Thesis advisor: Jan R. Engelbrecht / Thesis advisor: Renato E. Mirollo / Many phenomena in nature that involve ordering in time can be understood as collective behavior of coupled oscillators. One paradigm for studying a population of self-sustained oscillators is the Kuramoto model, where each oscillator is described by a phase variable, and interacts with other oscillators through trigonometric functions of phase differences. This dissertation studies $N$ identical Kuramoto oscillators in a general form \[ \dot{\theta}_{j}=A+B\cos\theta_{j}+C\sin\theta_{j}\qquad j=1,\dots,N, \] where coefficients $A$, $B$, and $C$ are symmetric functions of all oscillators $(\theta_{1},\dots,\theta_{N})$. Dynamics of this model live in group orbits of M\"obius transformations, which are low-dimensional manifolds in the full state space. When the system is a phase model (invariant under a global phase shift), trajectories in a group orbit can be identified as flows in the unit disk with an intrinsic hyperbolic metric. A simple criterion for such system to be a gradient flow is found, which leads to new classes of models that can be described by potential or Hamiltonian functions while exhibiting a large number of constants of motions. A generalization to extended phase models with non-identical couplings gives rise to richer structures of fixed points and bifurcations. When the coupling weights sum to zero, the system is simultaneously gradient and Hamiltonian. The flows mimic field lines of a two-dimensional electrostatic system consisting of equal amounts of positive and negative charges. Bifurcations on a partially synchronized subspace are discussed as well. / Thesis (PhD) — Boston College, 2017. / Submitted to: Boston College. Graduate School of Arts and Sciences. / Discipline: Physics.

Esta dissertação traz ideias para a inserção de novos conteúdos na matemática escolar. Ela trata da exploração de geometrias não-euclidianas, através de dois ambientes de geometria dinâmica, o "Spherical Easel” e o "Disco de Poincaré". O primeiro é um software livre e o segundo foi desenvolvido utilizando-se o recurso de macro-construção do GeoGebra. Na concepção das atividades tratamos as idéias que correspondem ao mundo não-euclidiano fazendo comparações com aquelas que fazem parte da geometria euclidiana e para cada atividade há um comentário que explica a sua intenção de aprendizagem. É a partir de considerações teóricas sobre a natureza da geometria e sua evolução histórica, bem como sobre o processo de aprendizagem da geometria, que é feita a apresentação da proposta. / This dissertation brings ideas to the inclusion of new contents in school mathematics. They are related to the exploitation of non-Euclidean geometries through two dynamic geometry environments, the "Spherical Easel" and the "Poincaré Disk". The first one is a free software and the second one was developed using the GeoGebra macro-construction. In the design of the activities the approach of ideas that correspond to non-euclidian worlds was made through comparison with the euclidian world and for each activity there is a comment that explain its learning objective. The proposal is supported by theoretical considerations about the nature of geometry and its historical evolution, as well as about the geometry learning process.

Esta dissertação traz ideias para a inserção de novos conteúdos na matemática escolar. Ela trata da exploração de geometrias não-euclidianas, através de dois ambientes de geometria dinâmica, o "Spherical Easel” e o "Disco de Poincaré". O primeiro é um software livre e o segundo foi desenvolvido utilizando-se o recurso de macro-construção do GeoGebra. Na concepção das atividades tratamos as idéias que correspondem ao mundo não-euclidiano fazendo comparações com aquelas que fazem parte da geometria euclidiana e para cada atividade há um comentário que explica a sua intenção de aprendizagem. É a partir de considerações teóricas sobre a natureza da geometria e sua evolução histórica, bem como sobre o processo de aprendizagem da geometria, que é feita a apresentação da proposta. / This dissertation brings ideas to the inclusion of new contents in school mathematics. They are related to the exploitation of non-Euclidean geometries through two dynamic geometry environments, the "Spherical Easel" and the "Poincaré Disk". The first one is a free software and the second one was developed using the GeoGebra macro-construction. In the design of the activities the approach of ideas that correspond to non-euclidian worlds was made through comparison with the euclidian world and for each activity there is a comment that explain its learning objective. The proposal is supported by theoretical considerations about the nature of geometry and its historical evolution, as well as about the geometry learning process.

Esta dissertação traz ideias para a inserção de novos conteúdos na matemática escolar. Ela trata da exploração de geometrias não-euclidianas, através de dois ambientes de geometria dinâmica, o "Spherical Easel” e o "Disco de Poincaré". O primeiro é um software livre e o segundo foi desenvolvido utilizando-se o recurso de macro-construção do GeoGebra. Na concepção das atividades tratamos as idéias que correspondem ao mundo não-euclidiano fazendo comparações com aquelas que fazem parte da geometria euclidiana e para cada atividade há um comentário que explica a sua intenção de aprendizagem. É a partir de considerações teóricas sobre a natureza da geometria e sua evolução histórica, bem como sobre o processo de aprendizagem da geometria, que é feita a apresentação da proposta. / This dissertation brings ideas to the inclusion of new contents in school mathematics. They are related to the exploitation of non-Euclidean geometries through two dynamic geometry environments, the "Spherical Easel" and the "Poincaré Disk". The first one is a free software and the second one was developed using the GeoGebra macro-construction. In the design of the activities the approach of ideas that correspond to non-euclidian worlds was made through comparison with the euclidian world and for each activity there is a comment that explain its learning objective. The proposal is supported by theoretical considerations about the nature of geometry and its historical evolution, as well as about the geometry learning process.