Let F : Kn &rarr; Kp be a polynomial map, where K = R or C. Motivated by the characterization of the integral closure of ideals in the ring On by means of analytic inequalities proven by Lejeune-Teissier [46], we define the set Sp(F) of special polynomials with respect to F. The set Sp(F) can be considered as a counterpart, in the context of polynomial maps Kn &rarr; Kp, of the notion of integral closure of ideals in the ring of analytic function germs (~&lceil;+. In this work, we are mainly interested in the determination of the convex region S0(F) formed by the exponents of the special monomials with respect to F. Let us fix a convenient Newton polyhedron &lceil; + ~&sube; Rn. We obtain an approximation to S0</sub (F) when F is strongly adapted to ~&sube; +, which is a condition expressed in terms of the faces of ~&lceil;+ and the principal parts at infinity of F. The local version of this problem has been studied by Bivià-Ausina [4] and Saia [71]. Our result about the estimation of S0(F) allows us to give a lower estimate for the Lojasiewicz exponent at infinity of a given polynomial map with compact zero set. As a consequence of our study of ojasiewicz exponents at infinity we have also obtained a result about the uniformity of the ojasiewicz exponent in deformations of polynomial maps Kn &rarr; Kp. Consequently we derive a result about the invariance of the global index of real polynomial maps Rn &rarr; Rn. As particular cases of the condition of F being adapted to ~&lceil;+ there appears the class of Newton non-degenerate polynomial maps at infinity and pre-weighted homogeneous maps. The first class of maps constitute a natural extension for maps of the Newton non-degeneracy condition introduced by Kouchnirenko for polynomial functions. We characterize the Newton non-degeneracy at infinity condition of a given polynomial map F : Kn &rarr; Kp in terms of the set S0((F, 1)), where (F, 1) : Kn &rarr; Kp+1 is the polynomial map whose last component function equals 1. Motivated by analogous problems in local algebra we also derive some results concerning the multiplicity of F. / Seja F :Kn &rarr; Kp uma aplicação polinomial, onde K = C ou K = R. Motivados pela caracterização do fecho integral de ideais no anel On por meio de desigualdades analíticas provadas por Lejeune-Teissier [46], definimos o conjunto Sp(F) de polinomios especiais com respeito a F. O conjunto Sp(F) pode ser considerado como um homólogo, no contexto das aplicações polinomiais Kn &rarr; Kp, da noção de fecho integral de ideais no anel de germes de funções analíticas (Kn 0) &rarr; K. Neste trabalho, estamos interessados principalmente na determinação da região convexa S0 (F) formado pelos expoentes dos monômios especiais com respeito a F. Fixado um poliedro de Newton conveniente ~&lceil; + ~&sube; Rn, é obtida uma aproximação de S0(F), quando F é fortemente adaptada a &lceil; + o qual é uma condição expressada em termos das faces de ~&lceil; + e as partes principais no infinito de F. A versão local deste problema foi estudado por Bivià-Ausina [4] e Saia [71]. Nosso resultado sobre a estimativa de S0(F) nos permite dar uma estimativa inferior para o expoente Lojasiewicz no infinito de uma aplicação polinomial Kn &rarr; Kp, com conjunto F-1(0) compacto. Como uma consequência do estudo dos expoentes de Lojasiewicz no infinito também foi obtido um resultado sobre a uniformidade do expoente Lojasiewicz em deformações de aplicações polinomiais Kn &rarr; Kp e consequentemente, um resultado sobre a invariância do índice global de aplicações polinomiais reais Rn &rarr; Rn. Como casos particulares da condição de F ser adaptada a ~&lceil; + aparecem a classe de aplicações polinomiais Newton não degeneradas e as aplicações polinomiais pre-quase homogêneas. A primeira classe de aplicações constitui uma extensão natural da condição Newton não-degeneração introduzida por Kouchnirenko para funções polinomiais. Caracterizamos a condição Newton não-degeneração para uma determinada aplicação polinomial F : Kn &rarr; Kp em termos do conjunto S0((F, 1)), onde (F, 1) : Kn &rarr; Kp+1 é a aplicação polinomial cuja última função componente é igual a 1. Motivados por problemas análogos em álgebra local, também obtivemos alguns resultados sobre a multiplicidade de F.

Os caleidociclos têm sido utilizados como forma artística de apresentação de imagens, pinturas ou como parte de trabalhos artísticos, principalmente de imagens com simetrias; talvez os mais conhecidos sejam os trabalhos de M. C. Escher. As poucas publicações encontradas da teoria matemática envolvida nos caleidociclos dão base para imaginar e criar aplicações no desenvolvimento de habilidades e competências trabalhadas na escola. Para aumentar as possibilidades de aplicações de conceitos, teoremas e relações matemáticas estudadas no ensino básico, o presente trabalho apresenta algumas propostas de atividades utilizando os caleidociclos. As propostas foram elaboradas de acordo com o nível de ensino, ou seja, simetrias para o 7o ano, teorema de Pitágoras para os 8o e 9o anos do Ensino Fundamental, lei dos cossenos e relação fundamental da trigonometria para a 1a série e volume e área de superfície de sólidos geométricos para 2a série do Ensino Médio; algumas das propostas apresentam variações para se adequar ao nível de desenvolvimento em que a turma se encontra. Todos os moldes utilizados e outras possibilidades de caleidociclos, incluindo sólidos encaixantes aos caleidociclos, foram organizados ao final deste trabalho em um dos apêndices. Há também um apêndice com outros tipos de sólidos geométricos com movimentos, que podem ser usados no mesmo intuito de aplicação diferenciada da geometria espacial. / Kaleidocycles have been used asan artistic formof presentation of pictures, paintings or a part of artworks, especially images with symmetries; perhaps the best known works are M. C. Eschers. The few finded publications of the mathematical theory related to these three-dimensional rings give rise to imagine and create applications for developing skills to be worked in classroom. In order to increase the possibility of applications of concepts, theorems and mathematical relations, the present work proposes some activities dealing with kaleidocycles. The proposals were prepared in accordance with the students level of education, i.e., symmetries for the7th grade, the Pythagorean theorem for the 8th and 9th grades, law of cosines and the fundamental relation of trigonometry, volume and surface area of geometric solids for high school students; some of the proposals have variations to suit the level of development in which the class is at. All the molds used and other possibilities of kaleidocycles, including solids which fit into kaleidocycles, were organized at the end of this dissertation in one of the appendices. There is also an appendix with other types of mobile geometric solids that can be used in the same purpose in different applications of spatial geometry.