparameters 48 5.6.3 Ermitteln der Ableitung 0i( ) 51 5.6.4 Abbruch der -Iteration 52 5.6.5 Absichern der -Iteration 52 5.6.6 Ermitteln des Verhältnisses k 52 5.6.7 Auffrischen der Schrittnebenbedingung k 53 5.6.8 Startwerte für den Trust-Region Algorithmus 56 5.6.8.1 Startwerte 0 für den Trust-Region Radius 56 5.6.8.2 Startwerte für den Regularisierungsparameter 0 56 5.6.9 Konvergenz von Algorithmen, basierend auf nahezu exakten Lösungen 57 5.7 Approximation des Trust-Region Problems 57 5.7.1 Die Dogleg Methode 58 5.7.2 Die zweidimensionale Unterraumminimierung 60 5.7.3 Das Steihaug Vorgehen 61 5.7.4 Konvergenz der Approximationsverfahren 62 6 Trust-Region Verfahren mit positiv definiter Approximation der Hesse-Matrix: Das Levenberg-Marquardt Verfahren 63 6.1 Vorhandene Matrizen und durchführbare Methoden 64 6.2 Lösen des Levenberg-Marquardt Problems 66 6.2.1 Ermitteln von s( ) 68 6.2.1.1 Cholesky Faktorisierung 68 6.2.1.2 QR-Faktorisierung 68 6.2.1.3 Singulärwertzerlegung 68 6.2.2 Ermittlung des Regularisierungsparameter 69 6.2.3 Absichern der -Iteration 71 6.2.3.1 Absichern für die Strategie von Hebden 71 6.2.3.2 Absichern für die Newtonmethode 72 6.2.4 Weitere Teilalgorithmen 73 6.3 Ein prinzipieller Levenberg-Marquardt Algorithmus 73 7 Skalierung der Zielparameter 74 8 Abbruchkriterien für die Optimierungsalgorithmen 76 8.1 Abbruchkriterien bei Erreichen eines lokalen Minimums 76 8.2 Abbruchkriterien bei Erreichen der Maschinengenauigkeit für Trust-Region Verfahren 77 9 Test der Implementation des Levenberg-Marquardt Verfahrens 78 9.1 Test der Leistung für einzelne Parameter 79 9.2 Test der Leistung für Optimierungen mit mehreren Parametern 80 9.3 Test des Moduls 1 80 9.4 Test Modul 2 und Modul 3 81 9.5 Test des Moduls 4 81 9.6 Test des Moduls 5 81 9.7 Test des Modul 6 82 9.8 Test des Modul 7 83 9.9 Test des Modul 8 84 9.10 Modul 9 und Modul 10 84 9.11 Test mit verschiedenen Verfahrensparametern 85 9.12 Optimale Konfiguration 86 10 Zusammenfassung 87 11 Ausblick 88 11.1 Weiterführendes zu dem bestehenden Levenberg-Marquardt Verfahren 88 11.2 Weiterführendes zu den Trust-Region Verfahren 88 11.3 Weiterführendes zu den Line-Search Verfahren 89 11.4 Weiterführendes zu den Gradientenverfahren 89 Literaturverzeichnis 93 A Implementation: Das skalierte Levenberg-Marquardt Verfahren 95 A.1 Modul 1.x: 0-Wahl 95 A.1.1 Modul 1.1 95 A.1.2 Modul 1.2 96 A.1.3 Modul 1.3 96 A.1.4 Programmtechnische Umsetzung Modul 1 96 A.2 Modul 2.x: Wahl der Skalierungsmatrix 96 A.2.1 Modul 2.1 96 A.2.2 Modul 2.2 97 A.2.3 Programmtechnische Umsetzung Modul 2 97 A.3 Modul 3.x: Wahl der oberen und unteren Schranke l0, u0 für die - Iteration 97 A.3.1 Modul 3.1 97 A.3.2 Modul 3.2 97 A.3.3 Programmtechnische Umsetzung Modul 3 98 A.4 Modul 4.x: Wahl des Startwertes für den Regularisierungsparameter 0 98 A.4.1 Modul 4.1 98 A.4.2 Modul 4.2 99 A.4.3 Modul 4.3 99 A.4.4 Modul 4.4 99 A.4.5 Programmtechnische Umsetzung Modul 4 100 A.5 Modul 5.x: Die abgesicherte -Iteration 100 A.5.1 Modul 5.1 Die Iteration nach dem Schema von Hebden für 1 101 A.5.2 Modul 5.2 Die abgesicherte Iteration mit dem Newtonverfahren für 2 101 A.5.3 Die abgesicherte Iteration mit dem Newtonverfahren für 2 mittels Cholesky Zerlegung 102 A.5.4 Programmtechnische Umsetzung Modul 5 102 A.6 Modul 6.x: Die Ermittlung des Verhältnisses k 103 A.6.1 Modul 6.1: Herkömmliche Ermittlung 103 A.6.2 Modul 6.2: Numerisch stabile Ermittlung 104 A.6.3 Programmtechnische Umsetzung Modul 6 104 A.7 Modul 7.x: Auffrischen der Schrittnebenbedingung 105 A.7.1 Modul 7.1: Einfache Wahl 105 A.7.2 Modul 7.2: Wahl mit Berücksichtigung von Werten k < 0 105 A.7.3 Modul 7.3: Wahl mit Approximation von ffl 105 A.7.4 Programmtechnische Umsetzung Modul 7 106 A.8 Modul 8.x: Entscheidung über Akzeptanz des nächsten Schrittes sk . 107 A.8.1 Modul 8.1: Eine Akzeptanzbedingung 107 A.8.2 Modul 8.2: Zwei Akzeptanzbedingungen 107 A.8.3 Programmtechnische Umsetzung Modul 8 107 A.9 Modul 9.x: Abbruchbedingungen für den gesamten Algorithmus 107 A.9.1 Programmtechnische Umsetzung Modul 9 108 A.10 Modul 10.x: Berechnung des Schrittes s( ) 108 A.10.1 Modul 10.1 108 A.10.2 Modul 10.2 108 A.10.3 Programmtechnische Umsetzung Modul 10 108 A.11 Benötigte Prozeduren 109 A.11.1 Vektormultiplikation 109 A.11.2 Matrixmultiplikation 109 A.11.3 Matrixaddition 109 A.11.4 Cholesky Faktorisierung 110 A.11.5 Transponieren einer Matrix 111 A.11.6 Invertieren einer Matrix 111 A.11.6.1 Determinante einer Matrix 111 A.11.7 Normen 112 A.11.7.1 Euklidische Vektornorm 112 A.11.7.2 Euklidische Matrixnorm 112 A.11.8 Ermittlung von 1 112 A.11.9 Ermittlung von 2 112 A.11.10Ermittlung von 01 112 A.11.11Ermittlung von 02 .112 A.11.12Ermittlung von mk(s) 113 A.12 Programmablauf 113 A.13 Fehlercodes 114 B Weiterführendes: Allgemeines 116 B.1 Total Least Squares, Orthogonal distance regression 116 B.2 Lipschitz Konstante und Lipschitz Stetigkeit in nichtlinearen Quadratmittelproblemen 116 B.3 Beweis für das Prinzip der kleinsten Fehlerquadrate als beste Möglichkeit der Anpassung von Modellgleichungen an Messwerte 117 B.4 Konvergenzraten 119 B.5 Betrachtung der Normalengleichung als äquivalente Extremalbedingung 119 B.6 Der Cauchy Punkt 120 B.7 Minimumbedingungen 122 C Weiterführendes: Matrizen 123 C.1 Reguläre und singuläre Matrizen 123 C.2 Rang einer Matrix 123 C.3 Definitheit von quadratischen Matrizen 124 C.4 Kondition einer Matrix 125 C.5 Spaltenorthonormale und orthogonale Matrizen 125 C.6 Singulärwertzerlegung einer Matrix, SVD 126 C.7 Der Lanczos Algorithmus 127 C.8 Die QR Zerlegung einer Matrix 127 C.8.1 Gram Schmidt Orthogonalisierung 127 C.8.2 Householder Orthogonalisierung 127 C.9 Die Cholesky Faktorisierung 130 C.10 Die LINPACK Technik 131 D Daten und Bilder zum Levenberg-Marquardt Verfahren 132 D.1 Wichtige Funktionsverläufe des LM-Verfahrens 134 D.2 Einzelne Parameteroptimierungen 136 D.3 Kombinierte Parameteroptimierungen, P1,P2,P3 139 D.4 Vergleich Ableitungsgüte, Konvergenzproblem 142 D.5 Test des Modul 1 145 D.6 Test Modul 4 und 5 146 D.7 Test des Modul 6 147 D.8 Test des Modul 7 148 D.9 Test des Modul 8 151 D.10 Test verschiedener Algorithmusparameter 152 D.11 Standartalgorithmus und Verbesserter 155